Trójkąt 30-60-90 to specjalny trójkąt prostokątny, w którym kąty trójkąta są w stosunku 1:2:3. Istnieją różne rodzaje trójkątów, takie jak ostrokątne, rozwartokątne, równoboczne, równoramienne itp. Jednak tylko kilka typów trójkątów uważa się za specjalne. Trójkąty te są szczególne, ponieważ ich boki i kąty są stałe i przewidywalne. Ich właściwości można wykorzystać do rozwiązywania różnych problemów geometrii lub trygonometrii. Trójkąt 30-60-90 – wymawiany „trzydzieści sześćdziesiąt dziewięć” – jest jednym z takich bardzo szczególnych typów trójkątów.
Czym jest trójkąt 30-60-90?
Trójkąt 30-60-90 nazywany jest specjalnym trójkątem prostokątnym, ponieważ kąty tego trójkąta są w unikalnym stosunku 1:2:3. Tutaj trójkąt prostokątny oznacza każdy trójkąt, który zawiera kąt prosty (90°). Trójkąt 30-60-90 to szczególny trójkąt prostokątny, który zawsze ma kąty o miarach 30°, 60° i 90°. Poniżej przedstawiono niektóre warianty trójkąta 30-60-90. Trójkąty ABC i PQK to trójkąty 30-60-90.
W trójkącie ABC:
- ∠C = 30°
- ∠A = 60°
- ∠B = 90°
W trójkącie PQK:
- ∠P = 30°
- ∠K = 60°
- ∠Q = 90°
Trójkąt 30-60-90 jest uznawany za trójkąt prostokątny specjalny, ponieważ kąty w tym trójkącie są w unikalnej proporcji 1:2:3. Trójkąt 30-60-90 to trójkąt prostokątny, który zawsze ma kąty o miarach 30°, 60° i 90°.
Jaka jest obwód trójkąta 30-60-90?
Obwód trójkąta 30-60-90, którego najmniejsza strona ma długość a, jest sumą wszystkich trzech boków. Długości pozostałych dwóch boków wynoszą a√3 i 2a. Obwód trójkąta wynosi a+a√3+2a = 3a+a√3 = a√3(1+√3).
Jak można zapamiętać zasady trójkąta 30-60-90?
Można użyć tej metody, aby zapamiętać zasadę trójkąta 30-60-90. Można zapamiętać to jako 1, 3, 2; można to przedstawić jako proporcję boków, wszystko, co trzeba zapamiętać, to że środkowy człon wynosi √3.
Jakie są długości boków trójkąta 30-60-90?
Boki trójkąta 30-60-90 mają ustaloną wzór. Bok przeciwległy do kąta 30°, oznaczony jako 'y’, będzie zawsze najmniejszy, ponieważ 30° jest najmniejszym kątem w tym trójkącie. Bok przeciwległy do kąta 60°, o długości y√3, będzie średniej długości, ponieważ 60° jest średnim kątem w tym trójkącie. Bok przeciwległy do kąta 90°, o długości 2y, będzie najdłuższy, ponieważ 90° jest największym kątem.
Boki trójkąta 30-60-90
Trójkąt 30-60-90 jest szczególnym trójkątem, ponieważ długość jego boków jest zawsze w stałym związku ze sobą.
W przedstawionym poniżej trójkącie 30-60-90 ABC, ∠C = 30°, ∠A = 60° i ∠B = 90°. Możemy zrozumieć związek między każdym z boków z poniższych definicji:
- Bok przeciwległy do kąta 30°, AB = y, zawsze będzie najmniejszy, ponieważ 30° jest najmniejszym kątem w tym trójkącie.
- Bok przeciwległy do kąta 60°, BC = y × √3 = y√3, będzie średniej długości, ponieważ 60° to kąt o średniej wielkości w tym trójkącie.
- Przeciwprostokątna AC = 2y, przeciwległa do kąta 90°, będzie najdłuższym bokiem, ponieważ 90° to największy kąt.
Boki trójkąta 30-60-90 są zawsze w stosunku 1:√3:2. Jest to również znane jako wzór na boki trójkąta 30-60-90 dla boków y: y√3:2y. Dowód tego wzoru można znaleźć w sekcji dowodu trójkąta 30-60-90. Wzór ten można zweryfikować przy użyciu twierdzenia Pitagorasa.
Rozważmy przykłady trójkąta 30-60-90 o bokach o tych długościach:
W trójkącie DEF o kątach:
- ∠F = 30°
- ∠D = 60°
- ∠E = 90°
- Bok przeciwległy do kąta 30°, DE = y = 2
- Bok przeciwległy do kąta 60°, BC = y√3 = 2√3
- Przeciwprostokątna AC = 2y = 2 × 2 = 4
W trójkącie PQR o kątach:
- ∠R = 30°
- ∠P = 60°
- ∠Q = 90°
- Bok przeciwległy do kąta 30°, AB = y = 7
- Bok przeciwległy do kąta 60
Twierdzenie trójkąta 30-60-90
Twierdzenie trójkąta 30-60-90 mówi, że przeciwprostokątna jest długością dwukrotnie większą niż najkrótszy bok, a drugi bok jest długością pierwiastka z trzech razy długości najkrótszego boku.
Wzór trójkąta 30-60-90
Twierdzenie to może być zapisane matematycznie jako wzór trójkąta 30-60-90, który wynosi 1:√3:2, czyli stosunek trzech boków trójkąta 30-60-90. Inny wzór dla tego szczególnego trójkąta to 1:2:3, co jest stosunkiem trzech kątów trójkąta 30-60-90.
Dowód twierdzenia trójkąta 30-60-90
Rozważmy trójkąt równoboczny ABC o długości boku równą 'a’.
Narysujmy pionową linię z wierzchołka A do boku BC w punkcie D trójkąta ABC. W równobocznym trójkącie prostopadła przecina drugi bok na pół.
Trójkąty ABD i ADC są dwoma trójkątami 30-60-90. Oba trójkąty są podobne i prostokątne. Stosując twierdzenie Pitagorasa, możemy obliczyć długość AD.
(AB)² = (AD)² + (BD)²
a² = (AD)² + (a/2)²
a² – (a/2)² = (AD)²
3a²/4 = (AD)²
(a√3)/2 = AD
BD = a/2
AB = a
Te boki również stosują się do tego samego stosunku a/2 : (a√3)/2 : a. Pomnóż przez 2 i podziel przez 'a’,
(2a)/(2a) : (2a√3)/(2a) : (2a/a)
Otrzymujemy 1:√3:2. To jest twierdzenie trójkąta 30-60-90.
Reguła trójkąta 30-60-90
W trójkącie 30-60-90, pomiar dowolnego z trzech boków można określić, znając pomiar co najmniej jednego boku w trójkącie. Nazywa się to regułą trójkąta 30-60-90. Poniższa tabela przedstawia, jak znaleźć boki trójkąta 30-60-90 za pomocą reguły trójkąta 30-60-90:
| Podstawa | Przeciwprostokątna | Przeciwprostokątna |
|---|---|---|
| Baza BC trójkąta przyjmuje się jako 'a’. | Przeciwprostokątna DE trójkąta przyjmuje się jako 'a’. | Przeciwprostokątna PR trójkąta przyjmuje się jako 'a’. |
| Przeciwprostokątna trójkąta ABC to AB = (a/√3). | Przeciwprostokątna trójkąta DEF to EF = √3a. | Podstawa trójkąta PQR to QR = (√3a)/2. |
| Przeciwprostokątna trójkąta PQR to PQ = (a/2). | Podstawa trójkąta DEF to EF = √3a. | Przeciwprostokątna trójkąta ABC to AC = (2a)/√3. |
| Podstawa trójkąta DEF to DF = 2a. |
Pole trójkąta 30-60-90
Wzór na obliczenie pola trójkąta to (1/2) × podstawa × wysokość. W prostokątnym trójkącie wysokość to przeciwprostokątna. Zatem wzór na obliczenie pola trójkąta prostokątnego to (1/2) × podstawa × przeciwprostokątna.
Poznajmy sposób zastosowania tego wzoru do obliczenia pola trójkąta 30-60-90.
Baza BC trójkąta przyjmuje się jako 'a’, a przeciwprostokątna trójkąta ABC to AC. W poprzedniej sekcji dowiedzieliśmy się, jak znaleźć przeciwprostokątną, gdy dana jest baza.</p
Jakie są zasady trójkąta 45-45-90?
Trójkąt 45-45-90 ma kąt prosty i dwa kąty 45 stopni. Dwa boki trójkąta 45-45-90 są zawsze równe, a przeciwprostokątna trójkąta zawsze jest przeciwległa do kąta prostego.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Special_right_triangle
