Proces znajdowania pochodnych funkcji trygonometrycznych nazywany jest różniczkowaniem funkcji trygonometrycznych. Innymi słowy, różniczkowanie funkcji trygonometrycznych polega na znajdowaniu szybkości zmiany funkcji względem zmiennej. Sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych posiada wzory różniczkowania, które można stosować w różnych zadaniach dotyczących pochodnych.
Do sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych należą: sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tan x), kotangens (cot x), sekans (sec x) i kosekans (cosec x). W tym artykule znajdziemy pochodne funkcji trygonometrycznych oraz ich dowody. Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak elektronika, programowanie komputerowe oraz modelowanie różnych funkcji cyklicznych.

Czym jest Różniczkowanie Funkcji Trygonometrycznych?

W trygonometrii, różniczkowanie funkcji trygonometrycznych to matematyczny proces określania szybkości zmiany funkcji trygonometrycznych względem zmiennej kąta. Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych można przeprowadzić przy użyciu pochodnych sin x i cos x, stosując regułę ilorazu. Poniżej przedstawione są wzory różniczkowania sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych:

Wzory Pochodnych Funkcji Trygonometrycznych

Różniczkowanie Funkcji Trygonometrycznych Pochodne Trygonometryczne

Pochodna sin x:

(sin x)’ = cos x

Pochodna cos x:

(cos x)’ = -sin x

Pochodna tan x:

(tan x)’ = sec2 x

Pochodna cot x:

(cot x)’ = -cosec2 x

Pochodna sec x:

(sec x)’ = sec x.tan x

Pochodna cosec x:

(cosec x)’ = -cosec x.cot x

Do zapisu pochodnych używa się d/dx. Oto trzy pochodne, które można zapisać za pomocą tej notacji.

Dowody Pochodnych Trygonometrycznych

Mając wzory różniczkowania funkcji trygonometrycznych (sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x), teraz udowodnimy i wyznaczymy pochodne trygonometryczne za pomocą różnych metod, takich jak reguła ilorazu, pierwsza zasada różniczkowania oraz reguła łańcuchowa wraz z pewnymi wzorami granicznymi.

CZYTAĆ: Kąt 90 stopni - Pomiar, Konstrukcja, Przykłady

Pochodna sin x

Wyznaczymy pochodną funkcji sin x, stosując pierwszą zasadę różniczkowania, czyli wykorzystując definicję granicy. Aby wyznaczyć pochodną funkcji trygonometrycznej sin x, użyjemy następujących wzorów granicznych i trygonometrycznych:

sin (A+B) = sin A cos B + sin B cos A
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0\)
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

Teraz obliczymy pochodną funkcji trygonometrycznej sin x:

(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin (x + h)-\sin x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\sin x + \dfrac{\sin h}{h}\cos x\&=(0)\sin x + (1)\cos x\&=\cos x\end{align})

Zatem d(sin x)/dx = cos x

Pochodna cos x

Wyznaczymy pochodną funkcji cos x, stosując pierwszą zasadę różniczkowania, czyli wykorzystując definicję granicy. Aby wyznaczyć pochodną funkcji trygonometrycznej cos x, użyjemy następujących wzorów granicznych i trygonometrycznych:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0\)
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

Zatem mamy:

(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\cos x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos (x + h)-\cos x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h –

Pochodna tan x

Wyznaczymy pochodną funkcji tangens, stosując regułę ilorazu. Do wyznaczenia pochodnej wykorzystamy następujące wzory i tożsamości:

(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
tan x = sin x/ cos x
cos2x + sin2x = 1
sec x = 1/cos x

Zatem:

(\begin{align}(tan x)’ &= \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)’ \&= \dfrac{(\sin x)’ \cos x – \sin x (\cos x)’}{\cos^2 x} \&= \dfrac{\cos x. \cos x – (-\sin x).\sin x}{\cos^2 x} \&= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \&= \dfrac{1}{\cos^2 x} \&= sec^2 x\end{align})

Zatem d(tan x)/dx = sec^2x

Pochodna cot x

Wyznaczymy pochodną funkcji cotangens, stosując regułę ilorazu. Do wyznaczenia pochodnej wykorzystamy następujące wzory i tożsamości:

(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
cot x = cos x/ sin x
cos2x + sin2x = 1
cosec x = 1/sin x

Zatem:

(\begin{align}(cot x)’ &= \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)’ \&= \dfrac{(\cos x)’ \sin x – \cos x (\sin x)’}{\sin^2 x} \&= \dfrac{-\sin x.\sin x – \cos x.\cos x}{\sin^2 x} \&= \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} \&= -\dfrac{1}{\sin^2 x} \&= -cosec^2 x\end{align})

CZYTAĆ: Kalkulator Ilorazu Różnicowego - Kalkulator Ilorazu Różnicowego Online

Zatem d(cot x)/dx = -cosec^2x

Pochodna sec x

Wyznaczymy pochodną funkcji secans, stosując regułę łańcuchową. Do wyznaczenia pochodnej wykorzystamy następujące wzory i tożsamości:

sec x = 1/cos x
tan x = sin x/cos x
(cos x)’ = -sin x

Zatem:

(\begin{align}(sec x)’ &= \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)’ \&= -\dfrac{1}{\cos^2 x}.(\cos x)’ \&= -\dfrac{1}{\cos^2 x}.(-\sin x) \&= \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} \&= \dfrac{\sin x}{\cos x}.\dfrac{1}{\cos x} \&= \tan x \sec x\end{align})

Zatem d(sec x)/dx = tan x sec x

Pochodna cosec x

Wyznaczymy pochodną funkcji kosekans, stosując regułę łańcuchową. Do wyznaczenia pochodnej wykorzystamy następujące wzory i tożsamości:

cosec x = 1/sin x
cot x = cos x/sin x
(sin x)’ = cos x

Zatem:

(\begin{align}(cosec x)’ &= \left(\dfrac{1}{\sin x}\right)’ \&= -\dfrac{1}{\sin^2 x}.(\sin x)’ \&= -\dfrac{1}{\sin^2 x}.(\cos x) \&= -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} \&= -\dfrac{\cos x}{\sin x}.\dfrac{1}{\sin x} \&= -\cot x \csc x\end{align})

Zatem d(cosec x)/dx = -cot x cosec x

Zastosowania różniczkowania funkcji trygonometrycznych

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych ma różnorodne zastosowania w dziedzinie matematyki i w życiu codziennym. Poniżej wymieniamy niektóre z nich:

Stosuje się je do wyznaczania nachylenia linii stycznej do krzywej trygonometrycznej y = f(x).
Stosuje się je do wyznaczania nachylenia linii prostej normalnej do krzywej trygonometrycznej y = f(x).
Pomagają one w wyznaczaniu równania linii stycznej lub normalnej do krzywej.
Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak elektronika, programowanie komputerowe i modelowanie różnych funkcji cyklicznych.
Używamy pochodnych funkcji trygonometrycznych do wyznaczania maksimum i minimum określonych funkcji.

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych odwrotnych

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych odwrotnych wykonuje się przez ustawienie funkcji równą y i zastosowanie niejawnej różniczkowania. Poniżej przedstawiamy pochodne funkcji trygonometrycznych odwrotnych wraz z ich dziedzinami (arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x):

(arcsin x)’ = 1/√(1 – x2) , -1 < x < 1
(arccos x)’ = -1/√(1 – x2) , -1 < x < 1
(arctan x)’ = 1/(1 + x2) , -∞ < x < ∞
(arccot x)’ = -1/(1 + x2) , -∞ < x < ∞
(arcsec x)’ = 1/|x|√(x2 – 1) , x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
(arccosec x)’ = -1/|x|√(x2 – 1) , x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)

CZYTAĆ: Funkcja tożsamościowa - Definicja, Wykres, Właściwości, Przykłady

Czym jest różniczkowanie funkcji trygonometrycznych w trygonometrii?

W trygonometrii różniczkowanie funkcji trygonometrycznych to matematyczny proces określania tempa zmian funkcji trygonometrycznych względem zmiennej kątowej. Proces znajdowania pochodnych funkcji trygonometrycznych okrężnych nazywa się różniczkowaniem funkcji trygonometrycznych.

Jakie są zastosowania różniczkowania funkcji trygonometrycznych?

Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych ma wiele zastosowań w dziedzinie matematyki i życia codziennego. Pomaga określić równanie linii stycznej lub linii normalnej do krzywej. Różniczkowanie funkcji trygonometrycznych ma zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak elektronika, programowanie komputerowe oraz modelowanie różnych funkcji cyklicznych. Używamy różniczkowania funkcji trygonometrycznych do określenia maksymalnych i minimalnych wartości określonych funkcji.

Czym jest antydyferencjacja funkcji trygonometrycznych w trygonometrii?

Antydyferencjacja funkcji trygonometrycznych to odwrotny proces różniczkowania funkcji trygonometrycznych. Ten proces nazywa się także całkowaniem funkcji trygonometrycznych.

Jakie są antypochodne sześciu funkcji trygonometrycznych?

Poniżej przedstawiono listę antypochodnych funkcji trygonometrycznych:

Funkcja sinx

∫ sinx dx = -cos x + C

Funkcja cosx

∫ cosx dx = sin x + C

Funkcja tanx

∫ tanx dx = ln |sec x| + C

Funkcja cotx

∫ cotx dx = ln |sin x| + C

Funkcja secx

∫ secx dx = ln |sec x + tan x| + C

Funkcja cosecx

∫ cosecx dx = -ln |cosec x + cot x| + C

Tu stała C oznacza stałą całkowania.

Jak obliczyć pochodne funkcji trygonometrycznych?

Pochodne funkcji trygonometrycznych można obliczyć za pomocą różnych metod różniczkowania, takich jak pierwsza zasada pochodnej, reguła iloczynu, reguła ilorazu oraz reguła łańcucha wraz z niektórymi wzorami granicznymi.