Równanie koła zapewnia algebraiczny sposób opisu koła, podając jego środek i długość promienia. Równanie koła różni się od wzorów używanych do obliczania pola powierzchni lub obwodu koła. To równanie jest wykorzystywane w wielu problemach z geometrii współrzędnych dotyczących kół.

Czym jest Równanie Koła?

Opis Równania Koła

Równanie koła reprezentuje położenie koła na płaszczyźnie kartezjańskiej. Jeśli znamy współrzędne środka koła oraz długość jego promienia, możemy zapisać równanie koła. Równanie koła reprezentuje wszystkie punkty, które leżą na obwodzie koła.

Definicja Koła

Koło reprezentuje miejsce punktów, których odległość od ustalonego punktu jest stała. Ten ustalony punkt nazywany jest środkiem koła, a stała wartość to promień r koła. Standardowe równanie koła z centrum w ((x_1, y_1)) i promieniu r to ( (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2).

Równanie Koła w Geometrii Współrzędnych

Równanie koła jest używane w problemach dotyczących kół w geometrii współrzędnych. Jest to ważne narzędzie matematyczne do opisu koła, a wiedza na temat równania koła może pomóc w rozwiązywaniu zadań związanych z kołami w tej dziedzinie matematyki.

Różne Formy Równania Koła

Opis Równania Koła

Równanie koła reprezentuje położenie koła na płaszczyźnie kartezjańskiej. Koło można narysować na arkuszu papieru, znając jego środek i długość promienia. Korzystając z równania koła, gdy znajdziemy współrzędne środka koła i jego promień, będziemy w stanie narysować koło na płaszczyźnie kartezjańskiej. Istnieją różne formy równania koła, takie jak:

Ogólna forma
Standardowa forma
Parametryczna forma
Polarne formy

Przyjrzyjmy się dwóm najczęściej stosowanym formom równania koła – ogólnej i standardowej formie równania koła oraz parametrycznej i polarnym formom.

Ogólna Forma Równania Koła

Ogólna forma równania koła to: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0. Ta ogólna forma jest używana do znalezienia współrzędnych środka koła i jego promienia, gdzie g, f, c są stałymi. W przeciwieństwie do standardowej formy, która jest łatwiejsza do zrozumienia, ogólna forma równania koła utrudnia znalezienie istotnych właściwości określonego koła. Dlatego będziemy korzystać z formuły uzupełniania kwadratu, aby szybko przekształcić ogólną formę w standardową formę.

Standardowa Forma Równania Koła

Standardowa forma równania koła podaje dokładne informacje o środku koła i jego promieniu i dlatego łatwiej jest odczytać środek i promień koła na pierwszy rzut oka. Standardowa forma równania koła z centrum w ((x_1, y_1)) i promieniu r to ( (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2), gdzie (x, y) jest dowolnym punktem na obwodzie koła.

Odległość między tym punktem a środkiem koła jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między punktami.

(\sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2} = r)

Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy standardową formę równania koła:

((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2)

Rozważmy ten przykład równania koła: (x – 4)2 + (y – 2)2 = 36 jest kołem o środku (4,2) i promieniu 6.

Parametryczna i Polarna Forma Równania Koła

Parametryczna Forma Równania Koła

Wiemy, że ogólna forma równania koła to x2 + y2 + 2hx + 2ky + C = 0. Weźmy ogólny punkt na granicy koła, powiedzmy (x, y). Linia łącząca ten punkt ogólny z centrum koła (-h, -k) tworzy kąt (\theta). Parametryczna forma równania koła może być zapisana jako x2 + y2 + 2hx + 2ky + C = 0, gdzie x = -h + rcosθ i y = -k + rsinθ.

Polarna Forma Równania Koła

Polarna forma równania koła jest prawie podobna do parametrycznej formy równania koła. Zazwyczaj piszemy polarną formę równania koła dla koła o środku w punkcie (0,0). Weźmy punkt P(rcosθ, rsinθ) na granicy koła, gdzie r to odległość punktu od początku układu współrzędnych. Wiemy, że równanie koła o środku w punkcie (0,0) i promieniu 'p’ to x2 + y2 = p2. Podstawmy wartość x = rcosθ i y = rsinθ w równaniu koła.

CZYTAĆ: Wielomian kwadratowy - Definicja, Wzór, Pierwiastki, Przykłady

(rcosθ)2 + (rsinθ)2 = p2

r2cos2θ + r2sin2θ = p2

r2(cos2θ + sin2θ) = p2

r2(1) = p2

r = p

gdzie p to promień koła.

Przykład: Znajdź równanie koła w postaci polarnych współrzędnych, pod warunkiem że równanie koła w standardowej postaci to: x2 + y2 = 9.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć równanie koła w postaci polarnych współrzędnych, podstaw wartości (x) i (y) za:

x = rcosθ
y = rsinθ

x2 + y2 = 9

(rcosθ)2 + (rsinθ)2 = 9

r2cos2θ + r2sin2θ = 9

r2(cos2θ + sin2θ) = 9

r2(1) = 9

r = 3

Równanie Koła

Formuła Równania Koła

Formuła równania koła jest używana do obliczenia równania koła. Możemy znaleźć równanie każdego koła, podając współrzędne środka i promień koła, stosując formułę równania koła. Formuła równania koła jest dana jako ((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2).
gdzie, ((x_1, y_1)) jest środkiem koła o promieniu r, a (x, y) jest dowolnym punktem na obwodzie koła.

Pochodzenie Równania Koła

Zakładając, że ((x_1, y_1)) jest środkiem koła o promieniu r, a (x, y) jest dowolnym punktem na obwodzie koła, odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między tymi punktami.

(\sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2} = r).

Podnosząc obie strony wzoru do kwadratu, otrzymujemy: ((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2). Zatem równanie koła jest dane jako:

((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2)

Przykład: Korzystając z formuły równania koła, znajdź środek i promień koła, którego równanie to (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9.

Rozwiązanie:

Użyjemy wzoru równania koła, aby określić środek i promień koła.

Porównując ((x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 9) z ((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2), otrzymujemy

(x_1) = 1, (y_1) = -2 i r = 3

Więc środek koła i jego promień wynoszą odpowiednio (1, -2) i 3.

Odpowiedź: Środek koła to (1, -2), a jego promień to 3.

Grafika Równania Koła

Aby pokazać, jak działa równanie koła, narysujmy koło o równaniu (x -3)2 + (y – 2)2 = 9. Przed narysowaniem tego równania musimy upewnić się, że dane równanie pasuje do standardowej postaci ((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2).

Aby to zrobić, musimy zmienić stałą 9 na r2, tak aby (x -3)2 + (y – 2)2 = 32.

Należy zauważyć, że jednym z powszechnych błędów jest uważanie, że (x_{1}) wynosi -3, a (y_{1}) wynosi -2. W równaniu koła, jeśli znak poprzedzający (x_{1}) i (y_{1}) jest ujemny, to wartości (x_{1}) i (y_{1}) są dodatnie, i vice versa.

W tym przypadku, (x_{1}) = 3, (y_{1}) = 2 i r = 3.

Zatem koło, które reprezentuje równanie (x -3)2 + (y – 2)2 = 32, ma swój środek w punkcie (3, 2) i ma promień równy 3. Poniżej przedstawiony jest obrazek, który pokazuje grafikę otrzymaną z tego równania koła.

Jak znaleźć równanie koła?

Istnieje wiele różnych sposobów reprezentowania równania koła, w zależności od pozycji koła na płaszczyźnie kartezjańskiej. Przeanalizowaliśmy różne formy reprezentowania równania koła dla podanych współrzędnych jego środka. Istnieją jednak pewne szczególne przypadki, zależne od położenia koła na płaszczyźnie. Prześledźmy metodę znajdowania równania koła dla przypadków ogólnych i tych specjalnych.

Równanie Koła z Centrum w punkcie (x(_1), y(_1))
Aby zapisać równanie koła z centrum w punkcie (x(_1), y(_1)), wykonujemy następujące kroki:
Krok 1: Zapisz współrzędne środka koła (x(_1), y(_1)) oraz promienia r.
Krok 2: Zastosuj wzór na równanie koła, (\sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2} = r).
Krok 3: Przeformułuj odpowiedź do wymaganego formy równania koła.

Równanie Koła z Centrum w Punktach (0,0)
Najprostszym przypadkiem jest sytuacja, gdy środek koła znajduje się w punkcie (0,0), a promień r. (x, y) jest dowolnym punktem na obwodzie koła.
Odległość między tym punktem a środkiem koła jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór odległości między punktami.
( \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 0)^2} = r)
Kwadratując obie strony, otrzymujemy:
( (x – 0)^2 + (y – 0)^2 = r^2)
( x^2 + y^2 = r^2)

Przykład: Jakie będzie równanie koła, jeśli jego środek znajduje się w punkcie (0,0)?

Rozwiązanie:
Równanie koła jest dane wzorem ((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2).
Jeśli środek koła znajduje się w punkcie (0,0), to (x_1)= 0 i (y_1)= 0.
Odpowiedź: Równanie koła dla środka w punkcie (0,0) to x2+ y2= r2.

CZYTAĆ: Geometria współrzędnych - Formuły, Płaszczyzna współrzędnych, Przykłady

Równanie koła z centrum na osi x

Rozważmy przypadek, gdy środek koła znajduje się na osi x: (a, 0) to środek koła o promieniu r. (x, y) to dowolny punkt na obwodzie koła. Odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między tymi punktami.
[\sqrt{(x-a)^2 + (y-0)^2}=r]
Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy:
[(x-a)^2 + (y-0)^2=r^2]
[(x-a)^2 + y^2=r^2]

Równanie koła z centrum na osi y

Rozważmy przypadek, gdy środek koła znajduje się na osi y: (0, b) to środek koła o promieniu r. (x, y) to dowolny punkt na obwodzie koła. Odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między tymi punktami.
[\sqrt{(x-0)^2 + (y-b)^2}=r]
Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy:

Równanie koła styczne do osi x

Rozważmy przypadek, gdy obwód koła styczy się z osią x w pewnym punkcie: (a, r) to środek koła o promieniu r. Jeśli koło styczy się z osią x, to współrzędna y środka koła jest równa promieniowi r.
(x, y) to dowolny punkt na obwodzie koła. Odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między tymi punktami.
[\sqrt{(x-a)^2 + (y-r)^2}=r]
Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy:
[(x-a)^2 + (y-r)^2=r^2]

Równanie koła styczne do osi y

Rozważmy przypadek, gdy obwód koła styczy się z osią y w pewnym punkcie: (r, b) to środek koła o promieniu r. Jeśli koło styczy się z osią y, to współrzędna x środka koła jest równa promieniowi r.
(x, y) to dowolny punkt na obwodzie koła. Odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na

Równanie koła dotykającego obu osi

Rozważmy przypadek, gdy obwód koła dotyka obu osi w pewnym punkcie: (r, r) to środek koła o promieniu r. Jeśli koło dotyka zarówno osi x, jak i y, to obie współrzędne środka koła stają się równe promieniowi (r, r).
(x, y) to dowolny punkt na obwodzie koła. Odległość między tym punktem a środkiem jest równa promieniowi koła. Zastosujmy wzór na odległość między tymi punktami.
[\sqrt{(x-r)^2 + (y-r)^2} = r]
Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy:
[(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2]
Jeśli koło dotyka obu osi, to jego środkiem można uznać punkt (r, r), gdzie r to promień koła. Tutaj (r, r) może być dodatnie lub ujemne. Na przykład, gdy promień koła wynosi 3, a koło dotyka obu osi, to współrzędne środka mogą wynosić (3,3), (3,-3), (-3,3) lub (-3,-3).

Przykład

Zadanie

Jeśli równanie koła w postaci ogólnej wynosi (x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0), znajdź współrzędne środka i promień koła.

Rozwiązanie

Dane równanie koła to ( x^2 + y^2 +6x + 8y + 9 = 0).
Ogólna postać równania koła z centrum ((x_1, y_1)) i promieniem (r) to (x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0),
gdzie (A = -2x_1),
(B = -2y_1),
(C = {x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2).
Z równania koła (x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0):
(A = 6)
(-2x_1 = 6)
(x_1 = -3)
(B = 8)
(-2y_1 = 8)
(y_1 = -4)
(C = 9)
({x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2 = 9)
({-3}^2 + {-4}^2 -r^2 = 9)
(9 + 16 -r^2 = 9)
(r^2 = 16)
(r = 4)

Konwertowanie równania ogólnego na postać standardową

Opis

Poniżej przedstawiony jest wzór równania koła w postaci standardowej, z promieniem r i środkiem w punkcie (a,b): (x-a)2 + (y-b)2 = r2. Również podany jest wzór równania koła w postaci ogólnej, x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0. Poniżej przedstawiono kroki, jakie należy podjąć, aby przekształcić równanie ogólne na postać standardową.

Kroki

Krok 1: Połączyć wyrazy podobne i przenieść stałą na drugą stronę, aby otrzymać równanie: x2 + 2gx + y2 + 2fy = – c -> (1)
Krok 2: Użyć wzoru na kwadrat sumy (x + g)2 = x2 + 2gx + g2, aby obliczyć wartości wyrażeń x2 + 2gx i y2 + 2fy jako:
(x + g)2 = x2 + 2gx + g2 ⇒ x2 + 2gx = (x + g)2 – g2 -> (2)
(y + f)2 = y2 + 2fy + f2 ⇒ y2 + 2fy = (y + f)2 – f2 -> (3)
Podstawiając (2) i (3) do (1), otrzymujemy równanie:
(x+g)2 – g2 + (y+f)2 – f2 = – c
(x+g)2 + (y+f)2 = g2 + f2 – c
Porównując to równanie z postacią standardową: (x-a)2 + (y-b)2 = r2, otrzymujemy:
Środek = (-g,-f) oraz promień = (\sqrt{g^2+f^2 – c})

Należy upewnić się, że współczynniki x2 i y2 wynoszą 1 przed zastosowaniem wzoru.

CZYTAĆ: Różnice między statystyką opisową a wnioskową - przykłady

Przykład

Rozważmy przykład, jak obliczyć środek i promień koła z równania ogólnego: x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0.
Współrzędne środka koła można obliczyć jako: (-g,-f). Tutaj g = -6/2 = -3 i f = -8/2 = -4. Więc środek to (3,4).
Promień r = (\sqrt{g^2+f^2 – c}) = (\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2} – 9}) = (\sqrt{9 + 16 – 9}) = (\sqrt{16}) = 4. Zatem promień r = 4.

Konwertowanie postaci standardowej na postać ogólną

Opis

Możemy użyć wzoru algebraicznego (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab, aby przekształcić postać standardową równania koła na postać ogólną. Zobaczmy, jak dokonać tej konwersji. Aby to zrobić, rozwińmy postać standardową równania koła, korzystając z tożsamości algebraicznych dla kwadratów.

Kroki

( (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2)
( x^2 +{x_1}^2 -2xx_1 + y^2 +{y_1}^2 -2yy_1 = r^2)
( x^2 + y^2 – 2xx_1 – 2yy_1 + {x_1}^2 + {y_1}^2 = r^2)
( x^2 + y^2 – 2xx_1 – 2yy_1 + {x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2 = 0)
Zastąp (-2x_1) przez 2g, (-2y_1) przez 2f, ( {x_1}^2 + {y_1}^2 -r^2) przez (c) i otrzymamy:
( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0)
Teraz mamy postać ogólną równania koła: ( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0), gdzie g, f, c są stałymi.

Przykład

Rozważmy przykład przekształcenia równania koła z postaci standardowej na postać ogólną: ( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25)
Rozwijamy postać standardową:
( x^2 + 4 – 4x + y^2 + 9 + 6y = 25)
( x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0)
Stąd stałe g = -2 i f = 3.
Podstawiając do wzoru, otrzymujemy:
( x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0) w postaci ogólnej.

Równanie koła w geometrii

Jakiekolwiek punkty na płaszczyźnie, które znajdują się w stałej odległości od jednego punktu, tworzą koło. Punktem tym jest środek koła, a stałą odległością jest promień koła. Równanie koła z centrum w \((x_1, y_1)\) i promieniem r jest dane przez wzór \((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2\).

Równanie koła, gdy środek jest w początku układu współrzędnych

Najprostszym przypadkiem jest, gdy środek koła znajduje się w początku układu współrzędnych (0, 0), a jego promień to r. Dowolny punkt na obwodzie koła można oznaczyć jako (x, y). Równanie koła z centrum w początku układu współrzędnych jest dane wzorem x² + y² = r².

Ogólne równanie koła

Ogólne równanie koła ma postać: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0. Równanie to określa środek koła w punkcie (-g, -f), a promień koła wynosi r = \(\sqrt{g^2 + f^2 – c}\).

Równanie parametryczne koła

Równanie parametryczne koła można zapisać jako \(x^2 + y^2 + 2hx + 2ky + C = 0\), gdzie \(x = -h + r\cos\theta\) i \(y = -k + r\sin\theta\).

Co oznacza stała c w ogólnym równaniu koła?

Stała c w ogólnym równaniu koła reprezentuje koło, które nie przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Różne formy równania koła

Istnieją dwie powszechne formy równania koła:

Ogólna postać: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
Standardowa postać: \((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r^2\)

Równanie koła, gdy środek jest na osi x

Rozważmy przypadek, gdy środek koła znajduje się na osi x: (a, 0) jest środkiem koła o promieniu r. Dowolny punkt na obwodzie koła można oznaczyć jako (x, y). Równanie koła z centrum na osi x jest dane wzorem

Jak narysować równanie koła?

Aby narysować równanie koła, należy najpierw znaleźć współrzędne środka koła i promień koła za pomocą równania koła. Następnie nanieść środek koła na układ kartezjański i za pomocą cyrkla zmierzyć promień i narysować koło.

Jak znaleźć ogólne równanie koła?

Jeśli znamy współrzędne środka koła i promień, to możemy znaleźć ogólne równanie koła. Na przykład, gdy środek koła to (1, 1) i promień wynosi 2 jednostki, ogólne równanie koła można uzyskać, podstawiając wartości środka i promienia. Ogólne równanie koła to \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\).