Średnia arytmetyczna w statystyce to nic innego jak stosunek wszystkich obserwacji do całkowitej liczby obserwacji w zestawie danych. Niektóre przykłady to średnie opady deszczu w danym miejscu, średnie wynagrodzenie pracowników w organizacji. Często spotykamy się z oświadczeniami typu „średnie miesięczne wynagrodzenie rodziny wynosi 15 000 Rupii” lub „średnie miesięczne opady deszczu w danym miejscu wynoszą 1000 mm”. Średnia zwykle określana jest jako średnia arytmetyczna.
Będziemy tutaj skupiać się wyłącznie na średniej arytmetycznej. Najpierw zrozumiejmy znaczenie terminu „średnia”, a następnie omówimy arytmetykę na kilku przykładach rozwiązanych na końcu.
Czym jest średnia arytmetyczna?
Średnia arytmetyczna, często nazywana po prostu średnią lub średnią arytmetyczną, obliczana jest poprzez dodanie wszystkich liczb w danym zestawie danych, a następnie podzielenie przez całkowitą liczbę elementów w tym zestawie. Średnia arytmetyczna (AM) dla równomiernie rozłożonych liczb jest równa środkowej liczbie. Ponadto, AM jest obliczana za pomocą wielu metod, które są oparte na ilości danych i ich rozkładzie.
Przykład wykorzystania średniej arytmetycznej
Średnia z liczb 6, 8, 10 wynosi 8, ponieważ 6 + 8 + 10 = 24 i 24 podzielone przez 3 [są trzy liczby] daje 8. Średnia arytmetyczna zachowuje swoje miejsce podczas obliczania średniej ceny zamknięcia akcji w danym miesiącu. Załóżmy, że w danym miesiącu jest 24 dni handlowe. Jak możemy obliczyć średnią arytmetyczną? Wszystko, co musisz zrobić, to zsumować wszystkie ceny, a następnie podzielić przez 24, aby uzyskać AM. Więcej informacji na temat różnicy między średnią a średnią arytmetyczną znajdziesz tutaj.
Różnica między średnią a średnią arytmetyczną
Średnia i średnia arytmetyczna są często używane zamiennie, jednak nie oznaczają tego samego. Średnia odnosi się do różnych rodzajów średnich, takich jak średnia ważona i średnia geometryczna, podczas gdy średnia arytmetyczna jest jednym z rodzajów średnich. Średnia arytmetyczna jest najprostszą i najczęściej używaną metodą obliczania średniej.
Formula średniej arytmetycznej
Ogólna formula do wyznaczania średniej arytmetycznej z danego zestawu danych to:
Średnia (x̄) = Suma wszystkich obserwacji / Liczba obserwacji
Średnia jest oznaczana przez x̄ (odczytywane jako x kreska). Dane mogą być przedstawione w różnych formach. Na przykład, kiedy mamy surowe dane, takie jak oceny ucznia w pięciu przedmiotach, dodajemy oceny uzyskane w pięciu przedmiotach i dzielimy sumę przez 5, ponieważ jest 5 przedmiotów.
Obliczanie średniej arytmetycznej dla dużej ilości danych
Teraz rozważmy przypadek, gdy mamy ogromne ilości danych, takie jak wysokości 40 uczniów w klasie lub liczba osób odwiedzających park rozrywki przez każdy dzień tygodnia.
Czy będzie wygodnie obliczyć średnią arytmetyczną za pomocą powyższej metody? Odpowiedź brzmi NIE! Jak zatem możemy znaleźć średnią? Układamy dane w formę, która jest zrozumiała i łatwa do zrozumienia. Przeanalizujmy, jak obliczyć średnią arytmetyczną w takich przypadkach. Będziemy szczegółowo omawiać wyznaczanie średniej arytmetycznej dla danych niezagregowanych i zagregowanych. Poniższy obraz przedstawia ogólną formułę wyznaczania średniej arytmetycznej:
Wnioski
Średnia arytmetyczna jest jednym z najczęściej używanych wskaźników centralnej tendencji w statystyce. Jest to wskaźnik przydatny w wielu dziedzinach, takich jak nauki społeczne, nauki o zarządzaniu i finansach.
Właściwości średniej arytmetycznej
Przyjrzyjmy się niektórym ważnym właściwościom średniej arytmetycznej. Załóżmy, że mamy n obserwacji oznaczonych jako x₁, x₂, x₃, ….,xₙ, a x̄ to ich średnia arytmetyczna, wtedy:
1. Średnia arytmetyczna dla tej samej wartości
Jeśli wszystkie obserwacje w danym zestawie danych mają wartość, powiedzmy „m”, to ich średnia arytmetyczna wynosi również „m”. Rozważmy dane mające 5 obserwacji: 15, 15, 15, 15, 15. Ich suma = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 × 5 = 75; n = 5. Średnia arytmetyczna = suma/n = 75/5 = 15.
2. Suma algebraiczna odchyleń od średniej arytmetycznej wynosi zero
(x₁−x̄)+(x₂−x̄)+(x₃−x̄)+…+(xₙ−x̄) = 0. Dla danych dyskretnych, ∑(xi−x̄) = 0. Dla dystrybucji częstości grupowych, ∑f(xi−∑x̄) = 0.
3. Zmiana wartości każdej obserwacji o stałą wartość
Jeśli każda wartość w danych wzrasta lub zmniejsza się o stałą wartość, to średnia także wzrasta/zmniejsza się o tę samą liczbę. Niech średnia wartość x₁, x₂, x₃, ……xₙ wynosi X̄, a średnia wartość x₁+k, x₂+k, x₃ +k ……xₙ+k wynosi X̄+k.
4. Zmiana wartości każdej obserwacji o stałą wielokrotność
Jeśli każda wartość w danych zostanie pomnożona lub podzielona przez stałą wartość, to średnia również zostanie pomnożona lub podzielona przez tę samą liczbę. Niech średnia wartość x₁, x₂, x₃ ……xₙ wynosi X̄, a średnia wartość kx₁, kx₂, kx₃ ……xₙ+k wynosi kX̄. Podobnie, średnia wartość x₁/k, x₂/k, x₃/k ……xₙ/k wynosi X̄k.
Obliczanie średniej arytmetycznej dla danych niezagregowanych
Tutaj średnia arytmetyczna jest obliczana za pomocą wzoru:
Średnia x̄ = Suma wszystkich obserwacji / Liczba obserwacji
Przykład:
Oblicz średnią arytmetyczną pierwszych 6 nieparzystych liczb naturalnych.
Rozwiązanie: Pierwsze 6 nieparzystych liczb naturalnych: 1, 3, 5, 7, 9, 11
x̄ = (1+3+5+7+9+11) / 6 = 36/6 = 6.
Średnia arytmetyczna wynosi zatem 6.
Obliczanie średniej arytmetycznej dla danych zagregowanych
Istnieją trzy metody (Metoda bezpośrednia, Metoda skrócona i Metoda przesunięcia krokowego), aby obliczyć średnią arytmetyczną dla danych zagregowanych. Wybór metody zależy od wartości numerycznych xi i fi. xi jest sumą wszystkich wprowadzonych danych, a fi jest sumą ich częstości. ∑ (symbol sigma) oznacza sumowanie. Jeśli wartości xi i fi są wystarczająco małe, metoda bezpośrednia będzie działać. Jeśli jednak są one numerycznie duże, używamy metody przybliżonej średniej arytmetycznej lub metody przesunięcia krokowego. W tej sekcji będziemy omawiać wszystkie trzy metody wraz z przykładami.
Metoda bezpośrednia obliczania średniej arytmetycznej
Niech x₁, x₂, x₃ ……xₙ będą obserwacjami z częstością f₁, f₂, f₃ ……fₙ. Wtedy średnia arytmetyczna jest obliczana za pomocą wzoru:
x̄ = (x₁f₁+x₂f₂+……+xₙfₙ) / ∑fi
Tutaj f₁+ f₂ + ….fₙ = ∑fi oznacza sumę wszystkich częstości.
Przykład I (dane zagregowane dyskretne):
Znajdź średnią wartość dla następującej dystrybucji:
| x | f | xf |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 70 |
| 30 | 8 | 240 |
| 50 | 10 | 500 |
| 70 | 15 | 1050 |
| 89 | 10 | 890 |
| ∑ | 50 | 2750 |
Dodaj wszystkie wartości (xfi), aby uzyskać ∑xifi. Dodaj wszystkie wartości fi, aby uzyskać ∑fi
Teraz, użyj wzoru na średnią wartość.
x̄ = ∑xifi / ∑fi = 2750/50 = 55
Średnia = 55. Powyższy problem to przykład danych zagregowanych dyskretnych.
Przykład II (dane zagregowane ciągłe):
Spróbujmy obliczyć średnią wartość dla następującej dystrybucji:
| Przedział klasowy | Środek klasy (xi) | Częstość (fi) | xifi |
|---|---|---|---|
| 15-25 | 20 | 6 | 120 |
| 25-35 | 30 | 11 |
Metoda przyjętej wartości średniej lub zmiany punktu odniesienia
Metoda skróconej drogi, zwana także jako metoda przyjętej wartości średniej lub metoda zmiany punktu odniesienia, jest prostą techniką obliczania średniej arytmetycznej. Poniżej przedstawione są kroki tej metody:
Krok 1:
Oblicz środek każdego przedziału klasowego (xi).
Krok 2:
Niech A będzie przyjętą wartością średniej.
Krok 3:
Znajdź odchylenie (di) = xi – A.
Krok 4:
Użyj wzoru:
x̄ = A + (∑fidi/∑fi)
Przykład: Obliczmy średnią z poniższego zbioru danych, używając metody skróconej drogi:
| Przedziały klasowe | Częstość |
|---|---|
| 45-50 | 5 |
| 50-55 | 8 |
| 55-60 | 30 |
| 60-65 | 25 |
| 65-70 | 14 |
| 70-75 | 12 |
| 75-80 | 6 |
Rozwiązanie: Tworzymy tabelę obliczeń. Przyjmijmy, że przyjęta wartość średniej wynosi A = 62.5.
Uwaga: Wartość A jest wybierana spośród wartości xi. Zazwyczaj wybiera się wartość, która znajduje się w okolicy środka przedziałów.
| Przedziały klasowe | Środek przedziału (xi) | Częstość (fi) | Odchylenie (di) = xi – A | Produkt fidi |
|---|---|---|---|---|
| 45-50 | 47.5 | 5 | -15 | -75 |
| 50-55 | 52.5</td |
Metoda odchylenia krokowego dla obliczenia średniej arytmetycznej
Metoda zmiany punktu odniesienia lub skali
Metoda ta jest również nazywana metodą zmiany punktu odniesienia lub skali. Poniżej przedstawione są kroki tej metody:
Krok 1:
Oblicz środek każdego przedziału klasowego (xi).
Krok 2:
Niech A będzie przyjętą wartością średniej.
Krok 3:
Znajdź ui = (xi−A)/h, gdzie h jest szerokością przedziału.
Krok 4:
Użyj wzoru:
x̄ = A + h × (∑fiui/∑fi)
Przykład: Przyjrzyjmy się poniższemu przykładowi, aby zrozumieć tę metodę. Obliczmy średnią arytmetyczną z poniższych danych, używając metody odchylenia krokowego:
| Przedziały klasowe | Częstość |
|---|---|
| 0-10 | 4 |
| 10-20 | 4 |
| 20-30 | 7 |
| 30-40 | 10 |
| 40-50 | 12 |
| 50-60 | 8 |
| 60-70 | 5 |
| Razem | 50 |
Przedziały klasowe
Środek przedziału (xi)
Częstość (fi)
ui = (xi−A)/h
fiui
0-10
5
4
-3
-12
Zalety średniej arytmetycznej
Zastosowania średniej arytmetycznej nie są ograniczone tylko do statystyki i matematyki, ale znajduje ona również zastosowanie w naukach eksperymentalnych, ekonomii, socjologii oraz innych dziedzinach akademickich. Poniżej wymieniono niektóre z głównych zalet średniej arytmetycznej:
- Ponieważ wzór na obliczenie średniej arytmetycznej jest sztywny, wynik nie zmienia się. W przeciwieństwie do mediany, nie jest ona wpływana przez pozycję wartości w zbiorze danych.
- Uwzględnia każdą wartość w zbiorze danych.
- Obliczenie średniej arytmetycznej jest dość proste; nawet zwykły człowiek posiadający niewielkie umiejętności finansowe i matematyczne może ją obliczyć.
- Jest również przydatnym miernikiem tendencji centralnej, ponieważ zapewnia przydatne wyniki nawet dla dużych grup liczb.
- Może być poddawana wielu algebraicznym operacjom, w przeciwieństwie do mediany i modalnej. Na przykład średnia z dwóch lub więcej serii może zostać uzyskana z średniej indywidualnych serii.
- Średnia arytmetyczna jest powszechnie stosowana również w geometrii. Na przykład współrzędne „środka ciężkości” trójkąta (lub każdej innej figury ograniczonej odcinkami) są średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków.
Po omówieniu niektórych z głównych zalet średniej arytmetycznej, przejdźmy do zrozumienia jej ograniczeń.
Przejdźmy teraz do niektórych wad/ograniczeń związanych z użyciem średniej arytmetycznej.
- Największą wadą średniej arytmetycznej jest to, że jest ona wpływana przez wartości skrajne w zbiorze danych. Aby to zrozumieć, rozważmy poniższy przykład. Jest urodziny Rymy i planuje ona wręczyć prezenty gościom swojego przyjęcia. Chce wziąć pod uwagę średnią wieku, aby zdecydować, jaki prezent może dać każdemu z gości. Wiek (w latach) zaproszonych jest następujący: 2, 3, 7, 7, 9, 10, 13, 13, 14, 14. Tutaj n = 10. Suma wieków = 2+3+7+7+9+10+13+13+14+14 = 92. Średnia wynosi zatem 92/10 = 9,2. W tym przypadku można powiedzieć, że prezent, który jest pożądany dla dziecka w wieku 9 lat, może nie być odpowiedni dla dziecka w wieku 2 lub 14 lat.
- W przypadku dystrybucji zawierającej klasy otwarte, wartość średniej nie może być obliczona bez dokonywania założeń co do wielkości klasy.
- Wiadomo, że do obliczenia średniej arytmetycznej grupowanych danych potrzebujemy środków każdej klasy. Jak wynika z tabeli, istnieją dwa przypadki (mniej niż 15 i więcej niż 45), w których nie jest możliwe znalezienie środka i dlatego nie można obliczyć średniej arytmetycznej dla takich przypadków.
- Jest praktycznie niemożliwe znalezienie średniej arytmetycznej drogą inspekcji lub graficznie.
- Nie można jej stosować dla typów danych jakościowych, takich jak uczciwość, ulubiony smak koktajlu mlecznego, najpopularniejszy produkt itp.
- Nie można obliczyć średniej arytmetycznej, jeśli brakuje lub zgubi się pojedynczych obserwacji.
Definicja średniej arytmetycznej
Średnia arytmetyczna to najprostsza i najczęściej stosowana miara średniej, czyli średniej. Polega ona po prostu na zsumowaniu grupy liczb, a następnie podzieleniu tej sumy przez liczbę liczb użytych w serii. Na przykład, weźmy liczby 34, 44, 56 i 78. Suma wynosi 212. Aby obliczyć średnią arytmetyczną, podzielimy sumę 212 przez 4 (łączna liczba liczb), co da nam średnią jako 212/4 = 53.
Jak obliczyć średnią arytmetyczną?
W statystyce średnia arytmetyczna (AM) jest definiowana jako stosunek sumy wszystkich danych do liczby wszystkich danych. Na przykład, jeśli zbiór danych składa się z 5 obserwacji, średnia arytmetyczna może być obliczona przez dodanie wszystkich 5 danych i podzielenie przez 5.
Jak obliczyć średnią arytmetyczną między dwoma liczbami?
Dodaj dwie podane liczby, a następnie podziel sumę przez 2. Na przykład, jeśli mamy dwie liczby 2 i 6, średnia arytmetyczna (która jest niczym innym jak AM lub średnią) jest obliczana w następujący sposób: AM = (2+6)/2 = 8/2 = 4.
Jakie są rodzaje średniej arytmetycznej?
W matematyce mamy do czynienia z różnymi rodzajami średnich, takimi jak średnia arytmetyczna, harmoniczna i geometryczna.
Jaki jest cel stosowania średniej arytmetycznej?
Średnia arytmetyczna jest miarą tendencji centralnej. Pozwala nam poznać środek rozkładu częstości poprzez uwzględnienie wszystkich obserwacji.
Cechy średniej arytmetycznej
Kilka ważnych cech średniej arytmetycznej (AM) to:
Suma odchyleń elementów od ich średniej arytmetycznej wynosi zawsze zero
Czyli ∑(x – X) = 0.
Suma kwadratów odchyleń elementów od AM jest minimalna, co jest mniejsze niż suma kwadratów odchyleń elementów od jakiejkolwiek innej wartości
Jeśli każdy element w ciągu arytmetycznym zostanie zastąpiony przez średnią, to suma tych zastąpień będzie równa sumie konkretnych elementów.
Jeśli wartości indywidualne są dodawane lub odejmowane przez stałą, to średnia arytmetyczna może być również dodawana lub odejmowana przez tę samą stałą wartość
Jeśli wartości indywidualne są mnożone lub dzielone przez stałą wartość, to AM jest również mnożona lub dzielona przez tę samą wartość.
Jaka jest suma odchyleń od średniej arytmetycznej?
Suma odchyleń od średniej arytmetycznej wynosi zero.
Jak obliczyć średnią arytmetyczną dla danych grupowanych?
Średnia arytmetyczna dla danych grupowanych jest obliczana przy użyciu wzoru:
x̄ = (x₁f₁+x₂f₂+……+xₙfₙ) / ∑fi lub x̄ = ∑fx/n
Tu, f₁+ f₂ + ….fₙ = ∑fi oznacza sumę wszystkich częstości.
Jak obliczyć średnią arytmetyczną dla danych niegrupowanych?
Średnia arytmetyczna dla danych niegrupowanych jest obliczana za pomocą wzoru:
Średnia x̄ = Suma wszystkich obserwacji / Liczba obserwacji.
Średnie – definicje, przykłady
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_mean
