Równanie liniowe to równanie, w którym najwyższa potęga zmiennej wynosi zawsze 1. Jest również znane jako równanie pierwszego stopnia. Standardowa postać równania liniowego w jednej zmiennej ma postać Ax + B = 0. Tutaj x jest zmienną, A to współczynnik, a B to stała. Standardowa postać równania liniowego w dwóch zmiennych ma postać Ax + By = C. Tutaj x i y są zmiennymi, A i B to współczynniki, a C to stała.
Czym jest równanie liniowe?
Równanie, w którym najwyższy stopień wynosi 1, jest nazywane równaniem liniowym. Oznacza to, że żadna zmienna w równaniu liniowym nie ma wykładnika większego niż 1. Graficzna reprezentacja równania liniowego zawsze tworzy linię prostą.
Definicja równania liniowego:
Równanie liniowe to równanie algebraiczne, w którym każdy wyraz ma wykładnik równy 1, a gdy to równanie zostanie przedstawione graficznie, zawsze daje linię prostą. To właśnie dlatego jest nazywane równaniem „liniowym”.
Równania liniowe w jednej i dwóch zmiennych:
Istnieją równania liniowe w jednej i dwóch zmiennych. Przeanalizujmy, jak rozpoznawać równania liniowe i nieliniowe na przykładzie poniższych równań:
| Równania | Liniowe lub nieliniowe |
|---|---|
| y = 8x – 9 | Liniowe |
| y = x2 – 7 | Nieliniowe, ponieważ potęga zmiennej x wynosi 2 |
| √y + x = 6 | Nieliniowe, ponieważ potęga zmiennej y wynosi 1/2 |
| y + 3x – 1 = 0 | Liniowe |
| y2 – x = 9 | Nieliniowe, ponieważ potęga zmiennej y wynosi 2 |
Wzór na równanie liniowe
Wzór na równanie liniowe to sposób wyrażenia równania liniowego. Można to zrobić na różne sposoby. Na przykład równanie liniowe można zapisać w postaci standardowej, postaci nachylenia-przecięcia lub postaci punktu-przechodzącego-przez-prostą. Teraz, jeśli weźmiemy standardową postać równania liniowego, dowiedzmy się, w jaki sposób jest ono wyrażane. Można zauważyć, że różni się to w zależności od liczby zmiennych i należy pamiętać, że najwyższy (i jedyny) stopień wszystkich zmiennych w równaniu powinien wynosić 1.
Postać nachylenia-przecięcia równania liniowego
Postać nachylenia-przecięcia równania liniowego to y = mx + c (gdzie m to nachylenie, a c to przecięcie z osią Y).
Postać punktu-przechodzącego-przez-prostą równania liniowego
Postać punktu-przechodzącego-przez-prostą równania liniowego to y – y1 = m(x – x1) (gdzie m to nachylenie, a (x1, y1) to punkt na linii).
Uwaga: Nachylenie równania liniowego to wartość o jaką linia rośnie lub maleje. Oblicza się je za pomocą wzoru rise/run, czyli jeśli (x1, y1) i (x2, y2) to dowolne dwa punkty na linii, to nachylenie oblicza się za pomocą wzoru (y2 – y1)/(x2 – x1).
Równania liniowe w postaci standardowej
Standardowa postać lub ogólna postać równania liniowego w jednej zmiennej jest zapisywana jako Ax + B = 0; gdzie A i B to rzeczywiste liczby, a x to zmienna. Standardowa postać równania liniowego w dwóch zmiennych jest wyrażana jako Ax + By = C; gdzie A, B i C to dowolne rzeczywiste liczby, a x i y to zmienne.
Graf równania liniowego
Graf równania liniowego w jednej zmiennej x tworzy pionową linię równoległą do osi Y i vice versa, natomiast graf równania liniowego w dwóch zmiennych x i y tworzy prostą linię. Przeanalizujmy przykład grafu równania liniowego w dwóch zmiennych.
Przykład: Narysuj wykres dla równania liniowego w dwóch zmiennych x – 2y = 2.
Narysujmy wykres równania liniowego, korzystając z następujących kroków.
Krok 1: Dane równanie liniowe to x – 2y = 2.
Krok 2: Przekształć równanie na postać y = mx + b. Otrzymamy: y = x/2 – 1.
Krok 3: Teraz możemy podstawiać różne wartości x i otrzymać odpowiadające wartości y, aby stworzyć współrzędne.
Krok 4: Gdy podstawimy x = 0 w równaniu, otrzymamy y = 0/2 – 1, czyli y = -1. Podobnie, jeśli podstawimy wartość x = 2 do równania y = x/2 – 1, otrzymamy y = 0. Jeśli podstawimy wartość x = 4, otrzymamy y = 1. Wartość x = -2 daje wartość y = -2. Teraz pary wartości (x, y) spełniają dane równanie liniowe y = x/2 – 1. Dlatego też, wpisujemy współrzędne jak pokazano w tabeli poniżej.
Krok 5: Na koniec, rysujemy punkty (4,1), (2,0), (0,-1) i (-2,-2) na wykresie i łączymy je linią prostą. W ten sposób przedstawia się równanie liniowe na wykresie.
| x | y |
|---|---|
| 4 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | -1 |
| -2 | -2 |
Równania liniowe w jednej zmiennej
Równanie liniowe w jednej zmiennej to równanie, w którym występuje tylko jedna zmienna. Ma ono postać Ax + B = 0, gdzie A i B to dwie dowolne rzeczywiste liczby, a x to nieznana zmienna, która ma tylko jedno rozwiązanie. Jest to najłatwiejszy sposób przedstawienia zdania matematycznego. Równanie to ma stopień zawsze równy 1. Równanie liniowe w jednej zmiennej można bardzo łatwo rozwiązać. Zmienne są rozdzielane i przenoszone na jedną stronę równania, a stałe są łączone i przenoszone na drugą stronę równania, aby uzyskać wartość nieznanej zmiennej.
Przykład: Rozwiąż równanie liniowe w jednej zmiennej: 3x + 6 = 18.
Aby rozwiązać dane równanie, przenosimy liczby na prawej stronie równania, a zmienną pozostawiamy po lewej stronie. Oznacza to, że 3x = 18 – 6. Następnie rozwiązując równanie dla x, otrzymujemy 3x = 12. W końcu wartość x wynosi 12/3 = 4.
Równania liniowe w dwóch zmiennych
Równanie liniowe w dwóch zmiennych ma postać Ax + By + C = 0, gdzie A, B, C to liczby rzeczywiste, a x i y to dwie zmienne, każda z stopniem 1. Jeśli rozważymy dwa takie równania liniowe, są one nazywane równaniami liniowymi jednoczesnymi. Na przykład 6x + 2y + 9 = 0 jest równaniem liniowym w dwóch zmiennych. Istnieje wiele sposobów rozwiązywania równań liniowych w dwóch zmiennych, takich jak metoda graficzna, metoda podstawiania, metoda mnożenia krzyżowego, metoda eliminacji i metoda wyznacznikowa.
Jak rozwiązać równania liniowe?
Równanie jest jak waga, na której obie strony są równoważne. Jeśli dodamy lub odjmiemy tę samą liczbę z obu stron równania, to wciąż jest prawdziwe. Podobnie, jeśli pomnożymy lub podzielimy obie strony równania przez tę samą liczbę, to jest ono poprawne. Przenosimy zmienne na jedną stronę równania, a stałe na drugą stronę, a następnie znajdujemy wartość nieznanej zmiennej. To jest sposób na rozwiązanie równania liniowego z jedną zmienną. Zrozumiejmy to na przykładzie.
Przykład: Rozwiąż równanie 3x – 2 = 4.
Wykonujemy działania matematyczne po lewej (LHS) i prawej (RHS) stronie równania, aby równowaga nie została zaburzona. Dodajemy 2 po obu stronach, aby zmniejszyć LHS do 3x. To nie zaburzy równowagi. Nowe LHS to 3x – 2 + 2 = 3x, a nowe RHS to 4 + 2 = 6. Następnie dzielimy obie strony przez 3, aby zmniejszyć LHS do x. Mamy więc x = 2. To jest jeden ze sposobów rozwiązywania równań liniowych w jednej zmiennej.
Dlaczego równanie liniowe nazywa się liniowym?
Równanie liniowe nazywa się liniowym, ponieważ gdy próbujemy przedstawić graf funkcji liniowej, wynik daje prostą linię.
Czy równania liniowe mogą mieć ułamki?
Tak, równania liniowe mogą mieć ułamki, ale tylko wtedy, gdy mianownik w części ułamkowej jest stałą wartością. Zmienne nie mogą być częścią mianownika żadnego ułamka w równaniu liniowym.
Czym są równania liniowe z jedną zmienną?
Równanie liniowe z jedną zmienną to równanie, w którym jest obecna tylko jedna zmienna. Ma ono postać Ax + B = 0,
Jak przekonwertować równanie liniowe na postać standardową?
Aby przekonwertować równanie liniowe na postać standardową, należy przenieść wszystkie zmienne na jedną stronę równania, a stałe na drugą stronę, a następnie przearanżować wyrażenia tak, aby zmienne znajdowały się po lewej stronie, a stała po prawej.
Jak różnią się równania kwadratowe od równań liniowych?
Równania liniowe nie mają żadnego wykładnika innych niż 1 w każdym wyrażeniu. Ogólna postać równania liniowego jest wyrażona jako Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a x i y to zmienne. Natomiast równania kwadratowe mają co najmniej jeden wyraz zawierający zmienną podniesioną do drugiej potęgi. Ogólna postać równania kwadratowego jest wyrażona jako ax2 + bx + c = 0. Inną różnicą między tymi rodzajami równań jest to, że równanie liniowe tworzy linię prostą, podczas gdy równanie kwadratowe tworzy parabolę na wykresie.
Jak narysować wykres równań liniowych?
Podczas rysowania wykresów równań liniowych, powstaje linia prosta. Aby narysować równanie postaci Ax + By = C, należy uzyskać dwie wartości odpowiadające punktom przecięcia z osią x i y. Równanie to może być przekształcone na postać y = mx + b. Następnie można podstawić wartość x z różnymi liczbami, aby uzyskać wartość y, co tworzy zestaw współrzędnych (x, y). Te współrzędne mogą być naniesione na wykres, a następnie połączone linią.
Jak rozwiązać równania liniowe zawierające ułamki?
Równania liniowe zawierające ułamki rozwiązuje się w ten sam sposób, jak zwykłe równania. Trzeba przenieść zmienną na jedną stronę równania, a stałe na drugą stronę, a następ
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
