W trójkącie, szczególnie prostokątnym, sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tan) są podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi wykorzystywanymi do badania relacji między kątami i bokami. Współczynniki te zostały opracowane w starożytnej Grecji przez matematyków, takich jak Hipparcus i Pitagoras. Pitagoras pracował nad relacją między bokami trójkąta prostokątnego za pomocą twierdzenia Pitagorasa, natomiast Hipparcus badał relacje między bokami i kątami trójkąta prostokątnego przy użyciu funkcji trygonometrycznych. Formuły sin, cos i tan w trygonometrii są używane do znalezienia brakujących boków lub kątów trójkąta prostokątnego.

Co to jest Sin Cos Tan w trygonometrii?

Sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tan) to trzy podstawowe funkcje trygonometryczne, czyli odpowiednio sinus, cosinus i tangens, z których każda daje stosunek dwóch boków trójkąta prostokątnego. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywamy „przeciwprostokątną”, a dwa pozostałe boki to „przyprostokątne”. To oznacza, że w trygonometrii, najdłuższy bok trójkąta prostokątnego wciąż jest nazywany „przeciwprostokątną”, ale dwa pozostałe boki nazywamy:

„bok przeciwległy”, czyli bok będący „naprzeciwko” danego kąta
„bok przyległy”, czyli bok (poza przeciwprostokątną), który „dotyka” danego kąta

Określamy „bok przeciwległy” i „bok przyległy” w zależności od kąta, o którym mówimy.

„Bok przeciwległy” lub „przeciwprostokątna” to bok, który jest po prostu „naprzeciwko” danego kąta.

„Bok przyległy” lub „podstawa” to bok (poza przeciwprostokątną), który „dotyka” danego kąta.

CZYTAĆ: Zasada ILATE - Wzór, Przykłady

Wartości Sin Cos Tan

Wartości sin, cos i tan w trygonometrii odnoszą się do wartości odpowiedniej funkcji trygonometrycznej dla danego kąta. Możemy znaleźć wartości sin, cos i tan dla danego trójkąta prostokątnego, znajdując odpowiedni stosunek boków. Zrozumienie wzorów na znalezienie tych stosunków przedstawione jest poniżej.

Wzory Sin Cos Tan

Funkcje sin, cos i tan w trygonometrii są definiowane w oparciu o dwa z trzech boków (przeciwległy, przyległy i przeciwprostokątny) trójkąta prostokątnego. Oto wzory sin, cos i tan:

sin θ = Przeciwległy/Przeciwprostokątna
cos θ = Przyległy/Przeciwprostokątna
tan θ = Przeciwległy/Przyległy

Poza tymi trzema funkcjami trygonometrycznymi mamy jeszcze trzy współczynniki nazywane csc, sec i cot, które są odwrotnością sin, cos i tan. Poniżej przedstawiono przykład zastosowania wzorów sin, cos i tan.

Przykład

Znajdź wartości sin, cos i tan trójkąta dla danego kąta θ.

Rozwiązanie:

W trójkącie, najdłuższy bok (lub bok naprzeciwko kąta prostego) nazywamy przeciwprostokątną. Bok naprzeciwko kąta θ to przeciwległy bok lub wysokość. Bok przyległy do kąta θ to przyprostokątna lub podstawa.

Teraz znajdziemy wartości sin ⁡θ, cos⁡ θ i tan θ, korzystając z powyższych wzorów:

sin θ = Przeciwległy/Przeciwprostokątna = 3/5
cos θ = Przyległy/Przeciwprostokątna = 4/5
tan θ = Przeciwległy/Przyprostokątna = 3/4

Trick na zapamiętanie wzorów sin, cos i tan w trygonometrii

Oto trik na zapamiętanie wzorów sin, cos i tan. Możemy użyć skrótu „SOHCAHTOA”, jak pokazano poniżej:

Tabela Sin Cos Tan

Współczynniki trygonometryczne sin, cos i tan nie zależą dokładnie od długości boków trójkąta, ale raczej od kąta, ponieważ ostatecznie bierzemy stosunek boków. Tabela sin, cos i tan służy do znajdowania wartości tych funkcji trygonometrycznych dla standardowych kątów. Podczas obliczeń wykorzystujących stosunki sinus, cosinus lub tangens, można odwołać się bezpośrednio do tabeli trygonometrycznej podanej w poniższym rozdziale, aby ułatwić obliczenia.

Tabela Sin Cos Tan

Tabela Sin Cos Tan to tabela z wartościami funkcji trygonometrycznych sin, cos i tan dla niektórych standardowych kątów: 0o, 30o, 45o, 60o i 90o. Możemy odwołać się do tabeli trygonometrycznej przedstawionej poniżej, aby bezpośrednio uzyskać wartości sin, cos i tan dla standardowych kątów.

CZYTAĆ: Wzór na środek odcinka - Formula, Jak obliczyć środek odcinka? Przykłady

Porady dotyczące zapamiętywania tabeli Sin Cos Tan

Wskazówki, które należy zapamiętać z tej tabeli to:

Kąty 0o, 30o, 45o, 60o i 90o w kolejności.
Pierwszy wiersz (sinus) można zapamiętać w ten sposób: 0/2, √1/2, √2/2, √3/2.

To wszystko, co musisz zapamiętać, ponieważ:

Wiersz cosinus jest taki sam jak wiersz sinus, ale w odwrotnej kolejności.
Każda wartość w wierszu tangens jest uzyskiwana przez podzielenie odpowiednich wartości sinus przez cosinus, ponieważ tangens = sinus/cosinus.

Możesz zobaczyć, jak tangens = sinus/cosinus tutaj:

sin θ/cos θ = (Przeciwległy/Przeciwprostokątna) ÷ (Przyprostokątna/Przeciwprostokątna) = (Przeciwległy/Przeciwprostokątna) × (Przeciwprostokątna/Przyprostokątna) = Przeciwległy/Przyprostokątna = tangens θ

Sin Cos Tan na Okręgu Jednostkowym

Wartości sin, cos i tan można obliczyć dla dowolnego kąta, korzystając z okręgu jednostkowego. Okrąg jednostkowy na płaszczyźnie współrzędnych to okrąg o promieniu jednostkowym równej 1, zwykle umieszczony w początku układu współrzędnych (0, 0) w układzie współrzędnych kartezjańskich w płaszczyźnie euklidesowej, zwłaszcza w trygonometrii. Dla dowolnego punktu na okręgu jednostkowym, podanego współrzędnymi (x, y), stosunki sin, cos i tan można wyrazić jako:

sin θ = y/1
cos θ = x/1
tan θ = y/x

Gdzie θ to kąt, jaki tworzy linia łącząca punkt i początek układu współrzędnych z dodatnią osią x.

Zastosowanie Sin Cos Tan w Życiu Codziennym

Współczynniki trygonometryczne sin, cos i tan znajdują zastosowanie w znajdowaniu wysokości i odległości w naszym codziennym życiu. Wykorzystujemy sin, cos i tan do rozwiązywania wielu problemów z życia wziętych. Oto przykład, który pomoże zrozumieć zastosowanie sin, cos i tan.

Przykład: Drabina oparta o mur ceglany tworzy kąt 50o z poziomem. Jeśli drabina jest oddalona od muru o odległość 10 stóp, to jakiej wysokości na ścianie drabina sięga?

Rozwiązanie:

Załóżmy, że drabina sięga do x stóp ściany.

Wykorzystując podane informacje:

Tu znamy przyprostokątną (która wynosi 10 stóp), a musimy znaleźć przeciwprostokątną (która wynosi x stóp). Stosujemy więc zależność między przeciwprostokątną a przyprostokątną, która wynosi tangens.
tg 50o = x/10
x = 10 tg 50o
x ≈ 11,9 stóp

Tutaj tangens 50o jest obliczany za pomocą kalkulatora, a ostateczna odpowiedź jest zaokrąglana do jednego miejsca po przecinku. Drabina sięga więc do 11,9 stóp na ścianie.

CZYTAĆ: Jak się nazywa odwrotność sinusa i cosinusa?

Czym Jest Sin Cos Tan w Trygonometrii?

Sin, cos i tan to podstawowe współczynniki trygonometryczne w trygonometrii, używane do badania związku między kątami a bokami trójkąta (szczególnie trójkąta prostokątnego).

Jak Korzystać z Sin Cos Tan?

Możemy używać sin, cos i tan do rozwiązywania problemów z życia wziętych. Aby rozwiązać każdy problem, najpierw rysujemy figurę opisującą problem, a następnie używamy odpowiedniego współczynnika trygonometrycznego, aby rozwiązać problem.

Jak Obliczyć Wartości Sin Cos Tan?

Aby obliczyć sin, cos i tan, używamy następujących wzorów:

sin θ = Przeciwprostokątna/Podstawowa
cos θ = Przyprostokątna/Podstawowa
tan θ = Przeciwprostokątna/Przyprostokątna

Aby znaleźć sin, cos i tan dla standardowych kątów, można skorzystać z tabeli trygonometrycznej.

Jaka Jest Tabela Sinusów, Cosinusów i Tangensów w Trygonometrii?

Tabela lub wykres trygonometryczny dla sin, cos i tan są używane do znajdowania wartości tych funkcji trygonometrycznych dla standardowych kątów: 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Korzystając z tabeli sin, cos i tan, możemy bezpośrednio znaleźć wartości sin, cos i tan dla tych kątów i używać ich w problemach.

Jak Obliczyć Wartość Tangensa Korzystając z Sinusa i Cosinusa?

Wartość funkcji tangens dla dowolnego kąta θ wyrażona w sin i cos może być podana za pomocą wzoru, tan θ = sin θ / cos θ.

Jaka Jest Sztuczka do Zapamiętania Wzoru na Sinus, Cosinus i Tangens?

Możemy zapamiętać wzory na sin, cos i tan, używając słowa „SOHCAHTOA”. To słowo można wykorzystać do zapamiętania proporcji odpowiednich boków biorących udział w obliczaniu wartości sin, cos i tan w trygonometrii, jak podano poniżej:

Sin θ = Przeciwprostokątna/Podstawowa
Cos θ = Przyprostokątna/Podstawowa
Tan θ = Przeciwprostokątna/Przyprostokątna

Gdzie Stosuje Się Sinus, Cosinus i Tangens?

Sinus, cosinus i tangens znajdują zastosowanie w trygonometrii do obliczania wartości tych funkcji podczas ustalania związku między kątami a bokami trójkąta (szczególnie trójkąta prostokątnego).