Determinanty to skalary, uzyskiwane przez sumowanie iloczynów elementów macierzy kwadratowej i ich współczynników według ustalonej zasady. Pomagają one w odnajdywaniu macierzy sprzężonej oraz macierzy odwrotnej. Ponadto, do rozwiązywania równań liniowych przez metodę odwracania macierzy konieczne jest zastosowanie tego pojęcia. Wyznaczanie iloczynu wektorowego dwóch wektorów łatwo pamiętać dzięki obliczeniu determinanty.
W tym artykule dowiemy się więcej o procesie wyznaczania determinant różnych rzędów oraz o ich właściwościach, a także przećwiczymy kilka przykładów rozwiązanych z zastosowaniem determinantu.

Czym są determinanty?
W matematyce determinanty są uważane za współczynnik skalujący macierze. Mogą być traktowane jako funkcje rozciągające i kurczące macierze. Determinanty przyjmują macierz kwadratową jako dane wejściowe i zwracają pojedynczą liczbę jako wynik.
Definicja determinantów
Dla każdej macierzy kwadratowej C = [\(c_{ij}\)] o rzędzie n × n, determinant może być zdefiniowany jako wartość skalarna, która jest liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną, gdzie \(c_{ij}\) to (i, j)-ty element macierzy C. Determinant można oznaczyć jako det(C) lub |C|, gdzie determinant jest zapisany przez umieszczenie siatki liczb wewnątrz wartości bezwzględnej, zamiast używania nawiasów kwadratowych.
Przykładowo, dla macierzy C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)
Jej determinant można zapisać jako:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\)
Jak obliczyć determinanty?
Dla najprostszej macierzy kwadratowej rzędu 1 × 1, która składa się tylko z jednej liczby, determinant staje się samą tą liczbą. W tym artykule dowiemy się, jak obliczyć determinaty dla macierzy drugiego, trzeciego i czwartego rzędu.
Obliczanie determinanty macierzy 2×2
Dla każdej kwadratowej macierzy 2×2 lub macierzy kwadratowej rzędu 2 × 2, możemy użyć wzoru na determinant, aby obliczyć jej wartość:
C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]\)
Jej wyznacznik może zostać obliczony zgodnie ze wzorem:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\) = (a×d) – (b×c)
Na przykład dla macierzy C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)
Jej wyznacznik można obliczyć jako:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)
|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14
Obliczanie wyznacznika macierzy 3×3
Dla każdej kwadratowej macierzy 3×3 lub macierzy kwadratowej rzędu 3×3, \(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right] \), wyznacznik jest zdefiniowany jako:
|C| (lub) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)
Oto kroki obliczania wyznacznika macierzy 3×3:
- Ustalamy \(a_{1}\) jako stałą i obliczamy wyznacznik jej podmacierzy o wymiarze 2×2 (minor \(a_{1}\)).
- Analogicznie obliczamy minor dla \(b_{1}\) i \(c_{1}\).
- Mnożymy mały wyznacznik przez wartość stałej oraz przez jej znak \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & – \\+ &-& + \end{array}\right| \)
- Sumujemy wyniki z poprzedniego kroku.
Ostatecznie wyznacznik macierzy 3×3 może zostać obliczony zgodnie ze wzorem:
|C| = \(a_{1}\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{array}\right|-b_{1}\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1}\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)
Przykład
Rozważmy macierz:
\(B = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] \)
Jej wyznacznik można obliczyć jako:
|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right| \)
= (3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \8 & 7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \2 & 7\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll}4 & -2 \2 &

Obliczanie wyznacznika macierzy 4×4
Rozważmy macierz kwadratową 4×4 lub macierz kwadratową rzędu 4×4, jak poniżej. Przy obliczaniu wyznacznika 4×4, musimy pamiętać o następujących zmianach:
B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]\)
- Dodaj \(a_{1}\) razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej \(a_{1}\).
- Odejmij \(b_{1}\) razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej \(b_{1}\).
- Dodaj \(c_{1}\) razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej \(c_{1}\).
- Odejmij \(d_{1}\) razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej \(d_{1}\).
Ostatecznie wyznacznik macierzy 4×4 może być obliczony zgodnie ze wzorem:
|B| = \(\begin{aligned}&a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \\b_{3} & c_{3} & d_{3} \\b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|\\&+c_{1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{array}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{array}\right|\end{aligned}\)
Możemy użyć metody opisanej w poprzednim rozdziale do obliczenia wyznacznika macierzy 3
Właściwości wyznaczników
Dla kwadratowych macierzy różnych typów, przy obliczaniu ich wyznaczników stosuje się pewne ważne własności wyznaczników. Oto lista niektórych ważnych własności wyznaczników:
Własność 1: „Wyznacznik macierzy jednostkowej zawsze wynosi 1”
Rozważmy wyznacznik macierzy jednostkowej I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\end{array}\right]\), |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1. Zatem wyznacznik każdej macierzy jednostkowej wynosi zawsze 1.
Własność 2: „Jeśli kwadratowa macierz B o rzędzie n×n ma zero wiersz lub kolumnę, to det(B) = 0”
Rozważmy wyznacznik macierzy B, która ma jeden wiersz zerowy, |B| = \(\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|\) |B| = (2)(0) – (2)(0) = 0 W tym przypadku kwadratowa macierz B ma jeden wiersz zerowy, a zatem wyznacznik tej macierzy wynosi zero.
Własność 3: „Jeśli macierz C jest macierzą górną lub dolną trójkątną, to det(C) jest iloczynem wszystkich jej elementów na przekątnej”
Rozważmy macierz górną trójkątną C o elementach przekątnej równej 3, 2 i 4. Wyznacznik |C| można obliczyć jako: |C| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4\end{array}\right| \) |C| = 3 × 2 × 4 = 24
Własność 4: „Jeśli D jest kwadratową macierzą, to jeśli jej wiersz jest mnożony przez stałą k, to stałą można wyjąć przed wyznacznik”
Rozważmy macierz D:
|D| = (\left|\begin{array}{ll}k×a & k×b \c & d\end{array}\right|) |D| = k × (\left|\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \1 & 5\end{array}\right|)
= (2)(5) – (4)(1)
= 10 – 4 = 6
|D| = 2 × (\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \1 & 5\
Zasady operacji na wyznacznikach
Reguły przy wykonywaniu operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach:
- Wartość wyznacznika pozostaje niezmieniona, jeśli zamienimy wiersze i kolumny.
- Znak wyznacznika zmienia się, jeśli zamienimy dowolne dwa wiersze lub (dwa kolumny).
- Jeśli dwa wiersze lub kolumny macierzy są równe, to wartość wyznacznika jest równa zero.
- Jeśli każdy element danego wiersza lub kolumny jest pomnożony przez stałą, to wartość wyznacznika również jest pomnożona przez tę stałą.
- Jeśli elementy danego wiersza lub kolumny są wyrażone jako suma elementów, to wyznacznik może być wyrażony jako suma wyznaczników.
- Jeśli elementy danego wiersza lub kolumny są dodawane lub odejmowane z odpowiednimi wielokrotnościami elementów innego wiersza lub kolumny, to wartość wyznacznika pozostaje niezmieniona.
Ważne uwagi dotyczące wyznaczników:
Oto lista kilku punktów, które warto zapamiętać podczas nauki wyznaczników:
- Wyznacznik można traktować jako funkcję, która przyjmuje kwadratową macierz jako wejście i zwraca pojedynczą liczbę jako wyjście.
- Kwadratowa macierz może być zdefiniowana jako macierz, która ma równą liczbę wierszy i kolumn.
- Dla najprostszej kwadratowej macierzy rzędu 1×1, która zawiera tylko jedną liczbę, wyznacznik staje się samą tą liczbą.
Czym jest wyznacznik?
Definicja wyznacznika
Wyznacznik macierzy kwadratowej C = [\(c_{ij}\)] rzędu n×n może być zdefiniowany jako wartość skalarna, która jest liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną, gdzie \(c_{ij}\) oznacza element (i,j) macierzy C. Jest oznaczany jako det(C) lub |C|. Wyznacznik jest zapisywany przez umieszczenie siatki liczb i ustawienie ich wewnątrz pionowych kresków zamiast użycia kwadratowych nawiasów. Wyznacznik kwadratowej macierzy \(C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\\ \\ 5 & 3\end{array}\right]\) może być zapisany jako: \(|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\\5 & 3\end{array}\right|\). Wyznacznik jest uzyskiwany przez pomnożenie elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im współczynniki algebraiczne i dodanie tych iloczynów.
Zastosowanie wyznacznika
Wyznaczniki odgrywają ważną rolę w równaniach liniowych, gdzie są używane do reprezentacji zmiany wartości zmiennych w liczbach całkowitych oraz jak transformacje liniowe zmieniają objętość lub powierzchnię. Wyznaczniki są szczególnie przydatne w zastosowaniach, gdzie wykorzystywane są macierze odwrotne i macierze sprzężone. Również iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest obliczany za pomocą wyznaczników.
Przykłady wyznaczników
Rozważmy przykład macierzy kwadratowej D, D = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right]\). Jego wyznacznik może być obliczony jako:
|D| = (\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \3 & 4\end{array}\right|) |D| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14.
Właściwości wyznaczników
Definicja
Wyznacznik macierzy kwadratowej $C=[c_{ij}]$ o wymiarze $n\times n$ jest skalarem, który może być liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną. Oznaczany jest jako $\det(C)$ lub $|C|$, gdzie macierz $C$ zapisana jest wewnątrz nawiasów znaków wartości bezwzględnej, zamiast kwadratowych nawiasów. Wyznacznik macierzy $C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\ \ 5 & 3\end{array}\right]$ można zapisać jako $|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\5 & 3\end{array}\right|$. Wyznacznik jest uzyskiwany poprzez pomnożenie elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne i dodanie ich produktów.
Zastosowania wyznaczników
Wyznaczniki odgrywają ważną rolę w równaniach liniowych, gdzie są wykorzystywane do zapisania zmian zmiennych całkowitych i sposobu, w jaki przekształcenia liniowe zmieniają objętość lub powierzchnię. Wyznaczniki są szczególnie przydatne w zastosowaniach, gdzie używa się macierzy odwrotnych i macierzy dopełnień algebraicznych. Produkt wektorowy dwóch wektorów jest również obliczany za pomocą wyznaczników.
Zasady wykonywania operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach
Podstawowe zasady
Następujące zasady są pomocne w wykonywaniu operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach:
- Jeśli zamienione zostaną ze sobą wiersze i kolumny, to wartość wyznacznika pozostanie niezmieniona.
- Jeśli zamienione zostaną ze sobą dwa wiersze lub dwa kolumny, to znak wyznacznika zmieni się.
- Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny są sobie równe, to wartość wyznacznika jest równa zero.
- Jeśli każdy element wiersza lub kolumny macierzy zostanie pomnożony przez stałą, to wartość wyznacznika również zostanie pomnożona przez tę stałą.
- Jeśli elementy wiersza lub kolumny zostaną wyrażone jako sumy, to wyznacznik można podzielić na dwa lub więcej wyznaczników.
- Jeśli wiersz (lub kolumna) zostanie pomnożony przez liczbę, a wynikowe elementy zostaną dodane do innego wiersza (lub kolumny), to wyznacznik pozostanie niezmieniony.
Kalkulator wyznacznika
Aby obliczyć wyznacznik macierzy, można skorzystać z kalkulatora wyznaczników, na przykład: Determinant Calculator. Dzięki temu narzędziu można wyznaczyć wyznacznik macierzy o wymiarach 3×3.
Wyznacznik macierzy trójkątnej
Wyznacznik macierzy trójkątnej można obliczyć poprzez pomnożenie wszystkich elementów znajdujących się na przekątnej macierzy. Dotyczy to zarówno macierzy górnotrójkątnej, jak i dolnotrójkątnej.
Czy wyznacznik może być ujemny?
Wyznaczniki reprezentują skalarną wartość będącą liczbą rzeczywistą. W związku z tym wyznaczniki mogą być ujemne. Jeśli wartość wyznacznika jest ujemna, oznacza to, że macierz zmieniła orientację swojego wektora bazowego. | -A | = (-1) n | A |. Weźmy dowolny dodatni wyznacznik i zamieńmy ze sobą dowolne dwa wiersze lub kolumny macierzy, a otrzymamy ujemny wyznacznik.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant