Właściwość zerowego iloczynu stosowana jest do wyznaczania wartości pojedynczego czynnika. Jeśli wyrażenie spełnia właściwość zerowego iloczynu, to jest równe zero i ma rozwiązania. Spełnienie tej właściwości oznacza, że po jednej stronie znaku równości mamy wyrażenie będące iloczynem czynników, a po drugiej stronie jest równe zero.
Właściwość zerowego iloczynu dotyczy równań algebraicznych, ale nie macierzy ani wektorów. Sprawdźmy to na przykładach.
Właściwość zerowego iloczynu – co to jest?
Właściwość zerowego iloczynu oznacza, że jedna strona wyrażenia jest równa zero, a druga strona jest iloczynem dwóch lub więcej czynników. Ta właściwość stosuje się do mnożenia w algebrze, macierzach i wektorach. Mówi ona, że jeśli iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, to co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0 (ponieważ w przeciwnym razie iloczyn nie byłby równy 0). Na przykład:
(x + a)(x + b) = 0 ⇒ x + a = 0 (lub) x + b = 0
Zauważmy, że więcej niż jeden czynnik może być również równy zero, aby iloczyn był równy 0. Właściwość zerowego iloczynu może być stosowana do równań, ale nie może być zastosowana do macierzy i wektorów.
Właściwość zerowego iloczynu w równaniach
Właściwość zerowego iloczynu dla równań jest pomocna w rozwiązywaniu równania i znajdowaniu wartości zmiennych. Wyrażenie algebraiczne zgodne z właściwością zerowego iloczynu składa się z czynników i może być również rozwiązane w celu znalezienia wartości zmiennych. Właściwość zerowego iloczynu jest bardzo pomocna w rozwiązywaniu równań kwadratowych, które są w postaci rozłożonej. Na przykład, jeśli (x + p) (x + q) = 0, to na podstawie właściwości zerowego iloczynu można stwierdzić, że x + p = 0 lub x + q = 0 i rozwiązanie każdego z tych równań po x da rozwiązania danego równania kwadratowego.
Podobnie, właściwość zerowego iloczynu może być stosowana do równań wielomianowych. Na przykład, jeśli x (x + 1) (x + 2) = 0, to z zastosowaniem właściwości zerowego iloczynu, x = 0 (lub) x + 1 = 0 (lub) x + 2 = 0, co daje x = 0, -1 i -2 jako pierwiastki.
Właściwość zerowego iloczynu w macierzach
Właściwość zerowego iloczynu nie jest stosowana do macierzy. Innymi słowy, chociaż iloczyn dwóch macierzy daje macierz zerową, nie jest konieczne, aby jedna z macierzy była macierzą zerową. Zatem właściwość zerowego iloczynu nie może być zastosowana do mnożenia macierzy. Rozważmy następujący przykład.
Niech A = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right]\) i B = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 \\ \end {array} } \right] \). Możemy zweryfikować, że AB = O.
AB = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right] \) \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 \\ \end {array} } \right] \) = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right] \)
Jednakże zauważmy, że żadna z macierzy A i B nie jest faktycznie macierzą zerową.
Właściwość zerowego iloczynu w wektorach
Właściwość zerowego iloczynu również nie może być zastosowana do wektorów. Kiedy iloczyn skalarny lub wektorowy dwóch wektorów wynosi 0, nie oznacza to, że co najmniej jeden z wektorów jest wektorem zerowym. Rozważmy poniższe przykłady.
Przykład 1: Dla a = i + j i b = i – j, a · b = (i + j) · (i – j) = 1 – 1 = 0, ale ani a ani b nie jest wektorem zerowym.
Przykład 2: Wiemy, że i × i = 0, ale żaden z wektorów nie jest wektorem zerowym. Faktycznie, i jest wektorem jednostkowym.
Zalety i wady właściwości zerowego iloczynu
Oto niektóre z ważnych zalet i wad właściwości zerowego iloczynu:
- Właściwość zerowego iloczynu jest stosowana do wyznaczania wartości zmiennych w równaniu algebraicznym poprzez ustawienie każdego z czynników na 0.
- Aby rozwiązać równanie przy użyciu właściwości zerowego iloczynu, należy być świadomym procesu rozkładania wyrażeń na czynniki.
- Właściwość zerowego iloczynu nie może być stosowana do macierzy ani wektorów.
Czym jest właściwość zerowego iloczynu w algebrze?
Właściwość zerowego iloczynu w algebrze stosowana jest w równaniach kwadratowych i wielomianowych. Mówi ona, że dla dowolnych dwóch wyrażeń 'a’ i 'b’, gdy a × b = 0, to albo a = 0 albo b = 0. Ta właściwość jest przydatna w rozwiązywaniu równań kwadratowych, równań sześciennych itp. po rozłożeniu na czynniki.
Jak stosować właściwość zerowego iloczynu?
Właściwość zerowego iloczynu można zastosować, gdy iloczyn wyrażeń jest równy zeru. Ta właściwość pomaga wyrównać poszczególne czynniki wyrażenia na zero, a następnie je rozwiązać.
Czy właściwość zerowego iloczynu może być stosowana w dowolnym miejscu w matematyce?
Nie, właściwość zerowego iloczynu jest stosowana tylko do rozwiązywania równań algebraicznych. Nie jest ona stosowana ani do macierzy, ani do wektorów.
Czym jest właściwość zerowego iloczynu?
Właściwość zerowego iloczynu mówi, że jeśli na jednej stronie równania jest iloczyn czynników, a na drugiej stronie jest zero, to co najmniej jeden z tych czynników musi być równy zeru. To stwierdzenie jest stosowane również w wyższych stopniach równań, ale nie do macierzy i wektorów.
Jakie jest zastosowanie właściwości zerowego iloczynu?
Właściwość zerowego iloczynu jest przydatna do znajdowania pierwiastków równania wielomianowego. Jednakże, aby zastosować tę właściwość, należy rozłożyć część lewej strony równania wielomianowego na czynniki i równać część prawej strony na 0.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-product_property
