Rozkładanie na Czynniki Trójmianów – Definicja, Reguły, Metody, Formula, Przykłady

Faktoryzacja trójmianów polega na zapisaniu wyrażenia jako iloczyn dwóch lub więcej dwumianów, co można zapisać jako (x + m) (x + n). Dwumian jest to wielomian składający się z dwóch wyrazów, natomiast trójmian składa się z trzech wyrazów. Faktoryzacja trójmianów polega na podzieleniu wyrażenia algebraicznego na dwumian, który może zostać pomnożony z powrotem do trójmianu. Dowiedzmy się więcej o faktoryzacji trójmianów, różnych metodach i rozwiązajmy kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć ten koncept.

Czym jest faktoryzacja trójmianów?

Faktoryzacja trójmianów polega na przekształceniu wyrażenia algebraicznego z postaci trójmianu na postać dwumianu. Trójmian to wielomian z trzema wyrazami, którego ogólna postać to ax2 + bx + c, gdzie a i b są współczynnikami, a c to stała. Podczas faktoryzacji trójmianów należy pamiętać o trzech prostych krokach:

1. Zidentyfikuj wartości b (wyraz środkowy) i c (ostatni wyraz).
2. Znajdź dwie liczby, które dodane do siebie dają b i pomnożone przez siebie dają c.
3. Wykorzystaj te liczby do faktoryzacji wyrażenia i uzyskaj postać faktorowanych wyrażeń.

Aby rozłożyć trójmian na dwumian, musimy znaleźć dwie liczby całkowite r i s, których suma daje b, a iloczyn równy jest ac. Następnie możemy zapisać trójmian jako ax2 + rx + sx + c i użyć reguł grupowania oraz własności rozdzielności, aby dokonać faktoryzacji wielomianu. Po procesie faktoryzacji, trójmian zostaje przekształcony na postać dwumianu w formie (x + r) (x + s). Poniżej znajduje się obrazek, który pozwoli lepiej zrozumieć ten proces:

Przykład faktoryzacji trójmianu:

Rozważmy trójmian: 3×2 + 7x + 2.

1. b = 7, c = 2.
2. Możemy wybrać liczby 1 i 2, ponieważ 1 + 2 = 3 i 1 x 2 = 2.
3. Używając tych liczb, możemy przeprowadzić faktoryzację i zapisać trójmian jako (3x + 1) (x + 2).

Zasady faktoryzacji trójmianów

Podczas faktoryzacji trójmianów istnieją pewne zasady lub punkty, o których warto pamiętać. Reguły te opierają się na matematycznych znakach, takich jak (+) i (-), które odgrywają ważną rolę podczas faktoryzacji trójmianów i ułatwiają ten proces. Poniżej przedstawiamy te reguły:

1. Jeśli wszystkie wyrazy trójmianu są dodatnie, to wszystkie wyrazy dwumianów będą dodatnie.
2. Jeśli ostatni wyraz trójmianu jest ujemny, a środkowy i pierwszy wyraz są dodatnie, to jeden wyraz dwumianu będzie ujemny, a drugi dodatni. (Większy czynnik będzie dodatni, a mniejszy ujemny).
3. Jeśli środkowy i ostatni wyraz trójmianu są ujemne, a pierwszy wyraz jest dodatni, to znak jednego dwumianu będzie dodatni, a drugiego ujemny. (Większy czynnik będzie ujemny, a mniejszy dodatni).
4. Jeśli ostatni wyraz i pierwszy wyraz trójmianu są dodatnie, ale środkowy jest ujemny, to znaki obu dwumianów będą ujemne.
5. Szukaj wspólnych czynników dla trójmianu ax2 + bx + c, gdzie a jest równe 1. Najpierw wyodrębnij wspólny czynnik, a następnie dokonaj faktoryzacji reszty wyrażenia.
6. Jeśli ax2 jest ujemne w trójmianie, można wyodrębnić −1 z całego trójmianu, a następnie przeprowadzić faktoryzację.

Metody faktoryzacji trójmianów

Faktoryzacja trójmianów polega na rozłożeniu równania na iloczyn dwóch lub więcej dwumianów. Zapisuje się ją jako (x + m) (x + n). Trójmian może być faktoryzowany na wiele sposobów. Przeanalizujmy każdy przypadek.

Trójmian kwadratowy w jednej zmiennej

Ogólna postać wzoru na trójmian kwadratowy w jednej zmiennej to ax2 + bx + c, gdzie a, b, c to stałe, a żadna z nich nie jest równa zero. Jeśli wartość b2 – 4ac > 0, to zawsze można dokonać faktoryzacji trójmianu kwadratowego. Oznacza to, że ax2 + bx + c = a(x + h)(x + k), gdzie h i k są liczbami rzeczywistymi. Teraz poznajmy sposób faktoryzacji trójmianu kwadratowego na przykładzie.

Przykład faktoryzacji trójmianu kwadratowego:

Zadanie: Faktoryzuj wyrażenie: 3×2 – 4x – 4.

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Pomnóż najwyższy współczynnik oraz wyraz wolny.
2. Krok 2: Rozbij wyraz środkowy (-4x) na dwa wyrazy, których iloczyn daje wynik z kroku 1 (-12).
3. Krok 3: Przepisz równanie, zastosowując zmianę w wyrazie środkowym.
4. Krok 4: Połącz dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie wyrazy, uproszcz równanie i wyodrębnij wspólne liczby lub wyrażenia.
5. Krok 5: Wyodrębnij z obu wyrażeń wspólny czynnik (x – 2).

Stąd (x – 2) oraz (3x + 2) są czynnikami 3×2 – 4x – 4.

Trójmian kwadratowy w dwóch zmiennych

Nie istnieje konkretny sposób rozwiązywania trójmianu kwadratowego w dwóch zmiennych. Przeanalizujmy przykład.

Przykład faktoryzacji trójmianu kwadratowego:

Zadanie: Faktoryzuj wyrażenie: x2 + 3xy + 2y2.

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Te rodzaje trójmianów także podlegają tej samej regule, co wyżej, czyli musimy rozbić wyraz środkowy.
2. Krok 2: Uprość równanie i wyodrębnij wspólne liczby lub wyrażenia.
3. Krok 3: Wyodrębnij z obu wyrażeń wspólny czynnik (x + 2y).

Stąd (x + y) oraz (x + 2y) są czynnikami x2 + 3xy + 2y2.

Jeśli trójmian jest tożsamością

Przeanalizujmy kilka tożsamości algebraicznych, które są wymienione w poniższej tabeli:

Przykład faktoryzacji trójmianu jako tożsamości:

Zadanie: Faktoryzuj wyrażenie: 9×2 + 12xy + 4y2.

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Zidentyfikuj, którą tożsamość można zastosować w wyrażeniu.
2. Krok 2: Przearanżuj wyrażenie tak, aby mogło pojawić się w postaci powyższej tożsamości.
3. Krok 1: Porównaj dane równanie ze wzorcem standardowym, aby uzyskać współczynniki.
4. Krok 2: Znajdź parowane czynniki c, czyli 12, takie, że ich suma jest równa b, czyli 7.
5. Krok 3: Dodaj każdą liczbę do x osobno.
6. Uporządkuj trójmian w kolejności malejącej, od najwyższej do najniższej potęgi.
7. Znajdź NWD poprzez faktoryzację.
8. Znajdź iloczyn współczynnika wiodącego 'a’ i stałej 'c’.
9. Znajdź czynniki iloczynu 'a’ i 'c’. Wybierz parę, której suma daje wynik zamiast 'b’.
10. Przepisz oryginalne równanie, zamieniając wyraz „bx” na wybrane czynniki.
11. Poprzez grupowanie, dokonaj faktoryzacji równania.
12. Krok 1: Wyodrębnij -1 z wyrażenia, co zmieni znaki całego wyrażenia.
13. Krok 2: Pomnóż pierwszy i ostatni wyraz.
14. Krok 3: Znajdź czynniki liczby 4 i 3. Wybierz parę, której suma daje wynik zamiast -8.
15. Krok 4: Przepisz oryginalne równanie, zamieniając wyraz „bx” na wybrane czynniki.
16. Krok 5: Grupuj wyrazy.
17. Krok 6: Dokonaj faktoryzacji.
18. a² + 2ab + b² = (a + b)²
19. a² – 2ab + b² = (a – b)²
20. Znajdź iloczyn ac i zidentyfikuj b.
21. Znajdź dwie liczby, których iloczyn jest równy ac, a suma jest równa b.
22. Podziel wyraz środkowy na sumę dwóch wyrazów, używając liczb z kroku 2.
23. Zastosuj faktoryzację przez grupowanie.
24. a² + 2ab + b² = (a + b)² = (a + b) (a + b)
25. a² – 2ab + b² = (a – b)² = (a – b) (a – b)
26. a² – b² = (a + b) (a – b)
27. a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
28. a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials