Racjonalne wykładniki to wykładniki liczb wyrażonych jako liczby wymierne, czyli w postaci ap/q, gdzie a to podstawa, a p/q to wykładnik wymierny, gdzie q ≠ 0. W racjonalnych wykładnikach podstawa musi być dodatnią liczbą całkowitą. Zasady dotyczące racjonalnych wykładników są podobne do zasad dotyczących wykładników całkowitych. Licznik racjonalnego wykładnika reprezentuje potęgę, a mianownik reprezentuje pierwiastek.
Co to są racjonalne wykładniki?
Wyrażenie wykładnicze postaci am ma wykładnik wymierny, gdy m jest liczbą wymierną. W racjonalnych wykładnikach, potęgi i pierwiastki liczby są wyrażone razem. Przykłady wykładników wymiernych to: 22/3, 95/9, 1111/3, itp. Tutaj podstawy są dodatnimi liczbami całkowitymi i mają wymierne wykładniki. Właściwości ogólnych wykładników obowiązują również dla wykładników wymiernych.
Definicja racjonalnych wykładników
Racjonalne wykładniki to wykładniki, które można wyrazić w postaci p/q, gdzie q ≠ 0. Ogólna notacja racjonalnych wykładników to xm/n, gdzie x to podstawa (dodatnia liczba) i m/n to wykładnik wymierny. Racjonalne wykładniki mogą być również zapisane jako \(x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\).
Formuły racjonalnych wykładników
Teraz przejdźmy do niektórych wzorów racjonalnych wykładników, które są używane do rozwiązywania różnych problemów algebraicznych. Wzory wykładników całkowitych obowiązują również dla wykładników wymiernych. Rozważmy wykładniki wymierne o takich samych podstawach am/n, ap/q oraz o innej podstawie bm/n:
- am/n × ap/q = a(m/n + p/q)
- am/n ÷ ap/q = a(m/n – p/q)
- am/n × bm/n = (ab)m/n
- am/n ÷ bm/n = (a÷b)m/n
- a-m/n = (1/a)m/n
- a0/n = a0 = 1
- (am/n)p/q = am/n × p/q
- xm/n = y ⇔ x = yn/m
Racjonalne wykładniki i pierwiastki
Możemy zapisać wyrażenia racjonalnych wykładników jako pierwiastki, identyfikując potęgi i pierwiastki oraz przekształcając je na pierwiastki. Rozważmy wyrażenie racjonalnych wykładników am/n. Teraz wykonajmy następujące kroki:
Krok 1: Zidentyfikuj potęgę, patrząc na licznik wykładnika wymiernego. Tutaj w wykładniku wymiernym am/n, m jest potęgą.
Krok 2: Zidentyfikuj pierwiastek, patrząc na mianownik wykładnika wymiernego. Tutaj w wykładniku wymiernym am/n, n jest pierwiastkiem.
Krok 3: Zapisz podstawę jako radikand, potęgę jako podnoszenie do radikanda i pierwiastek jako indeks. Tutaj możemy zapisać am/n = n√am.
Możemy również przekształcić pierwiastki na wykładniki wymierne. Rozważmy pierwiastek kwadratowy z dodatniej liczby √a. Możemy zapisać pierwiastek kwadratowy √a jako wykładnik wymierny. √a = a1/2, co jest wykładnikiem wymiernym.
Upraszczanie wykładników wymiernych
Teraz, gdy poznaliśmy wzory wykładników wymiernych i jak zapisać wykładniki wymierne jako pierwiastki, spróbujmy rozwiązać kilka problemów, aby nauczyć się, jak upraszczać wykładniki wymierne. Aby uprościć wykładniki wymierne, musimy zredukować wyrażenie wykładnicze do jego najprostszej postaci.
Przykład 1: Uprość wykładnik wymierny 642/3
Rozwiązanie: Możemy zapisać 642/3 jako 642/3 = (3√64)2 lub 642/3 = 3√(64)2. Łatwiej jest wyznaczyć pierwiastek sześcienny z 64, a następnie podnieść go do kwadratu, w porównaniu z wyszukaniem kwadratu 64, a następnie znalezieniem jego pierwiastka sześciennego. Aby uprościć wykładnik wymierny 642/3, mamy:
642/3 = (3√64)2
⇒ 642/3 = (4)2
⇒ 642/3 = 16
Stąd wykładnik wymierny 642/3 jest uproszczony do 16.
Przeanalizujmy kolejny przykład, korzystając z wzorów wykładników wymiernych:
Przykład 2: Uprość iloczyn wykładników wymiernych 4(2×2/3)(7×5/4).
Rozwiązanie: Aby uprościć dane wykładniki wymierne, połączymy stałe współczynniki i oddzielimy zmienne, a następnie skorzystamy z wzorów do uproszczenia wykładników wymiernych.
4(2×2/3)(7×5/4) = (4 × 2 × 7) × (x2/3 × x5/4)
= 56 (x2/3 + 5/4) [Podstawy wykładników wymiernych są takie same, więc dodajemy wykładniki wymierne.]
= 56 x23/12
Stąd iloczyn wykładników wymiernych 4(2×2/3)(7×5/4) jest równy 56 x23/12.
Wykładniki wymierne niewymierne
Wykładniki z ułamkami i liczbami dziesiętnymi nazywamy wykładnikami wymiernymi niewymierne. Ogólny format wykładnika wymiernego to: \(a^{\frac{p}{q}}\). Tutaj 'a’ jest podstawą, a liczba wymierna \(\frac{p}{q} \) jest wykładnikiem. Zobaczmy następujące przykłady wykładników wymiernych niewymiernych. \(2^{0.5}, 5^{\frac{2}{3}}, 11^{\frac{1}{2}}\). Rozważmy \(27^{\frac{2}{3}}\), gdzie 2/3 to wykładnik wymierny niewymierne. Możemy również zapisać go w postaci pierwiastkowej jako: 3√(27)2 = (3√27)2.
Jak upraszczać wykładniki wymierne niewymierne?
Wykładniki wymierne niewymierne można rozwiązywać w ten sam sposób, w jaki rozwiązuje się wykładniki z liczbami całkowitymi. Przypomnijmy sobie, że jeśli 'a’ jest podstawą, a 'm’ i 'n’ to wykładniki, które są liczbami całkowitymi, to do rozwiązywania wykładników stosuje się następujące zasady wykładników:
- am × an = am+n
- am / an = am-n
- (am)n = am× n
- a- m = 1/am
- \( \sqrt [n] a^m= (a^m)^{\frac{1}{n}} =a^{\frac{m}{n}}\)
Przyjrzyjmy się następującym przykładom, które pokazują, jak te same prawa wykładników są również używane do rozwiązywania wykładników ułamkowych.
\(\begin{align}7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{3}{2}} &= 7^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}}\\&=7^ {\frac{2 \times 2 + 3 \times 3}{6} } \\&= 7^{\frac{4 + 9}{6}}\\& = 7^{\frac{13}{6}}\end{align}\)
\(\begin{align}(4^{\frac{-3}{5}})^{\frac{2}{3}} &= 4^{\frac{-3}{5} \times \frac{2}{3} } \\&= 4^{\frac{-2}{5}}\end{align}\)
Porady dotyczące wykładników wymiernych
- am/n = n√am
- a1/m × a1/li>
Wykładniki wymierne w matematyce
Czym są wykładniki wymierne?
Wykładniki wymierne to wykładniki liczb wyrażone jako liczby wymierne, czyli w postaci ap/q, gdzie a to podstawa, a p/q to wykładnik wymierny, gdzie q ≠ 0.
Jak upraszczać wyrażenia z wykładnikami wymiernymi?
Wyrażenia z wykładnikami wymiernymi można uprościć za pomocą wzorów wykładników wymiernych.
Jakie są właściwości wykładników wymiernych?
Właściwości wykładników wymiernych to:
- am/n × ap/q = a(m/n + p/q)
- am/n ÷ ap/q = a(m/n – p/q)
- am/n × bm/n = (ab)m/n
- am/n ÷ bm/n = (a÷b)m/n
- a-m/n = (1/a)m/n
- (am/n)p/q = am/n × p/q
Czym są wykładniki pierwiastkowe i wymierne?
Wykładniki wymierne można zapisać jako pierwiastki, czyli am/n = n√am. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 5 można zapisać zarówno jako wykładnik wymierny, jak i w postaci pierwiastka: √5 = 51/2.
Czym są dodatnie wykładniki wymierne?
Dodatnie wykładniki wymierne są wyrażone za pomocą dodatnich wykładników, na przykład a1/m, gdzie m jest dodatnie.
Jak rozwiązywać równania z wykładnikami wymiernymi?
Wzory wykładników wymiernych do rozwiązywania równań
Do rozwiązywania równań z wykładnikami wymiernymi używamy wzorów wykładników wymiernych, takich jak:
- am/n = n√am
- a1/m × a1/n = a(1/m + 1/n)
- a1/m ÷ a1/n = a(1/m – 1/n)
- a1/m × b1/m = (ab)1/m
- a1/m ÷ b1/m = (a÷b)1/m
- (am)1/n = am/n
Jakie są zasady wykładników wymiernych?
Zasady wykładników wymiernych to:
- am/n × ap/q = a(m/n + p/q)
- am/n ÷ ap/q = a(m/n – p/q)
- am/n × bm/n = (ab)m/n
- am/n ÷ bm/n = (a÷b)m/n
- a-m/n = (1/a)m/n
- a0/n = a0 = 1
- (am/n)p/q = am/n × p/q
- xm/n = y ⇔ x = yn/m
Czym jest wykładnik wymierny nie całkowity?
Wykładnik wymierny nie całkowity to wykładnik, który może być przedstawiony w postaci ułamka p/q. \(a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q] {a^p}\). p/q może być ułamkiem lub liczbą dziesiętną.
Czy wykładniki wymierne nie całkowite dodajemy czy mnożymy?
Jeśli mnożymy podstawy, to wykładniki dodajemy. am × an = am+n. Wykładniki są mnożone, jeśli jeden wykładnik jest umieszczony na drugim. (am)n = am× n, gdzie m i n są wykładnikami wymiernymi nie całkowitymi.
Czy wykładniki wymierne nie całkowite mogą być ujemne?
Wykładniki wymierne nie całkowite mogą być liczbami niedodatnimi, w postaci \(a^{\frac{-p}{q}}\), na przykład a-½.
Gdzie w życiu realnym używa się ujemnych wykładników wymiernych nie całkowitych?
W życiu realnym, ujemne wykładniki wymierne nie całkowite są używane do pokazywania, jak małe są rzeczy. Na przykład zoolodzy używają ujemnych wykładników do
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
