Wielomian kwadratowy to wielomian, którego najwyższy stopień jednomianu wynosi drugi stopień. Wielomian kwadratowy jest również nazywany wielomianem drugiego stopnia. Oznacza to, że co najmniej jedna zmienna powinna być podniesiona do kwadratu, podczas gdy pozostałe potęgi zmiennych będą mniejsze lub równe niż dwa, ale większe niż -1.
Wielomian kwadratowy może mieć wiele zmiennych. Jednakże, jednowymiarowy wielomian kwadratowy, który posiada pojedynczą zmienną, jest najczęściej używanym wielomianem. Graficzna reprezentacja jednowymiarowego wielomianu kwadratowego to parabola. W tym artykule będziemy zajmować się szczegółową analizą wielomianu kwadratowego, przykładami i sposobami na znalezienie pierwiastków takiego wielomianu.

Czym jest wielomian kwadratowy?

Wielomian kwadratowy to taki, w którym najwyższa potęga zmiennej w wyrażeniu wielomianowym wynosi 2. Do sprawdzenia stopnia wielomianu brane jest pod uwagę wykładnik zmiennej. Potęga współczynnika lub stałej nie jest brana pod uwagę. Gdy wielomian kwadratowy jest równany do 0, powstaje równanie kwadratowe lub funkcja kwadratowa. Rozwiązania takiego równania nazywane są pierwiastkami lub zerami równania kwadratowego.

Definicja wielomianu kwadratowego

Wielomian kwadratowy to wielomian drugiego stopnia, gdzie wartość najwyższego wyrazu wynosi 2. Ogólna postać równania kwadratowego jest zapisywana jako ax2 + bx + c = 0. Tutaj a i b są współczynnikami, x to nieznana zmienna, a c to stały wyraz. Ponieważ równanie to zawiera wielomian kwadratowy, rozwiązanie go da dwie wartości zmiennej x. Oznacza to, że może być dwie wartości x.

Przykład wielomianu kwadratowego

Załóżmy, że mamy wielomian kwadratowy x2 + 4x + 4 = 0. Aby znaleźć rozwiązania tego równania, faktoryzujemy je jako (x + 2)(x + 2) = 0. Zatem pierwiastkami tego równania kwadratowego będą x = -2, -2.

Wzór wielomianu kwadratowego

Ogólny wzór jednowymiarowego wielomianu kwadratowego jest podany jako ax2 + bx + c. Gdy ten wielomian kwadratowy jest używany w równaniu, zapisuje się go jako ax2 + bx + c = 0. Istnieje wiele metod, które można wykorzystać do znalezienia rozwiązań równania zawierającego wielomian kwadratowy. Metody te obejmują faktoryzację równania kwadratowego, uzupełnianie kwadratów, korzystanie z grafów i korzystanie z wzoru wielomianu kwadratowego. Spośród wszystkich tych technik, najprostszym sposobem na znalezienie pierwiastków wielomianu kwadratowego jest wykorzystanie wzoru. Dodatkową korzyścią tej metody jest możliwość wyciągnięcia kilku ważnych wniosków poprzez analizę dyskryminantu. Wzór wielomianu kwadratowego jest podany poniżej:

CZYTAĆ: Pochodna funkcji tangens x - Wzór, Dowód, Przykłady

x = \(\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

Wielomian kwadratowy - Definicja, Wzór, Pierwiastki, Przykłady

Dwie wartości x, które są uzyskiwane po zastosowaniu tego wzoru, nazywane są rozwiązaniami, zerami lub pierwiastkami równania kwadratowego.

Dyskryminant wielomianu kwadratowego

Wartość b2 – 4ac nazywa się dyskryminantem. Oznacza się go literą D. Naturę pierwiastków można określić, korzystając z dyskryminantu.

Pierwiastki wielomianu kwadratowego

Metoda faktoryzacji jest stosowana tylko w przypadku niektórych wielomianów kwadratowych. Jednak wzór wielomianu kwadratowego może być stosowany dla każdego typu równania kwadratowego. Ponadto wartość dyskryminantu może być wykorzystana do analizy natury pierwiastków wielomianu kwadratowego. Poniżej przedstawiono różne warunki, które mogą pomóc w przewidywaniu natury pierwiastków:

D > 0: Jeśli dyskryminant jest dodatni, oznacza to, że pierwiastki są rzeczywiste i różne.

D = 0: Jeśli wartość dyskryminantu jest równa zero, to oba pierwiastki są rzeczywiste i równe sobie.

D < 0: Jeśli dyskryminant jest ujemny, oba pierwiastki są liczbami urojonymi.

Suma i iloczyn pierwiastków wielomianu kwadratowego

Korzystając z pierwiastków równania zawierającego wielomian kwadratowy, można ustalić związek między pierwiastkami a współczynnikami. Suma i iloczyn pierwiastków wielomianu kwadratowego można określić, korzystając z współczynników i stałej wyrazu. Załóżmy, że jeden pierwiastek wynosi \(\alpha\), a drugi pierwiastek wynosi \(\beta\). Dla równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0, zawierającego wielomian kwadratowy, wzory na sumę i iloczyn pierwiastków wynoszą:

Suma pierwiastków: \(\alpha\) + \(\beta\) = – Współczynnik x / Współczynnik x2 = – b / a

Iloczyn pierwiastków: \(\alpha\) . \(\beta\) = Stały wyraz / Współczynnik x2 = c / a

Jeśli suma i iloczyn pierwiastków zostały określone, to oryginalny wielomian kwadratowy może być uzyskany. Wynosi on:

x2 – (\(\alpha\) + \(\beta\))x + \(\alpha\) . \(\beta\) = 0

Można to również wykorzystać do faktoryzacji wielomianów kwadratowych. Inne metody faktoryzacji wielomianów kwadratowych będą wymienione w poniższych sekcjach.

Grafika wielomianu kwadratowego

Grafiką jednowymiarowego wielomianu kwadratowego jest parabola. Jeśli wielomian kwadratowy jest oznaczony jako ax2 + bx + c, to równanie paraboli wynosi y = ax2 + bx + c. Aby uzyskać grafikę wielomianu kwadratowego, można określić punkty testowe, podstawiając wartość x do powyższego równania i otrzymując odpowiadające wartości y. Dwa punkty, w których parabola przecina oś x, są rozwiązaniami równania kwadratowego. Ponadto, ich wartości będą równe pierwiastkom, \(\alpha\) i \(\beta\).

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 112

Jak znaleźć wielomian kwadratowy?

Wielomian kwadratowy można otrzymać, korzystając z zer lub pierwiastków równania. Załóżmy, że dwa pierwiastki wynoszą -4 i 2. Kolejne kroki do znalezienia wielomianu kwadratowego są następujące:

Krok 1: Oblicz sumę dwóch pierwiastków. Suma pierwiastków = -4 + 2 = -2.

Krok 2: Oblicz iloczyn dwóch pierwiastków. Iloczyn pierwiastków = -4 * 2 = -8

Krok 3: Podstaw te wartości w wyrażeniu x2 – (suma pierwiastków)x + (iloczyn pierwiastków). Zatem wielomian kwadratowy wynosi x2 + 2x – 8.

Jak faktoryzować wielomiany kwadratowe?

Ogólnie faktoryzację można uznać za odwrotność mnożenia dwóch wyrażeń. Poniżej wymienione są niektóre metody faktoryzacji wielomianów kwadratowych:

Metoda wyłapywania wspólnych czynników

W tej metodzie należy przyjrzeć się wszystkim wyrazom i określić wspólne wyrazy. Jeśli w równaniu występuje wspólny czynnik, to należy go uwzględnić w wielomianie. Korzystamy z odwrotnej zasady dystrybucyjnej. x(a+b) = xa + xb Zauważamy, że każdy wyraz zawiera 'x’ w równaniu, a wspólny czynnik jest usuwany przy użyciu odwrotnej zasady dystrybucyjnej w następujący sposób, xa + xb = x(a + b)

Przykład

Jakie są wspólne czynniki wyrazów w równaniu wielomianu kwadratowego 8×2 – 4x = 0?

Rozwiązanie

Zastosujmy odwrotną zasadę dystrybucyjną.

4x to wspólny czynnik w równaniu.

Stąd 4x(2x – 1) są czynnikami 8×2 – 4x = 0

Metoda sumy i różnicy

Suma i różnica dwóch wyrażeń są najczęściej stosowane, gdy dwa czynniki są dokładnie takie same, z wyjątkiem jednego wyrażenia, które zawiera dodawanie, a drugie jest różnicą.

Na przykład: (a + b)(a – b)

Podczas rozszerzania i mnożenia tych wyrażeń otrzymujemy a x a + a x b – a x b – b x b

Metoda grupowania czynników

Faktoryzowanie poprzez grupowanie oznacza, że należy pogrupować wszystkie wyrazy o wspólnych czynnikach przed faktoryzacją. Następujące kroki są wykorzystywane w metodzie grupowania czynników.

Wydziel czynnik z każdej grupy w danym wielomianie kwadratowym.
Zastosuj faktoryzację dla każdej grupy wyrażenia.
Teraz wydziel czynnik wspólny dla utworzonej grupy.

Przyjrzyjmy się przykładowi.

Przykład

Jak możesz zastosować metodę grupowania czynników, aby rozłożyć na czynniki kwadratowy wielomian a2 – ac + ab – bc?

Rozwiązanie:

a2 – ac + ab – bc

Wyodrębnij wspólny czynnik z wielomianu kwadratowego.

= a(a – c) + b(a – c)

= (a – c) (a + b)

Zatem, poprzez faktoryzację wyrażeń otrzymujemy (a – c) (a + b).

Metoda trójmianu kwadratowego

Metoda przekształcania dowolnego wielomianu kwadratowego na trójmian kwadratowy nazywana jest metodą trójmianu kwadratowego. Poniższe równania to wzory na trójmian kwadratowy:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

CZYTAĆ: Sin Cos Tan - Wartości, Wzory, Tabela, Przykłady

Przyjrzyjmy się przykładowi.

Przykład

Czy podany wielomian kwadratowy x2 – 8x + 16 jest trójmianem kwadratowym?

Rozwiązanie:

Przy użyciu wzoru otrzymujemy

x2 – 8x + 16 = x2 – 2(1)(4)x + 42

= (x – 4)2

Zatem, podany wielomian kwadratowy jest trójmianem kwadratowym.

Czym jest wielomian kwadratowy?

Wielomian kwadratowy to wielomian drugiego stopnia, w którym najwyższa potęga zmiennej jest równa 2. Ogólna postać wielomianu kwadratowego to ax2 + bx + c.

Jaki jest przykład wielomianu kwadratowego?

Przykładem wielomianu kwadratowego jest 2×2 – 3x + 5. Tutaj 2 i 3 to współczynniki x2 i x, a 5 to wyraz wolny. Ten wielomian ma postać ax2 + bx + c.

Jaki jest stopień wielomianu kwadratowego?

Stopień wielomianu kwadratowego wynosi 2. Oznacza to, że najwyższa wartość potęgi zmiennej jest dokładnie równa 2. Potęgi pozostałych zmiennych są mniejsze lub równe 2, ale większe niż -1.

Jak znaleźć wielomian kwadratowy, jeśli podane są zera?

Kroki do znalezienia wielomianu kwadratowego, jeśli podane są zera, są następujące:

Znajdź sumę zmiennych.
Znajdź iloczyn zmiennych.
Podstaw wartości w wyrażeniu x2 – (suma zmiennych)x + (iloczyn zmiennych), aby otrzymać wymagany wielomian kwadratowy.

Jak narysować wykres wielomianu kwadratowego?

Równanie wykresu wielomianu kwadratowego jest dane przez y = ax2 + bx + c. Podstawiając wartość x w to równanie, można określić odpowiadające wartości y. Te wartości dadzą punkty testowe. Łącząc te punkty, można otrzymać wykres wielomianu kwadratowego.

Jaki jest wykres wielomianu kwadratowego?

Wykres wielomianu kwadratowego to parabola i jest reprezentowany przez równanie y = ax2 + bx + c. Punkty, w których parabola przecina oś x, są określane przez pierwiastki równania kwadratowego.