Wektorami równoległymi są wektory, które mają takie samo kierunku lub dokładnie przeciwny kierunek. Innymi słowy, dla każdego wektora a, wektor sam w sobie oraz jego przeciwny wektor -a są zawsze równoległe do a. Rozszerzając to dalej, dowolny iloczyn skalarny wektora a jest równoległy do a. Innymi słowy, wektor a i wektor ka są zawsze wektorami równoległymi, gdzie „k” to skalar (liczba rzeczywista).

Wektory równoległe – co to jest?

Wektory nazywamy równoległymi tylko i wyłącznie wtedy, gdy kąt między nimi wynosi 0 stopni. Wektory równoległe są również znane jako wektory współliniowe, czyli dwa równoległe wektory są zawsze równoległe do tej samej linii, ale mogą być skierowane w tę samą lub dokładnie przeciwną stronę. Na poniższym obrazku wektory pokazane na najbardziej lewym rysunku NIE są równoległe, ponieważ mają różne kierunki (czyli nie są ani takie same, ani przeciwne).

Przeciwległe wektory równoległe nazywane są czasem również wektorami antyrównoległymi. Na powyższym obrazku ostatni rysunek pokazuje wektory antyrównoległe. Ale jak można matematycznie zidentyfikować równoległe wektory? Zobaczmy.

Jak znaleźć równoległe wektory?

Dwa wektory a i b są nazywane równoległymi wektorami, jeśli jeden z nich jest skalarnym wielokrotnością drugiego, czyli a = kb, gdzie „k” to skalar (liczba rzeczywista). Tutaj „k” może być dodatni, ujemny lub równy 0. W takim przypadku:

wektory a i b mają ten sam kierunek, jeśli k jest dodatni,
wektory a i b mają przeciwny kierunek, jeśli k jest ujemny.

CZYTAĆ: Różniczkowanie Funkcji Trygonometrycznych Pochodne Trygonometryczne

Wektory równoległe Definicja Przykłady Formula

Oto kilka przykładów równoległych wektorów:

wektory a i 3a są równoległe i mają ten sam kierunek, ponieważ 3 > 0.
wektory v i (-1/2)v są równoległe i mają ten sam kierunek, ponieważ (-1/2) < 0.
wektory a = <1, -3> i b = <3, -9> są równoległe, ponieważ b = <3, -9> = 3 <1, -3> = 3a.

W powyższych przykładach przykład 2 odnosi się do antyrównoległych wektorów.

Iloczyn skalarny równoległych wektorów

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch równoległych wektorów to po prostu iloczyn ich długości. Przyjrzyjmy się dwóm równoległym wektorom a i b. Wtedy kąt między nimi wynosi θ = 0. Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego:

a · b = |a| |b| cos θ

= |a| |b| cos 0

= |a| |b| (1) (ponieważ cos 0 = 1)

= |a| |b|

Stąd wynika, że iloczyn skalarny dwóch równoległych wektorów to po prostu iloczyn ich długości.

Iloczyn wektorowy równoległych wektorów

Iloczyn wektorowy dowolnych dwóch równoległych wektorów to wektor zerowy. Przyjrzyjmy się dwóm równoległym wektorom a i b. Wtedy kąt między nimi wynosi θ = 0. Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego:

a × b = |a| |b| sin θ \(\hat{n}\)

= |a| |b| sin 0 \(\hat{n}\)

= |a| |b| (0) \(\hat{n}\) (ponieważ sin 0 = 0)

= 0

Zauważmy, że tutaj 0 to wektor, a nie skalar. Zatem iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów to wektor zerowy (a nie po prostu zero).

Wzór na równoległe wektory

Wektory równoległe można określić za pomocą iloczynu skalarnego, iloczynu wektorowego lub mnożnika skalarnego. Poniżej przedstawiony jest wzór na wektory równoległe zgodnie z opisem z poprzednich sekcji:

Wektor jednostkowy równoległy do danego wektora

Wektor jednostkowy równoległy do danego wektora a oznaczany jest przez \(\hat{a}\) i jest dany wzorem \(\hat{a}\) = a / |a|. Zwróć uwagę na dwie rzeczy:

wektory a i a / |a| (który jest równy 1/|a| · a) są wielokrotnościami skalarnymi. Zatem a i \(\hat{a}\) są równoległe,
wartość bezwzględna a / |a| wynosi |a| / |a| = 1. Zatem \(\hat{a}\) jest wektorem jednostkowym.

CZYTAĆ: Objętość sześcianu - wzór

Stąd wynika, że a / |a| to wektor jednostkowy równoległy do a. Jest on uzyskiwany przez podzielenie wektora a przez jego długość.

Przykład: Znajdź wektor jednostkowy równoległy do wektora a = 3i + 4j.

Rozwiązanie:

Zadane jest, że a = 3i + 4j. Jego długość wynosi |a| = √(32 + 42) = √(25) = 5. Zatem wektor jednostkowy równoległy do a to:

\(\hat{a}\) = a / |a|

= (3i + 4j) / 5

= (3/5)i + (4/5)j

Właściwości równoległych wektorów

Dwa wektory a i b są równoległe, tylko i tylko wtedy gdy a = kb, gdzie „k” to skalar.
Wektory a i b są w tym samym kierunku, jeśli k > 0 i przeciwnych kierunkach, jeśli k < 0.
Każdy wektor a jest równoległy do samego siebie, ponieważ a = 1 a.
Dwa wektory a i b są równoległe, jeśli ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym, czyli a × b = 0.
Dla dowolnych dwóch równoległych wektorów a i b, ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi ich długości, czyli a · b = |a| |b|.

Czym są wektory równoległe?

Dwa wektory a i b są określane mianem wektorów równoległych, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków:

Jeden wektor jest wielokrotnością skalarną drugiego wektora. Innymi słowy, a = kb, gdzie „k” to skalar.
Ich iloczyn wektorowy jest równy zeru, czyli a × b = 0.
Ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi ich długości, czyli a · b = |a| |b|.

Jak znaleźć wektor równoległy do danego wektora?

Aby znaleźć wektor równoległy do danego wektora a, należy pomnożyć go przez dowolny skalar. Na przykład 3a, -0.5a, √2 a itp. są równoległe do wektora a.

Jak określić, czy dwa wektory są równoległe?

Aby określić, czy dwa dane wektory są równoległe, należy sprawdzić, czy można wyodrębnić wspólny czynnik z jednego z wektorów tak, aby był wielokrotnością drugiego wektora. Innym sposobem jest sprawdzenie, czy ich iloczyn wektorowy wynosi 0.

Jakie są różnice między wektorami prostopadłymi a równoległymi?

Oto różnice między wektorami prostopadłymi a równoległymi:

Wektory prostopadłe mają między sobą kąt prosty, czyli 90 stopni, podczas gdy wektory równoległe mają między sobą kąt równy 0 lub 180 stopni.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych jest równy 0, podczas gdy iloczyn skalarny dwóch wektorów równoległych jest równy iloczynowi ich długości.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów prostopadłych jest równy wektorowi prostopadłemu do płaszczyzny zawierającej te wektory, podczas gdy iloczyn wektorowy dwóch wektorów równoległych wynosi 0.

CZYTAĆ: Przecięcie osi Y - Znaczenie, Przykłady

Wektory prostopadłe i równoległe

Wektory prostopadłe

Dwa wektory są prostopadłe, gdy między nimi jest kąt prosty, czyli 90 stopni. Oto kilka właściwości wektorów prostopadłych:

Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych jest równy 0.
Jeśli wektory a i b są prostopadłe, to |a × b| = |a||b|.

Wektory równoległe

Dwa wektory są równoległe, gdy między nimi jest kąt równy 0 stopni. Oto kilka właściwości wektorów równoległych:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów równoległych jest równy 0.
Jeśli wektory a i b są równoległe, to a · b = |a||b|.

Czy wektor jest równoległy do samego siebie?

Każdy wektor a jest wielokrotnością samego siebie, czyli a = 1a. Dlatego każdy wektor jest równoległy do samego siebie. Ponadto, kąt między wektorem a i samym sobą wynosi zawsze 0 stopni. W ten sposób również możemy powiedzieć, że wektor jest równoległy do samego siebie.

Jaka jest formuła dla wektora jednostkowego równoległego do wektorów wynikowych?

Wiemy, że wektor jednostkowy równoległy do wektora a to a / |a|. Dlatego wektor jednostkowy równoległy do wynikowego wektora dwóch wektorów a i b to (a+b) / |a+b|.

Jaka jest różnica między wektorami równoległymi a skośnymi?

Wektory równoległe i skośne znajdują się w trójwymiarowej przestrzeni. Linie równoległe nigdy się nie przecinają i są równoległe w stosunku do współrzędnych x, y i z. Linie skośne również znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej, ale nie są ani równoległe, ani przecinające się. Linie skośne są linią obecną w różnych płaszczyznach.