Determinanty to skalary, uzyskiwane przez sumowanie iloczynów elementów macierzy kwadratowej i ich współczynników według ustalonej zasady. Pomagają one w odnajdywaniu macierzy sprzężonej oraz macierzy odwrotnej. Ponadto, do rozwiązywania równań liniowych przez metodę odwracania macierzy konieczne jest zastosowanie tego pojęcia. Wyznaczanie iloczynu wektorowego dwóch wektorów łatwo pamiętać dzięki obliczeniu determinanty.
W tym artykule dowiemy się więcej o procesie wyznaczania determinant różnych rzędów oraz o ich właściwościach, a także przećwiczymy kilka przykładów rozwiązanych z zastosowaniem determinantu.

Wyznaczniki - Znaczenie, Definicja | Macierz 3x3, Macierz 4x4

Czym są determinanty?

W matematyce determinanty są uważane za współczynnik skalujący macierze. Mogą być traktowane jako funkcje rozciągające i kurczące macierze. Determinanty przyjmują macierz kwadratową jako dane wejściowe i zwracają pojedynczą liczbę jako wynik.

Definicja determinantów

Dla każdej macierzy kwadratowej C = [$c_{ij}$] o rzędzie n × n, determinant może być zdefiniowany jako wartość skalarna, która jest liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną, gdzie $c_{ij}$ to (i, j)-ty element macierzy C. Determinant można oznaczyć jako det(C) lub |C|, gdzie determinant jest zapisany przez umieszczenie siatki liczb wewnątrz wartości bezwzględnej, zamiast używania nawiasów kwadratowych.

Przykładowo, dla macierzy C = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]$

Jej determinant można zapisać jako:

|C| = $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|$

Jak obliczyć determinanty?

Dla najprostszej macierzy kwadratowej rzędu 1 × 1, która składa się tylko z jednej liczby, determinant staje się samą tą liczbą. W tym artykule dowiemy się, jak obliczyć determinaty dla macierzy drugiego, trzeciego i czwartego rzędu.

Obliczanie determinanty macierzy 2×2

Dla każdej kwadratowej macierzy 2×2 lub macierzy kwadratowej rzędu 2 × 2, możemy użyć wzoru na determinant, aby obliczyć jej wartość:

C = $\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]$

Jej wyznacznik może zostać obliczony zgodnie ze wzorem:

|C| = $\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|$ = (a×d) – (b×c)

Na przykład dla macierzy C = $\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]$

Jej wyznacznik można obliczyć jako:

|C| = $\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|$

|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14

CZYTAĆ: Pochodna funkcji arctan - wzór, dowód, przykłady

Obliczanie wyznacznika macierzy 3×3

Dla każdej kwadratowej macierzy 3×3 lub macierzy kwadratowej rzędu 3×3, $C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right] $, wyznacznik jest zdefiniowany jako:

|C| (lub) det C = $\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| $

Oto kroki obliczania wyznacznika macierzy 3×3:

Ustalamy $a_{1}$ jako stałą i obliczamy wyznacznik jej podmacierzy o wymiarze 2×2 (minor $a_{1}$).
Analogicznie obliczamy minor dla $b_{1}$ i $c_{1}$.
Mnożymy mały wyznacznik przez wartość stałej oraz przez jej znak $\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & – \\+ &-& + \end{array}\right| $
Sumujemy wyniki z poprzedniego kroku.

Ostatecznie wyznacznik macierzy 3×3 może zostać obliczony zgodnie ze wzorem:

|C| = $a_{1}\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{array}\right|-b_{1}\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1}\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|$

Przykład

Rozważmy macierz:

$B = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] $

Jej wyznacznik można obliczyć jako:

|B| = $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right| $

= (3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \8 & 7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \2 & 7\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll}4 & -2 \2 &

|C| = $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|$

Obliczanie wyznacznika macierzy 4×4

Rozważmy macierz kwadratową 4×4 lub macierz kwadratową rzędu 4×4, jak poniżej. Przy obliczaniu wyznacznika 4×4, musimy pamiętać o następujących zmianach:

B = $\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]$

Dodaj $a_{1}$ razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej $a_{1}$.
Odejmij $b_{1}$ razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej $b_{1}$.
Dodaj $c_{1}$ razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej $c_{1}$.
Odejmij $d_{1}$ razy wyznacznik macierzy 3×3 uzyskanej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej $d_{1}$.

Ostatecznie wyznacznik macierzy 4×4 może być obliczony zgodnie ze wzorem:

|B| = $\begin{aligned}&a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \\b_{3} & c_{3} & d_{3} \\b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|\\&+c_{1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{array}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{array}\right|\end{aligned}$

Możemy użyć metody opisanej w poprzednim rozdziale do obliczenia wyznacznika macierzy 3

Właściwości wyznaczników

Dla kwadratowych macierzy różnych typów, przy obliczaniu ich wyznaczników stosuje się pewne ważne własności wyznaczników. Oto lista niektórych ważnych własności wyznaczników:

Własność 1: „Wyznacznik macierzy jednostkowej zawsze wynosi 1”

Rozważmy wyznacznik macierzy jednostkowej I = $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\end{array}\right]$, |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1. Zatem wyznacznik każdej macierzy jednostkowej wynosi zawsze 1.

CZYTAĆ: Równanie koła - wzór, przykłady

Własność 2: „Jeśli kwadratowa macierz B o rzędzie n×n ma zero wiersz lub kolumnę, to det(B) = 0”

Rozważmy wyznacznik macierzy B, która ma jeden wiersz zerowy, |B| = $\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|$ |B| = (2)(0) – (2)(0) = 0 W tym przypadku kwadratowa macierz B ma jeden wiersz zerowy, a zatem wyznacznik tej macierzy wynosi zero.

Własność 3: „Jeśli macierz C jest macierzą górną lub dolną trójkątną, to det(C) jest iloczynem wszystkich jej elementów na przekątnej”

Rozważmy macierz górną trójkątną C o elementach przekątnej równej 3, 2 i 4. Wyznacznik |C| można obliczyć jako: |C| = $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4\end{array}\right| $ |C| = 3 × 2 × 4 = 24

Własność 4: „Jeśli D jest kwadratową macierzą, to jeśli jej wiersz jest mnożony przez stałą k, to stałą można wyjąć przed wyznacznik”

Rozważmy macierz D:
|D| = (\left|\begin{array}{ll}k×a & k×b \c & d\end{array}\right|) |D| = k × (\left|\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \1 & 5\end{array}\right|)
= (2)(5) – (4)(1)
= 10 – 4 = 6
|D| = 2 × (\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \1 & 5\

Zasady operacji na wyznacznikach

Reguły przy wykonywaniu operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach:

Wartość wyznacznika pozostaje niezmieniona, jeśli zamienimy wiersze i kolumny.
Znak wyznacznika zmienia się, jeśli zamienimy dowolne dwa wiersze lub (dwa kolumny).
Jeśli dwa wiersze lub kolumny macierzy są równe, to wartość wyznacznika jest równa zero.
Jeśli każdy element danego wiersza lub kolumny jest pomnożony przez stałą, to wartość wyznacznika również jest pomnożona przez tę stałą.
Jeśli elementy danego wiersza lub kolumny są wyrażone jako suma elementów, to wyznacznik może być wyrażony jako suma wyznaczników.
Jeśli elementy danego wiersza lub kolumny są dodawane lub odejmowane z odpowiednimi wielokrotnościami elementów innego wiersza lub kolumny, to wartość wyznacznika pozostaje niezmieniona.

Ważne uwagi dotyczące wyznaczników:

Oto lista kilku punktów, które warto zapamiętać podczas nauki wyznaczników:

Wyznacznik można traktować jako funkcję, która przyjmuje kwadratową macierz jako wejście i zwraca pojedynczą liczbę jako wyjście.
Kwadratowa macierz może być zdefiniowana jako macierz, która ma równą liczbę wierszy i kolumn.
Dla najprostszej kwadratowej macierzy rzędu 1×1, która zawiera tylko jedną liczbę, wyznacznik staje się samą tą liczbą.

Czym jest wyznacznik?

Definicja wyznacznika

Wyznacznik macierzy kwadratowej C = [$c_{ij}$] rzędu n×n może być zdefiniowany jako wartość skalarna, która jest liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną, gdzie $c_{ij}$ oznacza element (i,j) macierzy C. Jest oznaczany jako det(C) lub |C|. Wyznacznik jest zapisywany przez umieszczenie siatki liczb i ustawienie ich wewnątrz pionowych kresków zamiast użycia kwadratowych nawiasów. Wyznacznik kwadratowej macierzy $C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\\ \\ 5 & 3\end{array}\right]$ może być zapisany jako: $|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\\5 & 3\end{array}\right|$. Wyznacznik jest uzyskiwany przez pomnożenie elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im współczynniki algebraiczne i dodanie tych iloczynów.

Zastosowanie wyznacznika

Wyznaczniki odgrywają ważną rolę w równaniach liniowych, gdzie są używane do reprezentacji zmiany wartości zmiennych w liczbach całkowitych oraz jak transformacje liniowe zmieniają objętość lub powierzchnię. Wyznaczniki są szczególnie przydatne w zastosowaniach, gdzie wykorzystywane są macierze odwrotne i macierze sprzężone. Również iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest obliczany za pomocą wyznaczników.

CZYTAĆ: Wzór na wysokość równoległoboku - Jaki jest wzór na wysokość równoległoboku?

Przykłady wyznaczników

Rozważmy przykład macierzy kwadratowej D, D = $\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right]$. Jego wyznacznik może być obliczony jako:

|D| = (\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \3 & 4\end{array}\right|) |D| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14.

Właściwości wyznaczników

Definicja

Wyznacznik macierzy kwadratowej $C=[c_{ij}]$ o wymiarze $n\times n$ jest skalarem, który może być liczbą rzeczywistą lub liczbą zespoloną. Oznaczany jest jako $\det(C)$ lub $|C|$, gdzie macierz $C$ zapisana jest wewnątrz nawiasów znaków wartości bezwzględnej, zamiast kwadratowych nawiasów. Wyznacznik macierzy $C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\ \ 5 & 3\end{array}\right]$ można zapisać jako $|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\5 & 3\end{array}\right|$. Wyznacznik jest uzyskiwany poprzez pomnożenie elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne i dodanie ich produktów.

Zastosowania wyznaczników

Wyznaczniki odgrywają ważną rolę w równaniach liniowych, gdzie są wykorzystywane do zapisania zmian zmiennych całkowitych i sposobu, w jaki przekształcenia liniowe zmieniają objętość lub powierzchnię. Wyznaczniki są szczególnie przydatne w zastosowaniach, gdzie używa się macierzy odwrotnych i macierzy dopełnień algebraicznych. Produkt wektorowy dwóch wektorów jest również obliczany za pomocą wyznaczników.

Zasady wykonywania operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach

Podstawowe zasady

Następujące zasady są pomocne w wykonywaniu operacji wierszowych i kolumnowych na wyznacznikach:

Jeśli zamienione zostaną ze sobą wiersze i kolumny, to wartość wyznacznika pozostanie niezmieniona.
Jeśli zamienione zostaną ze sobą dwa wiersze lub dwa kolumny, to znak wyznacznika zmieni się.
Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny są sobie równe, to wartość wyznacznika jest równa zero.
Jeśli każdy element wiersza lub kolumny macierzy zostanie pomnożony przez stałą, to wartość wyznacznika również zostanie pomnożona przez tę stałą.
Jeśli elementy wiersza lub kolumny zostaną wyrażone jako sumy, to wyznacznik można podzielić na dwa lub więcej wyznaczników.
Jeśli wiersz (lub kolumna) zostanie pomnożony przez liczbę, a wynikowe elementy zostaną dodane do innego wiersza (lub kolumny), to wyznacznik pozostanie niezmieniony.

Kalkulator wyznacznika

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, można skorzystać z kalkulatora wyznaczników, na przykład: Determinant Calculator. Dzięki temu narzędziu można wyznaczyć wyznacznik macierzy o wymiarach 3×3.

Wyznacznik macierzy trójkątnej

Wyznacznik macierzy trójkątnej można obliczyć poprzez pomnożenie wszystkich elementów znajdujących się na przekątnej macierzy. Dotyczy to zarówno macierzy górnotrójkątnej, jak i dolnotrójkątnej.

Czy wyznacznik może być ujemny?

Wyznaczniki reprezentują skalarną wartość będącą liczbą rzeczywistą. W związku z tym wyznaczniki mogą być ujemne. Jeśli wartość wyznacznika jest ujemna, oznacza to, że macierz zmieniła orientację swojego wektora bazowego. | -A | = (-1) n | A |. Weźmy dowolny dodatni wyznacznik i zamieńmy ze sobą dowolne dwa wiersze lub kolumny macierzy, a otrzymamy ujemny wyznacznik.