Przed znalezieniem wartości sin 2π, przypomnijmy sobie wartości funkcji sin dla różnych standardowych kątów z tabeli trygonometrycznej. sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, sin π/4 = √2/2, sin π/3 = √3/2, a sin π/2 = 1. Oczywiście tabela ta nie zawiera wartości sin 2π. Znajdziemy wartość sin 2π korzystając z różnych metod tutaj. Ponadto, rozwiążemy kilka przykładowych problemów z jej wykorzystaniem.

Czym jest Sinus z 2π?

Wartość sinusa z 2π wynosi 0, czyli sin 2π = 0. Z tabeli trygonometrycznej znamy stosunki trygonometryczne standardowych kątów 0, π/6, π/4, π/3 i π/2. Ta tabela nie daje nam wartości sinusa z 2π. Zwykle, aby znaleźć wartość jakiegokolwiek stosunku trygonometrycznego dla niestandardowego kąta, używamy kątów odniesienia i kwadrantu, w którym znajduje się dany kąt. Możemy zrobić to samo, aby znaleźć sin 2π. Wartość sinusa z 2π można łatwo znaleźć, korzystając z kilku innych metod, takich jak:

Wykorzystując wzór na podwójny kąt
Wykorzystując kąt odniesienia
Wykorzystując okrąg jednostkowy

Będziemy udowadniać, że sin 2π = 0 w każdej z tych metod.

Sin z 2π korzystając z wzoru na podwójny kąt

Możemy znaleźć wartość sinusa z 2π, korzystając z wzoru na podwójny kąt sinusa, który jest sin 2x = 2 sin x cos x. Ponieważ musimy znaleźć wartość sin(2π), musimy podstawić x = π w powyższym wzorze. Wtedy otrzymujemy:

CZYTAĆ: Reguła potęgowa Formula, dowód, zastosowania

sin 2π = 2 sin π cos π … (1)

Ponieważ π jest również niestandardowym kątem, znajdujemy wartości sin π i cos π, korzystając ze wzorów na sumę i różnicę. Wtedy otrzymujemy:

sin π = sin (π/2 + π/2) = sin π/2 cos π/2 + cos π/2 sin π/2 = (1)(0) + (0)(1) = 0

cos π = cos (π/2 + π/2) = cos π/2 cos π/2 – sin π/2 sin π/2 = (0)(0) – (1)(1) = -1

Podstawiając te wartości w (1),

sin 2π = 2 (0) (-1) = 0

Zatem sin z 2π = 0.

Sin z 2π korzystając z kątów odniesienia

Jeśli przeliczymy 2π na stopnie, otrzymamy 360°. Ponieważ 360° znajduje się w przedziale [0°, 360°], sam kąt coterminalny jest kątem odniesienia. Aby znaleźć jego kąt coterminalny, odejmujemy od niego 360°. Wtedy otrzymujemy 360° – 360° = 0°. Czyli kąt coterminalny 360° to 0°. Wiemy również, że 360° oznacza jedną pełną obrót i znajduje się ona albo w pierwszej, albo w czwartej ćwiartce. Rozważmy oba przypadki.

Pierwsza ćwiartka: Wiemy, że w pierwszej ćwiartce sinus jest dodatni.

Wtedy sin 360° = + sin 0° = 0 (ponieważ sin 0° = 0)

Czwarta ćwiartka: Wiemy, że w czwartej ćwiartce sinus jest ujemny.

Wtedy sin 360° = – sin 0° = 0 (ponieważ sin 0° = 0)

Z obu przypadków wynika, że sin 360° = sin 2π = 0.

Zatem sin z 2π = 0.

Sin z 2π korzystając z okręgu jednostkowego

Przed znalezieniem wartości sinusa z 2π, przypomnijmy sobie kilka ważnych faktów o okręgu jednostkowym.

Okrąg jednostkowy to koło o promieniu skupionym w punkcie początkowym układu współrzędnych.
Każdy punkt na okręgu jednostkowym odpowiada pewnemu kątowi.
Ten kąt tworzy linia łącząca punkt początkowy z punktem na okręgu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Jeśli P(x, y) odpowiada pewnemu kątowi θ, to x = cos θ, a y = sin θ, czyli współrzędna y punktu odpowiada sinuszowi kąta.
Ponieważ 2π (czyli 360°) reprezentuje jedną pełną obrót, jest to nic innego jak kąt, który tworzy oś x z samą sobą i zatem jest równoważny 0° na okręgu jednostkowym.
Wiemy również, że 0° odpowiada punktowi (1, 0) na okręgu jednostkowym (ponieważ jest to punkt na osi x znajdujący się na okręgu jednostkowym). Zatem

CZYTAĆ: Zasada ILATE - Wzór, Przykłady

sin 2π = sin 0° = współrzędna y punktu (1, 0) = 0.

Zatem sin z 2π = 0.

Można to zobrazować na poniższym rysunku.

Ważne uwagi:

Oto kilka ważnych uwag związanych z sinusem z 2π.

sin 2π = 0
cos 2π = 1
tan 2π = 0
sinus dowolnej wielokrotności π wynosi 0, czyli sin nπ = 0 dla dowolnej liczby całkowitej 'n’.
Na przykład sin(-2π) = 0, sin π = 0.

Tematy powiązane:

Oto kilka tematów powiązanych z sinusem z 2π.

Przykłady korzystając z sinusa z 2π

Przykład 1: Znajdź wartość cosinusa z 2π korzystając z faktu, że sin z 2π = 0.

Rozwiązanie:

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej,

sin2x + cos2x = 1

Podstawiamy x = 2π,

sin22π + cos22π = 1

Wiemy, że sin z 2π = 0. Podstawiamy to tutaj,

02 + cos22π = 1

cos22π = 1

cos 2π = ± 1

Jednak 2π znajduje się w pierwszej lub czwartej ćwiartce, a w każdym z tych przypadków cosinus jest dodatni.

Zatem cos z 2π = 1.

Odpowiedź: cos 2π = 1.

Przykład 2: Znajdź wartość sinusa z 4π korzystając z faktu, że sin z 2π = 0.

Rozwiązanie:

Korzystając z podwójnej formuły sinusa,

sin 2x = 2 sin x cos x

Podstawiamy x = 2π,

sin 2(2π) = 2 sin 2π cos 2π

sin 4π = 2 (0) cos 2π (ponieważ sin z 2π = 0)

sin 4π = 0

Odpowiedź: sin 4π = 0.

Przykład 3: Znajdź wartość sinusa z 5π/2, korzystając ze wzorów sumy i różnicy.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzorów sumy i różnicy,

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Podstawiamy A = 2π i B = π/2,

sin (2π + π/2) = sin 2π cos π/2 + cos 2π sin π/2

Wiemy, że sin z 2π = 0 i cosinus z 2π = 1. Ponadto sin z π/2 = 1, a cosinus z π/2 = 0. Zatem,

sin 5π/2 = (0)(0) + (1)(1) = 1.

Odpowiedź: sin 5π/2 = 1.

Czym jest sin z 2π?

Wartość sinusa z 2π wynosi 0. Jest to dlatego, że 2π to nic innego jak 0 stopni na okręgu jednostkowym. Zatem sin 2π = sin 0 = 0.

Jaka jest wartość kwadratu sinusa z 2π?

Mamy sin(2π) = 0. Z tego wynika, że sin2(2π) = (sin 2π)2 = 02 = 0. Zatem wartość kwadratu sinusa z 2π wynosi 0.

Jaka jest wartość sin^2(pi/2)?

Wiemy, że sin π/2 = 1. Zatem sin2π/2 = (sin π/2)2 = 12 = 1.

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 1000

Czy sin z 2π jest nieokreślony?

Nie, sin(2π) NIE jest nieokreślony, zamiast tego sin(2π) = 0. Dzieje się tak dlatego, że kąt współdzielny z 2π to 0, z czego możemy wywnioskować wartość sinusa z 2π jako sin 2π = sin 0 = 0.

Dlaczego sin z 2π wynosi 0?

Ponieważ 2π to kąt znajdujący się w przedziale [0, 2π], jego kąt współdzielny jest równy kątowi współdzielny, czyli 0. Zatem sin z 2π można zapisać jako sin 2π = sin 0 = 0.

Jak udowodnić, że sin z 2π wynosi 0?

Na okręgu jednostkowym 2π to jeden pełny obrót, a zatem 2π odpowiada kątowi 0 radianów. Wiemy, że 0 radianów na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi (1, 0). Zatem sin 2π = sin 0 = współrzędna y punktu (1, 0) = 0. Zatem sin 2π = 0.

Jaka jest wartość cos (-2π)?

Wprowadzenie

Wartość cosinus (-x) jest równa cosinus x, dlatego cos (-2π) = cos 2π. Na okręgu jednostkowym, cosinus 2π jest taki sam jak cosinus 0, a zatem wynosi 1. Zatem cos (-2π) = 1.

Jak obliczyć wartość sinusa 2π korzystając z podwójnego wzoru kąta?

Wprowadzenie

Mamy sin 2x = 2 sin x cos x. Podstawiając x = π w powyższej formule, dla sinusa 2π otrzymujemy: sin 2π = 2 sin π cos π … (1).
Teraz,
sin π = sin (π/2 + π/2) = sin π/2 cos π/2 + cos π/2 sin π/2 = (1)(0) + (0)(1) = 0
cos π = cos (π/2 + π/2) = cos π/2 cos π/2 – sin π/2 sin π/2 = (0)(0) – (1)(1) = -1
Podstawiając te wartości w (1),
sin 2π = 2 (0) (-1) = 0
Zatem sin 2π = 0.

Jaka jest wartość tangensa 2π korzystając z sinusa 2π?

Wprowadzenie

Wiemy, że sin 2π wynosi zero, czyli sin(2π) = 0. Wiemy również, że tangens x = (sin x) / (cos x) dla każdego x. Zatem tangens 2π = [sin(2π)] / [cos(2π)] = (0) / [cos(2π)] = 0. Zatem tangens 2π = 0.