Boki odpowiednio podobnych wielokątów nazywamy bokami korespondującymi. W geometrii, aby znaleźć podobieństwo lub kongruencję wielokątów, należy porównać boki i kąty korespondujące między nimi. W tym artykule dowiedzmy się więcej o podobnych trójkątach prostokątnych, bokach korespondujących, ich definicji, proporcjach, różnicach między trójkątami kongruentnymi a podobnymi, przy użyciu kilku rozwiązanych przykładów.
Definicja boków korespondujących
Boki korespondujące to boki, które znajdują się w tym samym położeniu w różnych dwuwymiarowych kształtach. Aby dwa wielokąty były kongruentne, muszą mieć dokładnie taki sam kształt i rozmiar. Oznacza to, że wszystkie ich kąty wewnętrzne oraz boki korespondujące muszą mieć takie same miary. Aby dwa wielokąty były podobne, stosunek długości każdej pary boków korespondujących musi być równy. Przyjrzyjmy się dwóm czworokątom ABCD i PQRS, aby zrozumieć boki korespondujące.
Z powyższego obrazka możemy zauważyć, że:
- Bok AB odpowiada bokowi PQ
- Bok BC odpowiada bokowi QR
- Bok CD odpowiada bokowi RS
- Bok DA odpowiada bokowi SP
Zasada kongruencji SSS mówi, że w dwóch trójkątach, jeśli wszystkie trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem bokom drugiego trójkąta, to dwa trójkąty można uznać za kongruentne. W trójkącie boki korespondujące to boki, które znajdują się w tym samym położeniu w różnych trójkątach. Na poniższych obrazkach dwa trójkąty są kongruentne, a ich boki korespondujące są kolorowane.
Na powyższych dwóch trójkątach ABC i XYZ:
- Bok AB odpowiada bokowi XY
- Bok BC odpowiada bokowi YZ
- Bok CA odpowiada bokowi ZX
Trójkąty kongruentne a trójkąty podobne
Trójkąty kongruentne różnią się od trójkątów podobnych pod względem boków korespondujących. Tabela poniżej pokazuje różnice między trójkątami kongruentnymi a podobnymi przy pomocy ilustracji.
| Trójkąty kongruentne | Trójkąty podobne |
|---|---|
| Dwa trójkąty są uważane za kongruentne, jeśli wszystkie ich kąty i boki korespondujące są równe. | Dwa trójkąty są uważane za podobne, jeśli wszystkie ich kąty korespondujące są równe, a boki korespondujące są w takiej samej proporcji. |
W (i) Δ ABC i Δ LMN:
- (1) AB = LM, BC = MN, i AC = LN.
- (2) ∠A = ∠M, ∠B = ∠L, i ∠C = ∠N.
- ΔABC jest kongruentny do ΔLMN.
W (ii) ΔPQR i ΔSTU:
- (1) PQ \(\propto\) ST, QR \(\propto\) TU, i PR \(\propto\) SU.
- (2) ∠P = ∠S, ∠Q = ∠T, i ∠R = ∠U.
- ΔPQR jest podobny do ΔSTU.
Boki korespondujące w podobnych trójkątach
Jeśli dwa kształty są podobne, to ich boki korespondujące są proporcjonalne. W dwóch podobnych trójkątach boki korespondujące są proporcjonalne, a te boki korespondujące zawsze dotykają tych samych dwóch par kątów. W podobnych trójkątach PQR i STU:
- PQ odpowiada bokowi ST i podczas gdy PQ dotyka ∠P i ∠Q, ST dotyka ∠S i ∠T
- PR odpowiada bokowi SU i podczas gdy PR dotyka ∠P i ∠R, SU dotyka ∠S i ∠U
- QR odpowiada bokowi TU i podczas gdy QR dotyka ∠Q i ∠R, TU dotyka ∠T i ∠U
Aby zrozumieć proporcjonalność, rozważmy a) \(\triangle \text{ABC} \simeq \triangle \text{ADE}\)
AB/AD = AC/AE
AB × AE = AD × AC
Rozważmy b) \(\triangle \text{PQR} \simeq \triangle \text{STU}\)
PQ/ST = PR/SU = QR/TU
Stąd, jeśli dwa trójkąty są podobne, to ich boki korespondujące są proporcjonalne.
Rozważmy dwa podobne trójkąty ABC i DEF,
Na powyższym obrazku,
AB/DE = BC/EF
10/16 = 9/a
10 × a = 16 × 9
a = (16 × 9)/10
a = 144/10 = 14,4
Stąd wnioskujemy, że jeśli \(\triangle \text{ABC} \simeq \triangle \text{DEF}\), to mówimy, że boki korespondujące są proporcjonalne, a kąty są równe.
AB/DE = BC/EF = CA/FD = k, gdzie k to równorzędny stosunek lub stosunek trygonometryczny.
Boki korespondujące w trójkątach prostokątnych
Jeśli długości przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych jednego trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do odpowiednich części drugiego trójkąta prostokątnego, to trójkąty te są podobne. Przyjrzyjmy się dwóm trójkątom prostokątnym ABC i DEF na poniższym obrazku:
\[\dfrac{\text{Najkrótszy bok małego trójkąta}}{\text{Najkrótszy bok dużego trójkąta}}\\=\dfrac {\text{Najdłuższy bok małego trójkąta}} {\text{Najdłuższy bok dużego trójkąta}}\\= \dfrac{\text{Przeciwprostokątna małego trójkąta}}{\text{Przeciwprostokątna dużego trójkąta}}\]
a/d = b/e = c/f
Przykład boków korespondujących
Rozważmy następujący przykład: jeśli jeden wielokąt ma boki sekwencyjne p, q i r, a drugi wielokąt ma boki sekwencyjne a, b i c, a q i b są korespondującymi bokami, to bok p (sąsiadujący z q) musi korespondować z a lub c (oboje sąsiednie do b).
Definicja boków i kątów korespondujących
Boki i kąty można uznać za korespondujące, gdy para pasujących kątów lub boków zajmuje tę samą pozycję w dwóch różnych kształtach.
Jakie są korespondujące części kongruentnych trójkątów?
W dwóch kongruentnych trójkątach, boki i kąty są uważane za ich korespondujące części. Korespondujące części są znajdowane w tych samych pozycjach względem siebie.
Jaka jest różnica między kątami korespondującymi a kątami przyległymi?
Porównując dwa kąty w dwóch podobnych wielokątach, kąty korespondujące zajmują względnie tę samą pozycję. Gdy przekątna przecina dwie równoległe linie, kąty korespondujące, które zajmują względnie tę samą pozycję, uważa się za kongruentne, tzn. o takiej samej miarze. Kąty są uważane za kąty przyległe, gdy znajdują się po przeciwnych stronach linii przecinającej.
Która litera alfabetu ma kąty korespondujące?
Do określenia kątów korespondujących wykorzystuje się literę F. Kąty korespondujące są względnie w tym samym położeniu, gdy przekątna przecina dwie równoległe linie, i są równe.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Corresponding_sides_and_corresponding_angles
