Metoda Simpsona jest jednym z wzorów używanych do wyznaczania przybliżonej wartości całki oznaczonej. Całka oznaczona to całka z dolnym i górnym limitem. Zwykle, aby obliczyć całkę oznaczoną, najpierw wykonujemy całkowanie (używając technik całkowania), a następnie stosujemy fundamentalne twierdzenie rachunku całkowego, aby zastosować limity. Ale czasami nie możemy zastosować żadnej techniki całkowania do rozwiązania całki, a czasami nie mamy konkretnych funkcji do całkowania, zamiast tego mamy pewne zaobserwowane wartości (w przypadku eksperymentów) funkcji. W takich przypadkach metoda Simpsona pomaga w przybliżeniu wartości całki oznaczonej.

Reguła Simpsona - Wzór | Reguła Simpsona 1/3 — Reguła Simpsona – Wzór | Reguła Simpsona 1/3

Czym jest Metoda Simpsona?

Metoda Simpsona jest stosowana do wyznaczania wartości całki oznaczonej (o postaci b∫ₐ f(x) dx), przybliżając pole pod wykresem funkcji f(x). Podczas korzystania z sumy Riemanna obliczamy pole pod krzywą (całkę oznaczoną) dzieląc pole pod krzywą na prostokąty, podczas gdy podczas korzystania z metody Simpsona wyznaczamy pole pod krzywą dzieląc obszar całkowity na paraboloidy. Metoda Simpsona jest również znana jako metoda 1/3 Simpsona (która jest wymawiana jako jedna trzecia Simpsona).

Wzór na Metodę Simpsona

Mamy kilka metod numerycznych do przybliżania całki, takich jak suma lewa Riemanna, suma prawa Riemanna, reguła punktu środkowego, reguła trapezów, metoda 1/3 Simpsona itp. Ale spośród nich metoda Simpsona daje bardziej dokładne przybliżenie całki oznaczonej. Jeśli mamy f(x) = y, która jest równomiernie rozłożona między [a,b], wzór na metodę Simpsona ma postać:

CZYTAĆ: Powierzchnia boczna prostopadłościanu - Wzór

b∫a f(x) d x ≈ (h/3) [f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ … +2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn)]

Tutaj:

n jest parzystą liczbą, która jest ilością podprzedziałów, na które przedział [a,b] powinien zostać podzielony.
(n jest zwykle podany w zadaniu)
x0 = a i xn = b
h = [(b – a) / n]
x0, x1, …., xn są końcami n podprzedziałów.

Błąd graniczny metody Simpsona

Metoda Simpsona daje tylko przybliżoną wartość całki, a nie dokładną wartość. Zawsze istnieje więc błąd, który można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Błąd graniczny w metodzie Simpsona = \(\dfrac{M(b-a)^{5}}{180 n^{4}}\), gdzie \(\left|f^{(4)}(x)\right| \leq M\)

Pochodna metody 1/3 Simpsona

Przybliżanie wartości całki

Za pomocą metody 1/3 Simpsona przybliżamy wartość całki oznaczonej b∫ₐ f(x) dx, dzieląc pole pod krzywą f(x) na paraboloidy. Aby to osiągnąć, dzielimy przedział [a, b] na n podprzedziałów [x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] o szerokości „h”, gdzie x₀ = a i xₙ = b.

Przybliżanie obszaru pod paraboloidą

Aby przybliżyć pole pod krzywą, rozważmy każde 3 kolejne punkty jako leżące na paraboloidzie. Przybliżmy pole pod krzywą leżące między x₀ i x₂, rysując paraboloidę przez punkty x₀, x₁ i x₂.

Załóżmy, że równanie paraboloidy to y = ax2 + bx + c. Wtedy pole między x₀ i x₂ jest przybliżane przez całkę oznaczoną:

Pole między x₀ i x₂ ≈ ₋ₕ∫ʰ (ax2 + bx + c) dx

= (ax3/3 + bx2/2 + cx) ₋ₕ|ʰ

= (2ah3/3 + 0 + 2ch)

= h/3 (2ah2 + 6c) … (1)

Wzór Simpsona 1/3

Możemy też zaobserwować, że:

f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂) = (ah2 – bh + c) + 4c + (ah2 + bh + c) = 2ah2 + 6c.

Podstawmy to do (1):

Pole między x₀ i x₂ ≈ h/3 (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Podobnie, można wywnioskować, że:

Pole między x₂ i x₄ ≈ h/3 (f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄))

Kalkulując pozostałe obszary w podobny sposób, otrzymujemy:

CZYTAĆ: Odległość Między Dwiema Punktami - Formula, Pochodna, Przykłady

b∫ₐ f(x) dx ≈ (h/3) [f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ … +2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn)]

Zatem otrzymaliśmy wzór na metodę 1/3 Simpsona.

Jak stosować metodę 1/3 Simpsona?

Krok 1: Zidentyfikuj wartości 'a’, 'b’ i 'n’

Aby zastosować metodę 1/3 Simpsona do przybliżenia całki oznaczonej b∫ₐ f(x) dx należy:

Zidentyfikować wartości 'a’ i 'b’ z przedziału [a, b].

Zidentyfikować wartość 'n’, czyli liczbę podprzedziałów.

Krok 2: Oblicz szerokość każdego podprzedziału

Obliczyć szerokość każdego podprzedziału h, używając wzoru h = (b – a)/n.

Krok 3: Podział przedziału [a, b] na n podprzedziałów

Podzielić przedział [a, b] na n podprzedziałów [x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] używając uzyskanej szerokości 'h’.

Krok 4: Zastosowanie wzoru Simpsona 1/3

Podstawienie wartości z kroków 1-3 do wzoru Simpsona:

b∫ₐ f(x) dx ≈ (h/3) [f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ … +2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn)]

Ważne uwagi dotyczące metody Simpsona

Przy zastosowaniu metody 1/3 Simpsona, zawsze dzielimy przedział na parzystą liczbę podprzedziałów (n musi być parzyste).

Podprzedziały muszą mieć równą szerokość.

Zastosowanie metody 1/3 Simpsona daje bardziej dokładne przybliżenie niż inne numeryczne metody całkowania.

Czym jest metoda Simpsona?

Metoda Simpsona – przybliżenie całki oznaczonej

Metoda Simpsona to metoda numeryczna, która pozwala na przybliżenie wartości skomplikowanych całek oznaczonych. Mówi ona, że b∫a f(x) d x ≈ (h/3) [f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ … +2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn)]. Tutaj przedział [a, b] jest dzielony na n podprzedziałów, a x0, x1, x2, …, xn to końce tych podprzedziałów.

Jak wywodzi się wzór Simpsona?

Aby uzyskać wzór Simpsona, należy najpierw podzielić przedział [a, b] na n podprzedziałów o szerokości h. Następnie dla każdych 3 kolejnych punktów rysujemy przybliżoną parabolę, która przechodzi przez te punkty i przybliża pole powierzchni pod krzywą z uwzględnieniem pierwszego i trzeciego punktu. Podobnie przybliżamy pole dla każdych 3 kolejnych punktów i łączymy je w końcu, co daje wzór Simpsona. Więcej szczegółów znajduje się tutaj.

CZYTAĆ: Kąty odpowiadające Definicja, Twierdzenie, Przykłady

Jak stosować metodę Simpsona?

Aby zastosować metodę Simpsona do przybliżenia całki oznaczonej b∫ₐ f(x) dx, należy:

Obliczyć szerokość każdego podprzedziału za pomocą wzoru h = (b – a)/n.
Podzielić przedział [a, b] na n podprzedziałów [x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] każdy o szerokości 'h’.
Podstawić te wartości w wzór Simpsona, który mówi:

b∫ₐ f(x) dx ≈ (h/3) [f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ … +2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn) ]

Dlaczego stosuje się regułę 1/3 Simpsona?

Reguła 1/3 Simpsona stosowana jest do przybliżenia wartości całki oznaczonej. Zazwyczaj stosujemy twierdzenie fundamentalne rachunku różniczkowego i całkowego, aby obliczyć wartość całki oznaczonej. Jednak czasami nie jest to możliwe w przypadku bardziej złożonych funkcji. W takim przypadku reguła 1/3 Simpsona jest bardzo pomocna i daje dokładniejsze przybliżenie niż inne metody numeryczne całkowania.

Różnica między regułą trapezów a regułą Simpsona

W regule trapezów przybliża się całkę określoną, w której pole pod krzywą jest dzielone na trapezy. Z kolei w regule Simpsona pole jest przybliżane za pomocą parabol. Mimo że reguła trapezów i reguła Simpsona dają przybliżenie prawie tego samego pola, reguła Simpsona daje bardziej dokładne przybliżenie.

Czy liczba przedziałów w regule Simpsona może być nieparzysta?

Nie, przedział całki określonej, przy stosowaniu reguły Simpsona, zawsze powinien być dzielony na parzystą liczbę podprzedziałów. Reguła Simpsona nie może być stosowana, gdy liczba podprzedziałów jest nieparzysta.

Czy reguła Simpsona 1/3 jest dokładna?

Tak, jest bardziej dokładna. Mimo że mamy inne metody, takie jak reguła środka, reguła trapezów, przybliżenie Riemanna, itp., preferujemy regułę Simpsona do przybliżenia całki określonej.