W statystyce, wzór na kowariancję służy do oceny związku między dwoma zmiennymi. Jest to w zasadzie miara wariancji między dwoma zmiennymi. Kowariancja jest mierzona w jednostkach i obliczana poprzez pomnożenie jednostek dwóch zmiennych. Wariancja może przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Poniżej przedstawione są interpretacje wartości:

Gdy dwie zmienne poruszają się w tym samym kierunku, prowadzi to do pozytywnej kowariancji.
W przeciwnym przypadku, gdy dwie zmienne poruszają się w przeciwnych kierunkach, prowadzi to do negatywnej kowariancji.
Uwaga: Wzór na kowariancję jest podobny do wzoru na korelację i zajmuje się obliczeniem punktów danych z wartości średniej w zbiorze danych.

Wzór na kowariancję

Kowariancja jest miarą związku między dwiema zmiennymi losowymi w statystyce. Kowariancja wskazuje na relację między dwiema zmiennymi i pomaga określić, czy obie zmienne zmiennają się razem. W wzorze na kowariancję, kowariancja między dwiema zmiennymi losowymi X i Y może być oznaczona jako Cov(X, Y).

Wzór na kowariancję

Wzór na kowariancję dla populacji:

Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i - \overline X })( {Y_i - \overline Y } )} }}{n}

Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i - \overline X })( {Y_i - \overline Y } )} }}{n-1}

Gdzie,

X_i to wartości zmiennej X
Y_i to wartości zmiennej Y
𝜇X to średnia zmiennej X
𝜇Y to średnia zmiennej Y
n to liczba punktów danych

Związek między współczynnikiem korelacji a wzorem na kowariancję

Wzór na współczynnik korelacji można wyrazić jako Korelacja = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \times \sigma_y}.

Gdzie,

Cov(x,y) to kowariancja między x i y
σx i σy to odchylenia standardowe x i y.

CZYTAĆ: Wykres X i Y - definicja, różnice, równanie na wykresie X i Y

Wykorzystując powyższy wzór, można wywnioskować wzór na współczynnik korelacji, korzystając z kowariancji, a nawet odwrotnie. Kowariancja jest mierzona w jednostkach, które można obliczyć przez pomnożenie jednostek dwóch zadanych zmiennych. Wartości wariancji interpretuje się następująco:

Statystyka #5 – Obliczanie wariancji, wariancja

Pozytywna kowariancja

Dwie zadane zmienne mają tendencję do poruszania się w tym samym kierunku.

Negatywna kowariancja

Dwie zadane zmienne mają tendencję do poruszania się w przeciwnych kierunkach.

Zastosowania wzoru na kowariancję

Wzór na kowariancję ma zastosowania w finansach, głównie w teorii portfela. Dzięki temu aktywa mogą być wybierane w taki sposób, aby nie wykazywały wysokiej pozytywnej kowariancji między sobą, a tym samym częściowo eliminować ryzyko niesystematyczne.

Ułatwianie złożonych koncepcji poprzez proste wizualizacje

Matematyka nie będzie już trudnym przedmiotem, zwłaszcza gdy zrozumiesz koncepcje poprzez wizualizacje z matematyką.

Przykłady wykorzystania wzoru na kowariancję

Przykład 1: Obliczanie kowariancji dla podanego zestawu danych

Dane: x = {2,5,6,8,9}, y = {4,3,7,5,6}

Rozwiązanie:

Dane x = {2,5,6,8,9}, y = {4,3,7,5,6} i N = 5
Średnia(x) = (2 + 5 + 6 + 8 + 9) / 5 = 30 / 5 = 6
Średnia(y) = (4 + 3 + 7 + 5 + 6) / 5 = 25 / 5 = 5
Kowariancja próbki Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N – 1) = 2.25
Kowariancja populacji Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N) = 1.8
Odpowiedź: Kowariancja próbki wynosi 2.25, a kowariancja populacji wynosi 1.8.

Przykład 2: Obliczanie kowariancji dla podanego zestawu danych

Dane: x = {5,6,8,11,4,6}, y = {1,4,3,7,9,12}.

Rozwiązanie:

Dane x = {5,6,8,11,4,6}, y = {1,4,3,7,9,12} i N = 6
Średnia(x) = (5 + 6 + 8 + 11 + 4 + 6) / 6 = 40 / 6 = 6.67
Średnia(y) = (1 + 4 + 3 + 7 + 9 + 12) / 6 = 36 / 6 = 6
Kowariancja próbki Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N – 1) = -0.4
Kowariancja populacji Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N) = -0.33
Odpowiedź: Kowariancja próbki wynosi -0.4, a kowariancja populacji wynosi -0.33.