Twierdzenie Pitagorasa, nazywane również twierdzeniem Pitagorasa, wyjaśnia związek między trzema bokami trójkąta prostokątnego. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków trójkąta. Dowiedzmy się więcej o twierdzeniu Pitagorasa, formule twierdzenia Pitagorasa oraz dowodzie twierdzenia Pitagorasa wraz z przykładami.
Czym jest Twierdzenie Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że jeśli trójkąt jest trójkątem prostokątnym, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków. Przyjrzyjmy się trójkątowi ABC, w którym mamy BC2 = AB2 + AC2. Tutaj AB to podstawa, AC to wysokość (wysokość), a BC to przeciwprostokątna. Należy zauważyć, że przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.
Równanie Twierdzenia Pitagorasa
Równanie twierdzenia Pitagorasa jest wyrażone jako c2 = a2 + b2, gdzie „c” to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a „a” i „b” to pozostałe dwa boki. Dlatego każdy trójkąt z jednym kątem równym 90 stopniom daje trójkąt Pitagorasa, a równanie Pitagorasa można zastosować w trójkącie.
Historia Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa zostało wprowadzone przez greckiego matematyka Pitagorasa z Samos. Był starożytnym filozofem greckim, który stworzył grupę matematyków, którzy pracowali religijnie nad liczbami i żyli jak mnisi. Chociaż Pitagoras wprowadził twierdzenie, istnieją dowody, że istniało ono również w innych cywilizacjach, 1000 lat przed narodzinami Pitagorasa. Najstarsze znane dowody pochodzą z okresu starobabilońskiego między XX a XVI wiekiem p.n.e.
Wzór Twierdzenia Pitagorasa
Wzór twierdzenia Pitagorasa mówi, że w trójkącie ABC, który jest trójkątem prostokątnym, kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków. Jeśli AB i AC są bokami, a BC jest przeciwprostokątną trójkąta, to: BC2 = AB2 + AC2. W tym przypadku AB to podstawa, AC to wysokość lub wysokość, a BC to przeciwprostokątna.
Innym sposobem zrozumienia wzoru twierdzenia Pitagorasa jest użycie następującego rysunku, który pokazuje, że pole kwadratu utworzonego przez najdłuższy bok trójkąta prostokątnego (przeciwprostokątną) jest równe sumie pól kwadratów utworzonych przez pozostałe dwa boki trójkąta prostokątnego.
W trójkącie prostokątnym wzór Twierdzenia Pitagorasa jest wyrażony jako:
c2 = a2 + b2
Gdzie,
- ’c’ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego
- ’a’ i 'b’ to pozostałe dwa boki
Proving the Pythagorean Theorem – YouTube
Dowód Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa może być udowodnione na wiele sposobów. Najczęściej stosowane metody to metoda algebraiczna i metoda podobnych trójkątów. Przyjrzyjmy się tym metodą indywidualnie, aby zrozumieć dowód tego twierdzenia.
Dowód Twierdzenia Pitagorasa z użyciem metody algebraicznej
Dowód twierdzenia Pitagorasa można wywieść za pomocą metody algebraicznej. Na przykład, użyjmy wartości a, b i c, jak pokazano na poniższym rysunku, i postępujmy zgodnie ze wskazówkami podanymi poniżej:
- Krok 1: Ta metoda jest również znana jako „dowód przez przestawienie”. Weź 4 identyczne trójkąty prostokątne, o długościach boków „a” i „b” oraz długości przeciwprostokątnych „c”. Ustaw je w taki sposób, że przeciwprostokątne wszystkich trójkątów tworzą pochyloną kwadrat. Można zauważyć, że w kwadracie PQRS długość boków wynosi „a + b”. Cztery trójkąty prostokątne mają „b” jako podstawę, „a” jako wysokość i „c” jako przeciwprostokątną.
- Krok 2: Cztery trójkąty tworzą wewnętrzny kwadrat WXYZ, z „c” jako czterema bokami, jak pokazano na rysunku.
- Krok 3: Pole kwadratu WXYZ utworzonego przez przestawienie czterech trójkątów wynosi c2.
- Krok 4: Pole kwadratu PQRS o boku (a + b) = Pole 4 trójkątów + Pole kwadratu WXYZ o boku „c”. Oznacza to, że (a + b)2 = [4 × 1/2 × (a × b)] + c2. To prowadzi do a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2. Zatem a2 + b2 = c2. W ten sposób została udowodniona formuła twierdzenia Pitagorasa.
Dowód Twierdzenia Pitagorasa z użyciem metody podobnych trójkątów
Dwa trójkąty są podobne, jeśli odpowiadające im kąty są o takiej samej miarze, a odpowiadające im boki są w tym samym stosunku. Ponadto, jeśli kąty są tej samej miary, to korzystając z prawa sinusów, można powiedzieć, że odpowiadające im boki będą również w tym samym stosunku.
Trójkąty Twierdzenia Pitagorasa
Trójkąty prostokątne podążają za regułą twierdzenia Pitagorasa i nazywane są trójkątami Twierdzenia Pitagorasa. Wszystkie trójkąty Twierdzenia Pitagorasa podążają za Twierdzeniem Pitagorasa, które mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków trójkąta prostokątnego. Można to wyrazić jako c2 = a2 + b2; gdzie 'c’ to przeciwprostokątna, a 'a’ i 'b’ to dwa pozostałe boki trójkąta.
Kwadraty Twierdzenia Pitagorasa
Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na pozostałych dwóch bokach. Te kwadraty nazywane są kwadratami Twierdzenia Pitagorasa.
Zastosowania Twierdzenia Pitagorasa
Zastosowania Twierdzenia Pitagorasa można zobaczyć w naszym codziennym życiu. Oto niektóre z zastosowań Twierdzenia Pitagorasa.
Dziedzina inżynierii i budownictwa
Większość architektów korzysta z techniki Twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć nieznane wymiary. Kiedy znana jest długość lub szerokość, łatwo jest obliczyć średnicę konkretnej sekcji. W inżynierii polega to głównie na dwóch wymiarach.
Rozpoznawanie twarzy w kamerach bezpieczeństwa
Funkcja rozpoznawania twarzy w kamerach bezpieczeństwa wykorzystuje koncepcję Twierdzenia Pitagorasa, to znaczy odległość między kamerą a położeniem osoby jest zauważona i dobrze odzwierciedlona przez obiektyw, korzystając z tej koncepcji.
Stolarstwo i projektowanie wnętrz
Koncept Pitagorasa jest stosowany w projektowaniu wnętrz oraz w architekturze domów i budynków.
Żegluga morska
Ludzie podróżujący po morzu korzystają z tej techniki, aby znaleźć najkrótszą drogę i trasę do przejścia do swoich miejsc docelowych.
Czym jest Twierdzenie Pitagorasa w matematyce?
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym, kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków. Twierdzenie to można wyrazić jako c2 = a2 + b2; gdzie 'c’ to przeciwprostokątna, a 'a’ i 'b’ to dwa pozostałe boki trójkąta. Te trójkąty nazywane są również trójkątami Twierdzenia Pitagorasa.
Czy istnieje odwrotność Twierdzenia Pitagorasa?
Odwrotność Twierdzenia Pitagorasa to: Jeśli suma kwadratów dowolnych dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego (największego) boku, to trójkąt ten jest prostokątny.
Jak wykorzystać wzór Twierdzenia Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Gdy znana jest wartość dwóch boków trójkąta, można zastosować Twierdzenie Pitagorasa i obliczyć wartość nieznanych boków trójkąta. Istnieją również inne zastosowania Twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym, takie jak w dziedzinie nawigacji, inżynierii i architektury.
Do czego można wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa jest używane w różnych dziedzinach. Kilka z jego zastosowań zostało podanych poniżej.
Architektura, budownictwo i przemysł nawigacyjny
Do obliczania odległości między punktami na płaszczyźnie.
Obliczanie obwodu, powierzchni i objętości kształtów geometrycznych
Czy Twierdzenie Pitagorasa może być stosowane w każdym trójkącie?
Nie, Twierdzenie Pitagorasa może być zastosowane tylko do trójkąta prostokątnego, ponieważ wyraża ono związek między bokami trójkąta, gdzie kwadrat dwóch pozostałych boków jest równy kwadratowi trzeciego boku, który jest przeciwprostokątną.
Jak działa twierdzenie Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa może być użyte do wyznaczenia nieznanej strony w trójkącie prostokątnym. Na przykład, jeśli dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego są długością 4 jednostek i 6 jednostek, to długość przeciwprostokątnej (trzeciej strony) może być obliczona za pomocą wzoru, c² = a² + b²; gdzie 'c’ to przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne. Podstawiając wartości do wzoru, c² = a² + b² = c² = 4² + 6² = 16 + 36 = √52 = 7,2 jednostek.
Jaka jest formuła twierdzenia Pitagorasa?
Formuła twierdzenia Pitagorasa wyraża się jako kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. To także można zapisać jako c² = a² + b², gdzie 'c’ to przeciwprostokątna, a i b to przyprostokątne trójkąta prostokątnego. Korzystając z formuły twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć nieznane strony trójkąta prostokątnego, jeśli znane są dwie inne strony.
Dlaczego twierdzenie Pitagorasa jest ważne?
Twierdzenie Pitagorasa jest ważne, ponieważ pomaga w obliczaniu nieznanych stron trójkąta prostokątnego. Ma też inne praktyczne zastosowania w dziedzinie architektury i inżynierii, nawigacji i nie tylko.
Jak twierdzenie Pitagorasa jest używane w nawigacji?
Twierdzenie Pitagorasa jest często stosowane w nawigacji powietrznej i morskiej. Twierdzenie Pitagorasa umożliwia nawigatorowi określenie odległości do punktu na oceanie, na przykład, jeśli odległość między dwoma punktami podana jest jako 600 km na północ i 800 km na zachód, wymagana odległość może być obliczona za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Kiedy stosuje się twierdzenie Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa stosuje się, gdy znane są długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, a trzeci bok (przeciwprostokątna) musi zostać obliczony. Na przykład, jeśli długości przyprostokątnej i podstawy trójkąta prostokątnego wynoszą odpowiednio 12 jednostek i 5 jednostek, a trzeci bok (przeciwprostokątna) musi zostać obliczony, możemy to zrobić, korzystając z twierdzenia, które mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków. Po podstawieniu wartości do wzoru otrzymujemy, że kwadrat przeciwprostokątnej wynosi 122 + 52 = 144 + 25 = 169. Stąd przeciwprostokątna wynosi √169 = 13 jednostek.
Czym jest właściwość trójkąta Pitagorasa?
Właściwość trójkąta Pitagorasa to inna nazwa dla twierdzenia Pitagorasa. Według właściwości trójkąta Pitagorasa, w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej zawsze jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków. Twierdzenie to jest wyrażone wzorem c2 = a2 + b2; gdzie 'c’ jest przeciwprostokątną, a 'a’ i 'b’ to długości dwóch pozostałych boków trójkąta.
Źródło odniesienia: https://simple.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem
