Zasada ILATE – Wzór, Przykłady

Reguła ILATE jest najbardziej pomocną regułą stosowaną w całkowaniu przez części. Ta reguła służy do określenia, która funkcja ma zostać wybrana jako pierwsza funkcja, gdy całkowanie jest wykonywane przez części. Zamiast tej reguły, można również zastosować regułę LIATE.

Reguła ILATE (LIATE) – co to jest?

Reguła ILATE jest regułą, która najczęściej stosowana jest w procesie całkowania przez części, a ułatwia ona proces wyboru pierwszej i drugiej funkcji. Wzór na całkowanie przez części może być zapisany na dwa sposoby:

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ (pierwsza funkcja) (druga funkcja) dx = pierwsza funkcja ∫ (druga funkcja) dx – ∫ [ d/dx (pierwsza funkcja) ∫ (druga funkcja dx) ] dx

W tym wzorze używamy terminów „pierwsza” i „druga”. Oznacza to, że kolejność funkcji w danym iloczynie funkcji jest istotna. Zwykle pierwszą funkcją (u) zostanie wybrana w taki sposób, aby proces znalezienia całki z jej pochodnej był łatwy. Aby ułatwić wybór pierwszej funkcji, używamy reguły ILATE. Priorytet pierwszej funkcji jest ustalany zgodnie z tą regułą. W regule ILATE każda litera oznacza skrót dla określonego rodzaju funkcji, opisanego następująco:

I – Inverse trigonometric function

L – Logarithmic function

A – Algebraic function

T – Trigonometric function

E – Exponential function

Pierwsza funkcja powinna być wybrana w taki sposób, aby była jak najbliżej góry powyższej listy.

Jak stosować regułę ILATE?

Wiemy, że używamy całkowania przez części do całkowania iloczynu dwóch różnych rodzajów funkcji. Aby zastosować całkowanie przez części, musimy najpierw zdecydować, która jest pierwszą funkcją, co można zrobić, używając reguły ILATE. Jest to bardzo proste – wystarczy wybrać funkcję, która znajduje się na początku (od góry) powyższej/poniższej listy jako pierwszą funkcję.

Kroki stosowania reguły ILATE są szczegółowo wyjaśnione poniżej:

1. Zidentyfikuj typ każdej funkcji jako funkcję odwrotną do funkcji trygonometrycznej (I), funkcję logarytmiczną (L), funkcję algebraiczną (A), funkcję trygonometryczną (T) lub funkcję wykładniczą (E).
2. Sprawdź, która z podanych funkcji jest pierwsza według kolejności w regule ILATE (lub LIATE) i wybierz ją jako pierwszą funkcję.
3. Wybierz pozostałą funkcję jako drugą funkcję.
4. Następnie zastosuj wzór na całkowanie przez części.

Na przykład, gdy musimy obliczyć całkę ∫ x ln x dx, a jeśli zastosujemy powyższe kroki:

• x jest funkcją algebraiczną; ln x jest funkcją logarytmiczną.
• Wiemy, że Logarytmiczna (L) znajduje się na początku reguły ILATE przed Algebraiczną (A), więc pierwszą funkcją jest ln x.
• Pozostałą funkcją jest x, a więc drugą funkcją jest x.
• Stosując wzór na całkowanie przez części:

∫ x ln x dx = (ln x) ∫ x dx – ∫ [d/dx (ln x) ∫ x dx] dx = (ln x) (x2/2) – ∫ (1/x) (x2/2) dx = (x2 ln x)/2 – (1/2) ∫ x dx = (x2 ln x)/2 – (x2/4) + C

Oto kilka kolejnych przykładów zastosowania pierwszej funkcji z użyciem reguły ILATE:

• ∫ ln x sin x dx → ln x jest pierwszą funkcją.
• ∫ x csc x dx → x jest pierwszą funkcją.
• ∫ x sin-1x → sin-1x jest pierwszą funkcją.
• ∫ x ex dx → x jest pierwszą funkcją.

Jak stosować regułę ILATE dla pojedynczej funkcji?

Czasami spotykamy się z całkowaniem pojedynczych funkcji, takich jak ln x, sin-1x itp., ale nie ma dostępnej bezpośredniej reguły całkowania do obliczenia takich całek. Chociaż można znaleźć takie reguły, są trudne do zapamiętania. W takich przypadkach zapisujemy „razy 1” po danej funkcji, a następnie całka będzie miała dwie funkcje, dzięki czemu można zastosować regułę LIATE. Przykład jest podany poniżej.

Przykład: Oblicz całkę ∫ ln x dx.

Rozwiązanie:

Zapisujemy daną całkę jako ∫ ln x × 1 dx.

Z reguły LIATE wynika, że pierwszą funkcją jest ln x, a drugą funkcją jest 1. Teraz, stosując całkowanie przez części:

∫ ln x × 1 dx = (ln x) ∫ 1 dx – ∫ [d/dx (ln x) ∫ 1 dx] dx = (ln x) x – ∫ (1/x) (x) dx = x ln x – ∫ 1 dx = x ln x – x + C

Ważne uwagi dotyczące reguły ILATE:

• Reguła ILATE służy do określenia pierwszej funkcji w całkowaniu przez części.
• Wybierz pierwszą funkcję jako funkcję, która znajduje się na liście danym przez regułę ILATE (od góry).
• Reguła ILATE może być stosowana również do całkowania pojedynczej funkcji (w przypadku funkcji logarytmicznych i odwrotnych funkcji trygonometrycznych) poprzez zapisanie drugiej funkcji jako 1.
• Reguła LIATE działa w taki sam sposób jak reguła ILATE.
• Regułę ILATE można zastosować więcej niż raz w całkowaniu.
• Czasami wybór innych metod całkowania niż reguła ILATE ułatwia proces. Na przykład, aby obliczyć ∫ (ln x) / x dx, użycie metody podstawienia jest łatwiejsze niż użycie całkowania przez części.

Czym jest reguła ILATE?

Każda litera w regule ILATE odnosi się do określonego typu funkcji:

• I: Funkcja odwrotna trygonometryczna
• L: Funkcja logarytmiczna
• A: Funkcja algebraiczna
• T: Funkcja trygonometryczna
• E: Funkcja wykładnicza

Czy reguła ILATE jest obowiązkowa?

Nie, nie jest obowiązkowe wybieranie pierwszej funkcji w całkowaniu przez części zgodnie z regułą ILATE. Zazwyczaj pierwsza funkcja jest wybierana w taki sposób, aby całkowanie pochodnej było łatwe. Ale czasami korzystanie z tej logiki do określenia pierwszej funkcji jest trudniejsze. W takich przypadkach reguła ILATE jest pomocna, ale ponownie nie jest obowiązkowa.

Która reguła jest poprawna, ILATE czy LIATE?

Obydwie reguły, ILATE i LIATE, działają w ten sam sposób. Te reguły ułatwiają proces wyboru pierwszej funkcji w całkowaniu przez części.

Czym jest I w regule LIATE?

Każda pojedyncza litera reguły LIATE odnosi się do rodzaju funkcji. 'I’ oznacza funkcję odwrotną trygonometryczną.

Jak wybrać pierwszą funkcję, korzystając z reguły ILATE?

W formule całkowania przez części pierwsza funkcja „u” powinna być taka, że znajduje się na liście dawanej przez regułę ILATE na samej górze. Na przykład, aby zintegrować x2 ln x, ln x jest pierwszą funkcją, ponieważ funkcja logarytmiczna (L) jest pierwsza przed funkcją algebraiczną (A) w regule ILATE.

Jak stosować regułę ILATE?

Reguła ILATE odnosi się do funkcji odwrotnej trygonometrycznej (I), logarytmicznej (L), algebraicznej (A), trygonometrycznej (T) i wykładniczej (E). Aby zastosować tę regułę, należy zobaczyć, która z dwóch danych funkcji podczas stosowania całkowania przez części znajduje się na liście powyżej wymienionej kolejności.

Czy można zastosować regułę LIATE dla pojedynczej funkcji?

Tak, regułę LIATE można zastosować w przypadku całkowania pojedynczej funkcji logarytmicznej/odwrotnej funkcji trygonometrycznej. W tym przypadku druga funkcja powinna być przyjęta jako 1. Na przykład

Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts