Reguła potęg w rachunku różniczkowym jest metodą różniczkowania stosowaną przy różniczkowaniu wyrażenia algebraicznego z potęgą. W prostych słowach, reguła potęg jest używana do różniczkowania wyrażeń algebraicznych postaci xn, gdzie n jest liczbą rzeczywistą. Aby różniczkować xn, po prostu mnożymy potęgę n przez wyrażenie i zmniejszamy potęgę o 1. Zatem ogólna formuła pochodnej reguły potęg jest dana wzorem d(xn)/dx = nxn-1.
W dalszej części tego artykułu będziemy zgłębiać pojęcie pochodnych reguły potęg oraz jej wzoru. Przy użyciu różnych rozwiązanych przykładów zrozumiemy również zastosowanie ogólnej formuły reguły potęg i omówimy inne reguły potęg w rachunku różniczkowym stosowane w całkowaniu, wykładnikach i funkcjach logarytmicznych.

Czym jest Reguła Potęg?

Reguła potęg w rachunku różniczkowym jest stosowana do różniczkowania wyrażeń algebraicznych z potęgą, tzn. jeśli wyrażenie algebraiczne ma postać xn, gdzie n jest liczbą rzeczywistą, to stosujemy regułę potęg do jego różniczkowania. Korzystając z tej reguły, pochodna xn jest zapisywana jako iloczyn potęgi oraz wyrażenia, a następnie zmniejszamy potęgę o 1. Zatem pochodna xn jest zapisywana jako nxn-1. Oznacza to, że reguła potęg jest stosowana zarówno do potęg ujemnych, dodatnich, jak i ułamkowych.

Regułę potęg można stosować do różniczkowania wielomianów. Reguła potęg w rachunku różniczkowym jest stosowana do różnych rodzajów funkcji i w różnych celach, o czym omówimy później w tym artykule.

Wzór na Regułę Potęg

Możemy zapisać ogólny wzór na regułę potęg jako pochodna x do potęgi n jest równa n razy x do potęgi n minus 1. Matematycznie, ogólny wzór na różniczkowanie wyrażeń algebraicznych za pomocą reguły potęg jest dany wzorem, d(xn)/dx OR (xn)’ = nxn-1, gdzie n jest liczbą rzeczywistą.

Dowód Reguły Potęg

Teraz, gdy znamy wzór na pochodną reguły potęg, przejdźmy do dowodzenia wzoru za pomocą różnych metod. Dowiemy się, jak udowodnić ogólny wzór reguły potęg, korzystając z zasad indukcji matematycznej i twierdzenia dwumianowego.

Dowód Reguły Potęg za pomocą Indukcji Matematycznej

Korzystając z zasad indukcji matematycznej, udowodnimy wzór d(xn)/dx = nxn-1 dla dodatnich wartości całkowitych n. Nasze stwierdzenie brzmi P(n): d(xn)/dx = nxn-1. Najpierw udowodnimy to dla n = 1. Następnie założymy, że P(n) jest prawdziwe dla n = k i udowodnimy to dla n = k+1.

Krok 1: Załóżmy n = 1, wtedy mamy LHS = dx/dx = 1 (ponieważ pochodna x wynosi 1). Ponadto, RHS = 1.x1-1 = 1.x0 = 1. Zatem mamy LHS = RHS. Zatem P(1) jest prawdziwe. — (1)

Krok 2: Załóżmy, że P(k) jest prawdziwe, to znaczy, d(xk)/dx = kxk-1 — (2)

Krok 3: Teraz udowodnimy, że P(n) jest prawdziwe dla n = k + 1, to znaczy, musimy udowodnić, że d(xk+1)/dx = (k+1)xk.

Rozważmy LHS = d(xk+1)/dx = d(xk.x)/dx — [Korzystając z zasad potęg] = d(xk)/dx × x + dx/dx × xk — [Korzystając z zasady iloczynu] = kxk-1 × x + 1 × xk [Z (1) i (2)] = kxk-1+1 + xk = kxk + xk = (k+1) xk = RHS

CZYTAĆ: Oś x i oś y na wykresie

W ten sposób udowodniliśmy, że P(k+1) jest prawdziwe.

Zatem, korzystając z zasad indukcji matematycznej, udowodniliśmy, że P(n): d(xn)/dx = nxn-1 jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych, a zatem udowodniliśmy wzór reguły potęg dla różniczkowania.

https://youtube.com/watch?v=0EAZzzdTW-o%3Ffeature%3Doembed

Dowód Reguły Potęg za pomocą Twierdzenia Dwumianowego

W tej sekcji dowiemy się, jak udowodnić ogólny wzór reguły potęg dla różniczkowania, korzystając z twierdzenia dwumianowego. Wzór na twierdzenie dwumianowe jest dany przez (x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + nC3 xn-3 y3 + nC4 xn-4 y4 + … + nCn yn. Będziemy używać pierwszej zasady różniczkowania, aby udowodnić wzór i w ten sposób, korzystając z formuły dwumianowej, dojdziemy do wyniku. Zgodnie z pierwszą zasadą różniczkowania, pochodna f(x) = xn jest dana wzorem:

f'(x) = limh→0 [(x + h)n – xn] / h = limh→0 [(nC0 xn + nC1 xn-1 h + nC2 xn-2 h2 + nC3 xn-3 h3 + nC4 xn -4 h4 + … + nCn hn)- xn] / h = limh→0 [nC1 xn-1 h + nC2 xn-2 h2 + nC3 xn-3 h3 + nC4 xn-4 h4 + … + nCn hn] / h = limh→0 [nC1 xn-1 h + nC2 xn-2 h2 + nC3 xn-3 h3 + nC4 xn-4 h4 + … + nCn hn] / h = limh→0 [nC1 xn-1 + nC2 xn-2 h + nC3 xn-3 h2 + nC4 xn-4 h3 + … + nCn hn-1] / h = nxn-1

Zatem udowodniliśmy wzór reguły potęg dla różniczkowania dla dodatnich liczb całkowitych n.

Dowód Wzoru Reguły Potęg dla Ujemnych Liczb Całkowitych

Następnie uogólnimy wzór reguły potęg dla ujemnych liczb całkowitych. Załóżmy, że n = -m, gdzie m jest liczbą naturalną. Wówczas n jest ujemną liczbą całkowitą. Zatem pochodna xn jest dana wzorem:

d(xn)/dx = d(x-m)/dx = d(1/xm)/dx — [Korzystając z zasad potęg] = [d(1)/dx × xm – d(xm)/dx] / (xm)2 — [Korzystając z reguły ilorazu różniczkowania] = [0 – mxm-1] / (xm)2 = – m xm-1 / x2m — [Korzystając z zasady potęg: (am)n = amn] = -mxm-1-2m = -mx-m-1 = nxn – 1 — [ponieważ n = -m] Zatem dla wszystkich ujemnych liczb całkowitych wzór reguły potęg d(xn)/dx = nxn-1 jest prawdziwy. Podobnie, możemy użyć metody różniczkowania niejawnej, aby udowodnić wzór dla ułamkowych wykładników. Stąd możemy wnioskować, że wzór d(xn)/dx = nxn-1 jest prawdziwy dla wszystkich liczb rzeczywistych n.

Zastosowanie Reguły Potęg

Teraz, w tej sekcji, zrozumiemy, jak stosować regułę potęg do różniczkowania wyrażeń algebraicznych (lub wielomianów), w tym wyrażeń postaci xn. Rozważmy przykład dla tego samego. Niech f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8. Znajdziemy pochodną f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8, korzystając z wzoru reguły potęg, a w tym wyrażeniu potęga x jest zarówno dodatnia, jak i ujemna. Aby znaleźć pochodną f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8, najpierw skorzystamy z faktu, że pochodna sumy funkcji jest równa sumie pochodnych funkcji, tj. (u + v)’ = u’ + v’. Zatem mamy:

CZYTAĆ: Masa – Definicja, Jednostki, Wzór i Przykłady

f'(x) = d(3×4 – 2x-2 + x – 8)/dx = d(3×4)/dx – d(2x-2)/dx + dx/dx – d(8)/dx = 3d(x4)/dx – 2d(x-2)/dx + dx/dx – d(8×0)/dx — [ponieważ d(af(x))/dx = ad(f(x))/dx; możemy zapisać 1 jako x0] = 3 × 4×4-1 – 2 × (-2)x-2-1 + 1×1-1 – 0x0-1 — [Korzystając z wzoru reguły potęg] = 12×3 + 4x-3 + 1×0 – 0 = 12×3 + 4x-3 + 1 Stąd, stosując regułę potęg, wyznaczyliśmy pochodną wielomianu, w tym terminów postaci xn. Rozważmy teraz wyrażenie algebraiczne z ułamkowymi wykładnikami i zastosujmy wzór, aby znaleźć jego pochodną. Niech g(x) = x-4 + x3/4 -7×1/9 + 3. Teraz, za pomocą reguły potęg, obliczymy pochodną g(x).

g'(x) = d(x-4 + x3/4 -7×1/9 + 3)/dx
= d(x-4)/dx + d(x3/4)/dx – 7d(x1/9 )/dx + d(3×0)/dx
= -4x-4-1 + (3/4) x3/4 – 1 – 7 × (1/9) x1/9-1 + 3 × 0x0-1
= -4x-5 + (3/4) x-1/4 – (7/9) x-8/9 + 0
= -4x-5 + (3/4) x-1/4 – (7/9) x-8/9
, zgodnie z regułą potęgi

Co to jest reguła potęgowa?

Wstęp

Reguła potęgowa służy do różniczkowania wyrażeń algebraicznych o postaci xn, gdzie n jest liczbą rzeczywistą. W prostych słowach, regułę potęgową stosujemy do różniczkowania wyrażeń algebraicznych z potęgą. Aby różniczkować xn, mnożymy potęgę n przez wyrażenie i zmniejszamy potęgę o 1. Zatem ogólna formuła pochodnej reguły potęgowej jest d(xn)/dx = nxn-1. W tym artykule zbadać będziemy koncepcję pochodnych reguły potęgowej i jej formułę. Przeprowadzimy również dowód ogólnej formuły reguły potęgowej i zrozumiemy jej zastosowanie na przykładach.

Formuła reguły potęgowej

Ogólna formuła dla różniczkowania wyrażeń algebraicznych z użyciem reguły potęgowej wyraża się wzorem d(xn)/dx = nxn-1. W tej formule n może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Dowód reguły potęgowej

Formułę reguły potęgowej można udowodnić przy użyciu różnych metod. Najczęściej stosowanymi metodami są zasada indukcji matematycznej i twierdzenie dwumianowe. Dowód reguły potęgowej przy użyciu zasady indukcji matematycznej jest opisany poniżej:

Załóżmy, że dana jest formuła d(xn)/dx = nxn-1 dla całkowitych wartości dodatnich n. Udowodnimy teraz tę formułę dla n = k + 1.

Krok 1: Załóżmy, że n = 1, wtedy LHS = dx/dx = 1 (ponieważ pochodna x jest równa 1). Ponadto RHS = 1.x1-1 = 1.x0 = 1. Zatem mamy LHS = RHS. W ten sposób udowodniliśmy P(1) dla n = 1.

Krok 2: Załóżmy, że P(k) jest prawdziwe, czyli d(xk)/dx = kxk-1.

Krok 3: Teraz udowodnimy, że P(n) jest prawdziwe dla n = k + 1, czyli musimy udowodnić, że d(xk+1)/dx = (k+1)xk.

LHS = d(xk+1)/dx
= d(xk.x)/dx — [Stosując zasady potęgowania]
= d(xk)/dx × x + dx/dx × xk — [Stosując regułę mnożenia]
= kxk-1 × x + 1 × xk [Z (1) i (2)]

CZYTAĆ: Rozkładanie na Czynniki Trójmianów – Definicja, Reguły, Metody, Formula, Przykłady

= kxk-1+1 + xk

Czym jest Reguła Potęgowa Pochodnych?

Reguła potęgowa pochodnych to metoda różniczkowania stosowana wtedy, gdy potrzebujemy obliczyć pochodną wyrażenia matematycznego z wykładnikiem. Używana jest, gdy mamy wyrażenie postaci xn i chcemy obliczyć jego pochodną. Mówi ona, że d/dx(xn) = nxn-1.

Jaka jest Ogólna Formuła dla Reguły Potęgowej Pochodnych?

Formuła dla reguły potęgowej pochodnych to d(xn)/dx = nxn-1, gdzie n jest liczbą rzeczywistą. Ta formuła pomaga w znalezieniu pochodnej wyrażeń postaci xn i dlatego można jej używać do znajdowania pochodnych wielomianów zawierających takie wyrażenia.

Jak wywodzi się Regułę Potęgową Pochodnych?

Możemy wywodzić regułę potęgową pochodnych, stosując zasadę indukcji matematycznej i twierdzenie Newtona dla iloczynu dwóch liczb oraz pierwszą zasadę różniczkowania. Możemy również uogólnić formułę reguły potęgowej na ułamki z wymiernymi wykładnikami oraz liczby ujemne, stosując formułę dla wykładników dodatnich.

Jak używać Reguły Potęgowej Pochodnych?

Możemy używać reguły potęgowej pochodnych, stosując formułę d(xn)/dx = nxn-1 do wyrażeń algebraicznych postaci xn. Ponieważ różniczkowanie jest operacją liniową, możemy użyć tej formuły do znalezienia pochodnej wielomianów.

Jak znaleźć pochodną ułamka przy użyciu Reguły Potęgowej Pochodnych?

Aby znaleźć pochodną ułamka przy użyciu reguły potęgowej pochodnych, możemy uprościć lub zracjonalizować ułamek i wyrazić go w postaci xn, aby znaleźć jego pochodną, stosując regułę potęgową. Na przykład, możemy uprościć wyrażenie 3/x2 i zapisać je jako 3x-2, aby znaleźć jego pochodną. Używając reguły potęgowej, mamy d(3/x2)/dx = 3d(x-2)/dx = 3 (-2) x-2-1 = -6x-3.

Czym jest Reguła Potęgowa dla Wykładników?

Reguła potęgowa dla wykładników jest stosowana, gdy wykładnik jest podniesiony do potęgi. Dla liczby całkowitej dodatniej x i liczb całkowitych m i n, mamy formułę (xm)n = xmn.

Jak stosować Regułę Potęgową przy całkowaniu?

Możemy całkować wyrażenia algebraiczne postaci xn, stosując formułę „reguły potęgowej całkowania” ∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C, gdzie C to stała całkowania.

Czym jest Reguła Potęgowa dla Potęgi Równej Zero?

Reguła potęgowa dla potęgi równej zero mówi, że wartość wyrażenia o dowolnej podstawie i potędze równej zero jest równa jeden. Innymi słowy, mamy x0 = 1 dla liczb rzeczywistych x z wyjątkiem x = 0.

Jak używać Reguły Potęgowej w przypadku pierwiastków kwadratowych?

Aby zastosować regułę potęgową przy pierwiastkach kwadratowych, po prostu zastępujemy pierwiastek kwadratowy liczbą 1/2 w formule d(xn)/dx = nxn-1. Dla f(x) = √x, pochodna f(x) przy użyciu reguły potęgowej wynosi f'(x) = d(√x)/dx = (1/2) x1/2 – 1 = (1/2) x-1/2.

Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Power_rule