Zanim dowiemy się, czym jest wierzchołek paraboli, przypomnijmy sobie, co to jest parabola. Parabola to podstawowa krzywa o kształcie litery 'U’ skierowanej w różnych kierunkach. Może przyjąć jedną z czterech form:

parabola w kształcie 'U’ (góra otwarta)
parabola w kształcie '∩’ (dół otwarty)
parabola w kształcie '⊃’ (lewo otwarta)
parabola w kształcie '⊂’ (prawo otwarta)

Każda parabola ma punkt zwrotny, czyli punkt, w którym zmienia kierunek wzrostu lub spadku. Ten punkt zwrotny nazywa się wierzchołkiem paraboli. Dowiedzmy się więcej o wierzchołku paraboli oraz o różnych procesach jego znajdowania.

Czym jest wierzchołek paraboli?

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola wykonuje swój największy obrót. Funkcja paraboliczna ma wartość maksymalną (jeśli jest w kształcie '∩’) lub wartość minimalną (jeśli jest w kształcie 'U’). Wierzchołek paraboli to również punkt przecięcia paraboli i jej osi symetrii.

Różne rodzaje parabol

Istnieją dwa rodzaje równań paraboli, które reprezentują cztery różne rodzaje parabol. Równanie każdej paraboli zawiera wielomian kwadratowy.

Parabole o otwarciu do góry/na dół:

Równanie paraboli o otwarciu do góry/na dół może przyjmować jedną z trzech poniższych postaci:

Postać standardowa: y = ax2 + bx + c
Postać wierzchołkowa: y = a (x – h)2 + k
Postać przechwytywania: y = a (x – p)(x – q)

W każdym przypadku parabola otwiera się do góry, jeśli a > 0, i otwiera się na dół, jeśli a < 0.

Parabole o otwarciu na lewo/na prawo:

Równanie paraboli o otwarciu na lewo/na prawo może przyjmować jedną z trzech poniższych postaci:

Postać standardowa: x = ay2 + by + c
Postać wierzchołkowa: x = a (y – k)2 + h
Postać przechwytywania: x = a (y – p)(y – q)

W każdym przypadku parabola otwiera się na prawo, jeśli a > 0, i otwiera się na lewo, jeśli a < 0.

CZYTAĆ: cot 0 stopni - Oblicz wartość cot 0 stopni

Wzory wierzchołka paraboli

Oto wzory, które pozwalają znaleźć wierzchołek dowolnego rodzaju paraboli, gdy jest ona w różnych postaciach. Będziemy uczyć się o każdej z nich szczegółowo w kolejnych sekcjach.

	Parabole o otwarciu do góry/na dół	Parabole o otwarciu na lewo/na prawo
Postać standardowa	Wierzchołek = (-b/2a, f(-b/2a))	Wierzchołek = (f(-b/2a), -b/2a)

Znajdowanie wierzchołka paraboli z postaci standardowej

Wiemy, że równanie paraboli w postaci standardowej może mieć postać y = ax2 + bx + c (góra/dół) lub x = ay2 + by + c (lewo/prawo). Zobaczmy kroki, aby znaleźć wierzchołek paraboli w każdym z tych przypadków.

Wierzchołek paraboli o otwarciu do góry/na dół

Gdy parabola otwiera się do góry lub na dół, jej równanie w postaci standardowej ma postać y = ax2 + bx + c. Oto kroki, aby znaleźć wierzchołek (h, k) takiej paraboli. Kroki są wyjaśnione na przykładzie, gdzie znajdziemy wierzchołek paraboli y = 2×2 – 4x + 1.

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z postacią standardową y = ax2 + bx + c. Porównując y = 2×2 – 4x + 1 z powyższym równaniem, otrzymujemy a = 2, b = -4 i c = 1.

Krok 2: Znajdź współrzędną x wierzchołka, korzystając ze wzoru, h = -b/2a. Wtedy otrzymujemy h = -(-4) / (2 × 2) = 1.

Krok 3: Aby znaleźć współrzędną y (k) wierzchołka, podstaw x = h w wyrażeniu ax2 + bx + c. Wtedy k = 2(1)2 – 4(1) + 1 = 2 – 4 + 1 = -1.

Krok 4: Zapisz wierzchołek (h, k) jako parę uporządkowaną. Wierzchołek = (h, k) = (1, -1).

Wierzchołek paraboli o otwarciu na lewo/na prawo

Gdy parabola otwiera się na lewo lub na prawo, jej równanie w postaci standardowej ma postać x = ay2 + by + c. Oto kroki, aby znaleźć wierzchołek (h, k) takiej paraboli, które są wyjaśnione na przykładzie, gdzie znajdziemy wierzchołek paraboli x = 2y2 – 4y + 1.

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z postacią standardową x = ay2 + by + c. Porównując x = 2y2 – 4y + 1 z powyższym równaniem, otrzymujemy a = 2, b = -4 i c = 1.

Krok 2: Znajdź współrzędną y wierzchołka, korzystając ze wzoru, k = -b/2a.

Znajdowanie wierzchołka paraboli z postaci wierzchołkowej

Wiemy, że równanie paraboli w postaci wierzchołkowej może mieć postać y = a(x – h)2 + k (góra/dół) lub x = a(y – k)2 + h (lewo/prawo). Zobaczmy kroki, aby znaleźć wierzchołek paraboli w każdym z tych przypadków.

Wierzchołek paraboli o otwarciu do góry/na dół

Gdy parabola otwiera się do góry lub na dół, jej równanie w postaci wierzchołkowej ma postać y = a(x – h)2 + k. Oto kroki, aby znaleźć wierzchołek (h, k) takiej paraboli. Kroki są wyjaśnione na przykładzie, gdzie znajdziemy wierzchołek paraboli y = 2(x + 3)2 + 5.

CZYTAĆ: Wzór na ciągłe oprocentowanie - pochodzenie i przykłady

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z postacią wierzchołkową y = a(x – h)2 + k i zidentyfikuj wartości h i k. Porównując y = 2(x + 3)2 + 5 z powyższym równaniem, otrzymujemy h = -3 i k = 5.

Krok 2: Zapisz wierzchołek (h, k) jako parę uporządkowaną. Wierzchołek = (h, k) = (-3, 5).

Wierzchołek paraboli o otwarciu na lewo/na prawo

Gdy parabola otwiera się na lewo lub na prawo, jej równanie w postaci wierzchołkowej ma postać x = a(y – k)2 + h. Oto kroki, aby znaleźć wierzchołek (h, k) takiej paraboli, które są wyjaśnione na przykładzie, gdzie znajdziemy wierzchołek paraboli x = 2(y + 3)2 + 5.

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z postacią wierzchołkową x = a(y – k)2 + h i zidentyfikuj wartości h i k. Porównując x = 2(y + 3)2 + 5 z powyższym równaniem, otrzymujemy h = 5 i k = -3.

Krok 2: Zapisz wierzchołek (h, k) jako parę uporządkowaną. Wierzchołek = (h, k) = (5, -3).

Znajdowanie wierzchołka paraboli w postaci przecięcia osi

Wierzchołek otwartej góra/dół paraboli

Gdy parabola otwarta jest w górę lub w dół, jej równanie w postaci przecięcia osi ma postać y = a (x – p) (x – q), gdzie (p, 0) i (q, 0) są punktami przecięcia z osią x. Oto kroki do znalezienia wierzchołka (h, k) takich parabol:

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z formą przecięcia osi y = a (x – p) (x – q) i zidentyfikuj wartości p i q.

Dla równania y = -(x + 3) (x – 7), p = -3 i q = 7.

Krok 2: Znajdź współrzędną x wierzchołka, h, używając wzoru h = (p + q)/2.

Następnie h = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2.

Krok 3: Znajdź współrzędną y wierzchołka, k, podstawiając x = h do wyrażenia a (x – p) (x – q).

Następnie k = -(2 + 3) (2 – 7) = 25.

Krok 4: Zapisz wierzchołek (h, k) jako parę uporządkowaną.

Wierzchołek = (h, k) = (2, 25).

Wierzchołek otwartej lewo/prawo paraboli

Gdy parabola otwarta jest w lewo lub w prawo, jej równanie w postaci przecięcia osi ma postać x = a (y – p) (y – q), gdzie (0, p) i (0, q) są punktami przecięcia z osią y. Oto kroki do znalezienia wierzchołka (h, k) takich parabol:

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 112

Krok 1: Porównaj równanie paraboli z formą przecięcia osi x = a (y – p) (y – q) i zidentyfikuj wartości p i q.

Dla równania x = -(y + 3) (y – 7), p = -3 i q = 7.

Krok 2: Znajdź współrzędną y wierzchołka, k, używając wzoru k = (p + q)/2.

Następnie k = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2.

Krok 3: Znajdź współrzędną x wierzchołka, h, podstawiając y = k do wyraż

Właściwości wierzchołka paraboli

Oto niektóre właściwości wierzchołka paraboli, wynikające z definicji wierzchołka:

Wierzchołek paraboli to jej punkt zwrotny.
Ponieważ wierzchołek paraboli jest jej ostry punkt zwrotny, pochodna funkcji reprezentującej parabolę w wierzchołku wynosi 0.
Parabola otwarta w górę lub w dół ma wierzchołek maksimum lub minimum.
Wierzchołek paraboli otwartej w lewo lub prawo nie jest ani maksimum, ani minimum.
Każdy rodzaj paraboli przecina swoją oś symetrii w wierzchołku.

Ważne uwagi dotyczące wierzchołka paraboli:

Wierzchołek paraboli f(x) = ax2 + bx + c to (-b/2a, f(-b/2a)).
Jej oś symetrii to x = -b/2a.
Zamiast używać wzoru x = -b/2a, można przekształcić postać standardową f(x) = ax2 + bx + c na postać wierzchołkową f(x) = a (x – h)2 + k, wykonując kwadratowanie w celu znalezienia wierzchołka (h, k).
Wierzchołek paraboli f(y) = ay2 + by + c to (f(-b/2a), -b/2a).
Jej oś symetrii to y = -b/2a.
Wierzchołek funkcji parabolicznej f(x) = a (x – h)2 + k to (h, k), gdzie 'h’ reprezentuje przesunięcie poziome, a 'k’ to przesunięcie pionowe funkcji macierzystej f(x) = x2.
Parabola otwarta w górę/otwarta parabola y = a(x – h)2 + k ma wartość maksymalną w wierzchołku (h, k), gdy a < 0 i minimalną wartość w wierzchołku (h, k), gdy a > 0.
Parabola otwarta w lewo/prawo nie ma ani maksimum, ani minimum.
Możemy użyć wierzchołka paraboli do jej narysowania. W tym celu:
Utwórz tabelę dwóch kolumn zatytułowaną x i y z co najmniej 5 wierszami. W kolumnie x jeden z liczb powinien być współrzędną x wierzchołka, a dwie losowe liczby po obu stronach (lewej i