Częściowe ułamki to ułamki, które powstają, gdy skomplikowane wyrażenie wymierne zostanie podzielone na dwa lub więcej prostszych ułamków. Zwykle ułamki z wyrażeniami algebraicznymi są trudne do rozwiązania, dlatego korzystamy z koncepcji częściowych ułamków, aby podzielić je na wiele podułamków. Podczas rozkładu mianownik jest zwykle wyrażeniem algebraicznym, a to wyrażenie jest rozkładane na czynniki, aby ułatwić proces generowania częściowych ułamków. Częściowy ułamek jest odwrotnością procesu dodawania wyrażeń wymiernych.
W normalnym procesie wykonujemy działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych, aby uzyskać pojedyncze wyrażenie wymierne. To wyrażenie wymierne, po podziale w kierunku odwrotnym, angażuje proces rozkładu na częściowe ułamki i skutkuje dwoma ułamkami cząstkowymi. Dowiedzmy się więcej o częściowych ułamkach w następnych sekcjach.

Rozkład na Ułamki Proste - Dekompozycja, Formuły, Metoda — Rozkład na Ułamki Proste

Częściowe ułamki – czym są?

Częściowymi ułamkami nazywamy ułamki, które powstają w wyniku podziału wyrażenia wymiernego na sumę dwóch lub więcej wyrażeń wymiernych. Podział danego ułamka algebraicznego na częściowe ułamki jest konieczny, gdyż ułamki z wyrażeniami algebraicznymi są zwykle trudne do rozwiązania.

Rozkład na częściowe ułamki

Aby uzyskać zbiór częściowych ułamków, mianownik danego wyrażenia algebraicznego musi zostać rozłożony na czynniki. Każdy czynnik mianownika wyrażenia wymiernego odpowiada jednemu częściowemu ułamkowi. Na przykład, dla wyrażenia wymiernego (4x + 1)/[(x + 1)(x – 2)] mianownik ma dwa czynniki, a zatem są dwa częściowe ułamki, jeden o mianowniku (x + 1) i drugi o mianowniku (x – 2).

Przykład:

Rozłóż na częściowe ułamki wyrażenie wymierne:

$$\frac{5}{(x-1)(x+2)}$$

Rozwiązanie:

Ponieważ mianownik składa się z dwóch czynników, podzielmy ułamek na dwie częściowe ułamki:

$$\frac{5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

Aby wyznaczyć wartości niewiadomych A i B, możemy skorzystać z różnych metod. Jedną z nich jest metoda równoważnych współczynników, która polega na doprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika i porównaniu odpowiednich współczynników. Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymujemy:

$$A=\frac{5}{3}$$

$$B=-\frac{5}{3}$$

Stąd:

$$\frac{5}{(x-1)(x+2)}=\frac{\frac{5}{3}}{x-1}-\frac{\frac{5}{3}}{x+2}$$

Wzory częściowych ułamków

W powyższym przykładzie, liczniki częściowych ułamków wynoszą 1 i 3. Licznik częściowego ułamka nie zawsze jest stałą wartością. Jeśli mianownik jest funkcją liniową, to licznik jest stały. Jeśli mianownik jest równaniem kwadratowym, to licznik jest liniowy. Oznacza to, że stopień licznika częściowego ułamka zawsze wynosi jeden mniej niż stopień mianownika. Dodatkowo, wyrażenie wymierne musi być właściwym ułamkiem, aby móc rozłożyć go na częściowe ułamki. W tabeli poniżej przedstawiono wzory częściowych ułamków (tu wszystkie zmienne poza x są stałymi).

CZYTAĆ: Geometria współrzędnych - Formuły, Płaszczyzna współrzędnych, Przykłady

Typ	Postać ułamka wymiernego	Rozkład na częściowe ułamki
Niereprodukowalny czynnik liniowy	(px + q)/(ax + b)	A/(ax + b)
Powtarzający się czynnik liniowy	(px + q)/(ax + b)ⁿ	A1/(ax + b) + A2/(ax + b)² + ………. An/(ax + b)ⁿ
Niereprodukowalny czynnik kwadratowy	(px² + qx + r)/(ax² + bx + c)	(Ax + B)/(ax² + bx + c)
Powtarzający się czynnik kwadratowy	(px² + qx + r)/(ax² + bx + c)ⁿ	(A1x + B1)/(ax² + bx + c) + (A2x + B2)/(ax² + bx + c)² + …(Anx + Bn)/(ax² + bx + c)ⁿ

Przyjrzyjmy się kilku przykładom częściowych ułamków:

$$\frac{4}{(x – 1)(x + 5)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{B}{x + 5}$$

$$\frac{3x + 1}{(2x – 1)(x + 2)^2} = \frac{A}{2x – 1} + \frac{B}{x + 2} + \

Rozkład na częściowe ułamki

Rozkład na częściowe ułamki polega na przedstawieniu wyrażenia wymiernego jako sumy dwóch lub więcej częściowych ułamków. Poniższe kroki pomogą zrozumieć proces rozkładu ułamka na częściowe ułamki.

Krok 1: Rozkład licznika i mianownika

Przed rozkładem na częściowe ułamki, licznik i mianownik wyrażenia wymiernego należy rozłożyć na czynniki i uprościć ułamek.

Krok 2: Rozkład według wzoru dla częściowych ułamków

Rozbijamy wyrażenie wymierne na częściowe ułamki zgodnie z odpowiednim wzorem dla danego typu wyrażenia wymiernego. Na przykład, dla wyrażenia wymiernego P/((ax + b)2) rozkład na częściowe ułamki wygląda tak: [A/(ax + b)] + [B/(ax + b)2].

Krok 3: Wyznaczenie wspólnego mianownika

Wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników częściowych ułamków i mnożymy obie strony równania przez ten wspólny mianownik.

Krok 4: Wyznaczanie wartości A, B, C itd.

Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej w obu stronach równania i wyznaczamy wartości niewiadomych A, B, C itd.

Krok 5: Obliczanie wartości częściowych ułamków

Podstawiamy wyznaczone wartości stałych A, B, C itd. do wzoru dla częściowych ułamków, aby uzyskać postać rozbitej na częściowe ułamki danego wyrażenia wymiernego.

Zobaczmy na przykład, jak rozłożyć dany ułamek na częściowe ułamki:

Przykład:

Znajdź rozkład na częściowe ułamki wyrażenia: $$\frac{4x + 12}{x^2 + 4x}$$

Rozwiązanie:

Uprośćmy wyrażenie, rozkładając mianownik na czynniki:

$$\frac{4x + 12}{x^2 + 4x} = \frac{4(x + 3)}{x(x + 4)}$$

Następnie, rozłóżmy ułamek na częściowe ułamki:

$$\frac{4(x + 3)}{x(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B

Rozwiązanie:

Zawsze należy rozłożyć mianownik na czynniki przed rozkładem na częściowe ułamki. (4x + 12)/(x2 + 4x) = (4x + 12)/[x(x + 4)] ; Mianownik ma niepowtarzające się czynniki liniowe. Dlatego każdy czynnik odpowiada stałej w liczniku przy zapisywaniu częściowych ułamków.

Załóżmy, że: (4x + 12)/[(x)(x + 4)] = [A/x] + [B/(x + 4)] → (1)

NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) sumy (po prawej stronie) wynosi x(x + 4). Mnożąc obie strony przez x(x + 4), otrzymujemy 4x + 12 = A(x + 4) + Bx → (2)

Następnie musimy wyznaczyć A i B. Dla tego celu każdy czynnik liniowy należy ustawić na zero.

Podstawiając x + 4 = 0, czyli x = -4 do (2): 4(-4) + 12 = A(0) + B(-4); -4 = -4B; B = 1.

Podstawiając x = 0 do (2): 4(0) + 12 = A(0 + 4) + B(0); 12 = 4A; A = 3.

Podstawiając wartości A i B do (1), otrzymujemy rozkład na częściowe ułamki danego wyrażenia: (4x + 12)/[x(x + 4)] = [3/x] + [1/(x + 4)]

CZYTAĆ: Równanie koła - wzór, przykłady

Wskazówki i triki dotyczące rozkładu na częściowe ułamki:

Poniższe wskazówki mogą pomóc w rozkładzie ułamka na jego częściowe ułamki.

Jeśli mianownik ma niepowtarzające się czynniki liniowe:

Stałe można otrzymać, ustawiając każdy czynnik liniowy na zero.

Jeśli mianownik ma powtarzające się czynniki liniowe i/lub nierozkładalne czynniki kwadratowe:

Ustawiamy czynniki liniowe na zero, aby znaleźć wartość niektórych stałych.

Podstawiamy x = 0, aby otrzymać co najmniej jedną inną stałą.

Porównujemy współczynniki przy x3, x2, …, itd., aby znaleźć pozostałe stałe.

Częściowe ułamki niewłaściwych ułamków

Gdy chcemy rozłożyć niewłaściwy ułamek na częściowe ułamki, należy najpierw przeprowadzić dzielenie długie. Dzielenie długie pomaga uzyskać liczbę całkowitą i właściwy ułamek. Liczba całkowita to iloraz w dzieleniu długim, a reszta tworzy licznik właściwego ułamka, a mianownik to dzielnik. Format wyniku dzielenia długiego to iloraz + reszta/dzielnik. Zobaczmy to na przykładzie poniżej.

Przykład:

Znajdź rozkład na częściowe ułamki wyrażenia (x3 + 4×2 – 2x – 5)/(x2 – 4x + 4)

Rozwiązanie:

Tutaj stopień licznika (3) jest większy niż stopień mianownika (2). Więc dany ułamek jest niewłaściwy. Musimy najpierw przeprowadzić dzielenie długie.

Następnie zapiszmy dany ułamek jako Iloraz + Reszta/Dzielnik. Wtedy otrzymujemy: (x3 + 4×2 – 2x – 5)/(x2 – 4x + 4) = x + 8 + (26x – 37)/(x2- 4x + 4).

Tutaj ułamek po prawej stronie jest właściwym ułamkiem i dlatego można go rozłożyć na częściowe ułamki. (26x – 37)/(x2 – 4x + 4) = (26x – 37)/(x – 2)2 = A/(x – 2)+ B/(x – 2)2

Teraz spróbujmy rozwiązać dla A i B. Wskazówka: Ustaw każdy z czynników (x – 2) i x jeden po drugim na zero, aby uzyskać A i B. Powinniśmy otrzymać A = 26 i B = 15.

Podstawiając te wartości, otrzymujemy: (26x-37)/(x2 – 4x + 4) = [26/(x-2)] + [15/(x-2)2] Dalej mamy: (x3+ 4×2 – 2x – 5)/(x2- 4x + 4) = x + 8 + [26/(x – 2)] + [15/(x – 2)2 ]

Ważne uwagi dotyczące częściowych ułamków:

Stopień licznika częściowego ułamka jest zawsze o 1 mniejszy niż stopień mianownika.
Gdy częściowy ułamek ma powtarzające się czynniki postaci

Co to są ułamki proste?

Definicja

Ułamki proste to ułamki, które powstają w wyniku podziału skomplikowanego wyrażenia wymiernego na prostsze ułamki. Zazwyczaj ułamki z wyrażeniami algebraicznymi są trudne do rozwiązania, dlatego stosuje się koncepcję ułamków prostych, aby podzielić ułamki na wiele podułamków. Podczas dekompozycji mianownik jest zazwyczaj wyrażeniem algebraicznym, a to wyrażenie jest faktoryzowane w celu ułatwienia procesu generowania ułamków prostych. Ułamek prosty to odwrócenie procesu dodawania ułamków wymiernych.

Proces dekompozycji ułamków

Aby dekomponować ułamek wymierny na ułamki proste, należy wykonać następujące kroki:

W pierwszej kolejności należy sprowadzić ułamek wymierny do postaci w której licznik ma mniejszy stopień niż mianownik, jeśli nie jest to już zrobione.
Następnie należy rozłożyć mianownik na czynniki pierwsze.
Dekompozycja ułamka wymiernego na ułamki proste polega na znalezieniu takich stałych, aby ich sumą był oryginalny ułamek. Każdemu czynnikowi pierwszemu z rozłożenia mianownika odpowiada jeden ułamek prosty.
Należy znaleźć nieznane stałe. Można to zrobić m.in. poprzez doprowadzenie do równości liczników ułamka z ułamkami prostymi, a następnie porównanie współczynników.

Wzory ułamków prostych

Poniżej przedstawiono wzory ułamków prostych w zależności od postaci ułamka wymiernego:

Bezpowtórny czynnik liniowy:

(px + q)/(ax + b) = A/(ax + b)

CZYTAĆ: Odległość Między Dwiema Punktami - Formula, Pochodna, Przykłady

Powtórzony czynnik liniowy:

(px + q)/(ax + b)^n = A1/(ax + b) + A2/(ax + b)^2 +…+ An/(ax + b)^n

Bezpowtórny czynnik kwadratowy:

(px^2 + qx + r)/(ax^2 + bx + c) = (Ax + B)/(ax^2 + bx + c)

Powtórzony czynnik kwadratowy:

(px^2 + qx + r)/(ax^2 + bx + c)^n = (A1x + B1)/(ax^2 + bx + c) + (A2x + B2)/(ax^2

Różne typy mianowników w ułamkach wymiernych

Jakie są różne typy mianowników w ułamkach wymiernych?

Typy mianowników w ułamkach wymiernych zależą od liczby czynników wyrażenia mianownika i stopnia wyrażeń w mianowniku. Różne typy mianowników w ułamkach wymiernych to:

Ułamek prostej P/(ax + b)
Ułamek cząstkowy P/[(ax + b)(cx + d)]
Ułamek prostej podniesionej do kwadratu P/(ax + b)2
Ułamek prostej podniesionej do sześcianu P/(ax + b)3
Ułamek prostej podniesionej do potęgi n P/(ax + b)n

Jak rozwiązywać ułamki wymierne?

Podczas zapisywania wyrażenia jako sumy ułamków wymiernych, należy pamiętać o następujących punktach:

Stopień licznika ułamka cząstkowego jest zawsze o 1 mniejszy niż stopień mianownika.
Jeśli ułamek cząstkowy ma powtarzające się czynniki postaci (ax+b)n lub (ax2 +bx+c)n, odpowiadają one n różnym ułamkom cząstkowym, gdzie mianowniki ułamków cząstkowych mają wykładniki równe 1, 2, 3, …, n.
Aby dodać ułamki wymierne, należy zrobić tak, aby ich mianowniki były takie same, a następnie dodać liczniki.

Na przykład:

3/x + 1/(x + 4) = 3/x · (x + 4)/(x + 4) + 1/(x + 4) · x/x = (3x + 12)/(x2 + 4x) + x/(x2 + 4x) = (3x + 12 + x)/(x2 + 4x)= (4x + 12)/(x2 + 4x)

Jakie są ogólne wzory ułamków wymiernych?

Aby uzyskać informacje na temat ogólnych wzorów ułamków wymiernych, należy przejść do sekcji „Jakie są ogólne wzory ułamków wymiernych?” na tej stronie.

Dodanie ułamków wymiernych wymaga trochę praktyki i zrozumienia powyższych zasad. Z czasem jednak będzie to łatwiejsze.

Jak rozwiązać ułamek cząstkowy z powtarzającym się pierwiastkiem?

Jakie są zasady rozwiązywania ułamka cząstkowego z powtarzającym się pierwiastkiem?

Kiedy ułamek cząstkowy ma powtarzające się czynniki postaci (ax+b)n lub (ax2 +bx+c)n, odpowiadają one n różnym ułamkom cząstkowym, gdzie mianowniki ułamków cząstkowych mają wykładniki równe 1, 2, 3, …, n. Na przykład, jeśli mianownik jest postaci (ax+b)n, to odpowiednie ułamki cząstkowe powinny mieć postać A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + ………. An/(ax + b)n.

Jak wiedzieć, kiedy użyć rozkładu na ułamki proste?

Kiedy stosować rozkład na ułamki proste?

Rozkład na ułamki proste należy stosować, gdy mianownik ułamka jest wyrażeniem algebraicznym i gdy istnieje potrzeba podzielenia ułamka. Ponadto, istnieć powinna możliwość uzyskania co najmniej dwóch czynników dla wyrażenia algebraicznego w mianowniku.

Jakie są wzory do rozwiązywania różnych typów ułamków cząstkowych?

Jakie wzory istnieją do rozwiązywania różnych typów ułamków cząstkowych?

Typy ułamków cząstkowych zależą od liczby możliwych czynników mianownika i stopnia czynników mianownika. Ogólnie istnieją trzy typy ułamków cząstkowych. Trzy typy ułamków cząstkowych to:

(px + q)/[(ax + b)(cx + d)] = A/(ax + b) + B/(cx + d)
(px + q)/[(ax + b)2 = A/(ax + b) + B/(ax + b)2
(px2 + qx + r)/[(x + a)(x2 + bx + c)] = A/(x + a) + (Bx + c)/(x2 + bx + c)

W powyższych wzorach A i B są stałymi, które należy obliczyć.

Czy ułamek cząstkowy jest właściwy?

Aby rozwiązać ułamki cząstkowe, dany ułamek musi być właściwy. Jeśli dany ułamek jest niewłaściwy, licznik jest dzielony przez mianownik, aby uzyskać iloraz i resztę. W tym przypadku ułamkiem, który jest używany do podzielenia na ułamki cząstkowe, jest reszta/mianownik.

Jak rozłożyć ułamek cząstkowy z 3 składnikami?

Rozkład ułamka cząstkowego z 3 składnikami jest taki sam, jak rozwiązywanie ułamków cząstkowych z 2 składnikami. Ponadto, dwa wzory na ułamki cząstkowe z 3 składnikami są następujące: