Wzór na ciągłe oprocentowanie – pochodzenie i przykłady

Przed przejściem do nauki wzoru ciągłego składania odsetek, przypomnijmy sobie kilka rzeczy na temat odsetek składanych. Odsetki składane są zwykle obliczane na bazie dziennikowej, tygodniowej, miesięcznej, kwartalnej, półrocznej lub rocznej. W każdym z tych przypadków liczba składanych odsetek jest różna i skończona. Ale co jeśli ta liczba dąży do nieskończoności? To prowadzi do wzoru ciągłego składania. W ciągłym składaniu liczba razy, przez które odsetki składają się, dąży do nieskończoności. Nauczmy się wzoru ciągłego składania wraz z kilkoma rozwiązanymi przykładami.

Czym jest wzór na stałe oprocentowanie składane?

Wzór na stałe oprocentowanie składane należy stosować w przypadku, gdy w problemie wprost wspominają, że kwota jest „składana ciągle”. Wzór ten opiera się na stałej matematycznej „e”, której wartość jest przybliżona do 2,7182818…. Oto wzór na stałe oprocentowanie składane.

Wzór na stałe oprocentowanie składane

Wzór na stałe oprocentowanie składane to:

A = Pert

gdzie:

• P to kwota początkowa
• A to końcowa kwota
• r to stopa procentowa
• t to czas
• e to stała matematyczna, dla której e ≈ 2,7183.

Pochodzenie wzoru na stałe oprocentowanie składane

Wzór na oprocentowanie składane możemy wydedukować z wzoru na oprocentowanie proste. Wzór ten wygląda następująco:

A = P (1 + r/n)^nt

Tutaj n oznacza liczbę okresów, w których kwota początkowa (P) jest oprocentowana w czasie t, a A to końcowa kwota (lub wartość przyszła). W przypadku oprocentowania składanego ciągle, n → ∞. Przyjmujemy więc granicę powyższego wzoru, gdy n → ∞.

A = lim\(_{n \rightarrow \infty}\) P (1 + r/n)^nt = Pert

Ostateczny krok polega na zastosowaniu jednego z wzorów granicznych, który mówi, że lim\(_{n \rightarrow \infty}\) (1 + r/n)ⁿ = e^r.

W ten sposób otrzymujemy wzór na stałe oprocentowanie składane:

A = Pert

Przykłady wykorzystania wzoru na stałe oprocentowanie składane

Przykład 1: Inwestycja Tini

Tina zainwestowała $3000 w banku, który oferuje roczną stopę procentową 7% składaną ciągle. Jaka będzie kwota, którą Tina otrzyma po 5 latach z banku? Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej liczby całkowitej.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć odpowiedź, musimy wiedzieć:

• Kwota początkowa P wynosi $3000
• Stopa procentowa wynosi r = 7% = 7/100 = 0,07
• Czas wynosi t = 5 lat

Podstawiając wartości do wzoru na stałe oprocentowanie składane otrzymujemy:

A = Pert

A = 3000 × e0,07(5) ≈ 4257

Odpowiedź została obliczona za pomocą kalkulatora i zaokrąglona do najbliższej liczby całkowitej.

Odpowiedź: Kwota po 5 latach wynosi $4,257.

Przykład 2: Podwajanie kwoty inwestycji

Jaka powinna być stopa procentowa, aby kwota $5,300 podwoiła się w ciągu 8 lat, jeśli kwota jest oprocentowana składaną ciągle? Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej dziesiątej.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć odpowiedź, musimy wiedzieć:

• Kwota początkowa wynosi P = $5,300
• Kwota końcowa wynosi A = 2(5300) = $10,600
• Czas wynosi t = 8 lat

Podstawiając wartości do wzoru na stałe oprocentowanie składane, otrzymujemy:

A = Pert

10600 = 5300 × er (8)

Dzieląc obie strony przez 5300, otrzymujemy:

2 = e8r

Biorąc „ln” obu stron, otrzymujemy:

ln 2 = 8r

Dzieląc obie strony przez 8, otrzymujemy:

r = (ln 2) / 8 ≈ 0,087 (korzystając z kalkulatora)

Stawka procentowa wynosi zatem 0,087 × 100 = 8,7.

Odpowiedź: Stopa procentowa wynosi 8,7%.

Czym jest wzór na stałe oprocentowanie składane?

Wzór na stałe oprocentowanie składane to nic innego jak wzór na oprocentowanie składane, gdy liczba okresów jest nieskończona. Wzór ten mówi, że gdy kwota P jest inwestowana przez czas „t” z oprocentowaniem w wysokości r% składanym ciągle, to końcowa kwota wynosi A = Pert.

Jak wywnioskować wzór na stałe oprocentowanie składane?

Przypomnijmy sobie wzór na oprocentowanie składane, który mówi, że A = P (1 + r/n)nt, gdzie n to liczba okresów, w których kwota początkowa (P) jest oprocentowana w czasie t. Tutaj A to końcowa kwota. W przypadku oprocentowania składanego ciągle liczba okresów jest nieskończona, czyli n → ∞. Przyjmujemy więc granicę powyższego wzoru, gdy n → ∞.

A = lim\(_{n \rightarrow \infty}\) P (1 + r/n)nt = Pert (∵ lim\(_{n \rightarrow \infty}\) (1 + r/n)n = er)

Ostatecznie wzór na stałe oprocentowanie składane to:

A = Pert

Co to jest 'r’ w wzorze na stałe oprocentowanie składane?

Wzór na stałe oprocentowanie składane mówi, że A = Pert, gdzie 'r’ to stopa procentowa. Na przykład, jeśli stopa procentowa wynosi 10%, to przyjmujemy r = 10/100 = 0,1.

Co to jest 'e’ w wzorze na stałe oprocentowanie składane?

’e’ w wzorze na stałe oprocentowanie składane to stała matematyczna, której wartość jest przybliżona do 2,7183. Możemy użyć przycisku 'e’ na kalkulatorze do bardziej dokładnych obliczeń zamiast korzystać z liczby 2,7183.

Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Compound_interest#Continuous_compounding