Obszar trójkąta jest definiowany jako całkowita przestrzeń zajmowana przez trzy boki trójkąta na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Podstawowa formuła dla pola trójkąta wynosi połowa iloczynu jego podstawy i wysokości, czyli A = 1/2 × b × h. Ta formuła jest stosowana do wszystkich rodzajów trójkątów, niezależnie od tego, czy jest to trójkąt różnoboczny, równoramienny czy równoboczny. Należy pamiętać, że podstawa i wysokość trójkąta są prostopadłe do siebie.
W tej lekcji dowiemy się o wzorach na pole trójkąta dla różnych typów trójkątów, wraz z przykładami.
Czym jest pole trójkąta?
Pole trójkąta to obszar zamknięty pomiędzy bokami trójkąta. Pole trójkąta różni się w zależności od długości boków i kątów wewnętrznych. Pole trójkąta jest wyrażone w jednostkach powierzchni, takich jak m2, cm2, in2 i tak dalej.
Definicja trójkąta
Trójkąt to figura zamknięta z 3 kątami, 3 bokami i 3 wierzchołkami. Jest to jeden z najprostszych kształtów w geometrii i jest oznaczany symbolem △. Istnieją różne rodzaje trójkątów, które są klasyfikowane na podstawie ich boków i kątów.
Wzór na pole trójkąta
Pole trójkąta może być obliczone za pomocą różnych wzorów. Na przykład, wzór Herona jest używany do obliczenia pola trójkąta, gdy znamy długość wszystkich trzech boków. Funkcje trygonometryczne są również stosowane do znalezienia pola trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi. Jednak podstawowym wzorem, który jest używany do obliczenia pola trójkąta, jest:
Pole trójkąta = 1/2 × podstawa × wysokość
Zobaczmy poniższy rysunek, aby zobaczyć, co oznaczają podstawa i wysokość trójkąta.
Przykład
Obliczmy pole trójkąta o podstawie 'b’ = 2 cm i wysokości 'h’ = 4 cm, używając tego wzoru.
Rozwiązanie: Korzystając z wzoru: Pole trójkąta, A = 1/2 × b × h = 1/2 × 4 × 2 = 4 cm2
Klasyfikacja trójkątów
Trójkąty mogą być klasyfikowane na podstawie kątów jako ostrokątne, rozwarte lub prostokątne. Mogą być trójkątami różnobocznymi, równoramiennymi lub równobocznymi, gdy są klasyfikowane na podstawie swoich boków. Poznajmy inne sposoby, które są wykorzystywane do obliczania pola trójkątów o różnych scenariuszach i parametrach.
Pole trójkąta używając wzoru Herona
Wzór Herona jest używany do obliczenia pola trójkąta, gdy znamy długość trzech jego boków. Aby użyć tego wzoru, musimy znać obwód trójkąta, który jest długością całego obwodu trójkąta i jest obliczany przez dodanie długości wszystkich trzech boków. Wzór Herona składa się z dwóch ważnych kroków.
Krok 1
Znajdź półobwód (połowa obwodu) danego trójkąta, dodając długość wszystkich trzech boków i dzieląc przez 2.
Krok 2
Zastosuj wartość półobwodu trójkąta w głównym wzorze zwany 'wzorem Herona’.
Rozważmy trójkąt ABC o długościach boków a, b i c. Aby obliczyć pole trójkąta, używamy wzoru Herona:
Pole = \(\sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c)}\)
Należy zauważyć, że (a + b + c) jest obwodem trójkąta. Dlatego 's’ jest półobwodem, który wynosi: (a + b + c)/2
Pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi (SAS)
Jeśli znane są dwa boki i kąt między nimi trójkąta, używamy wzoru, który ma trzy warianty zgodnie z podanymi wymiarami. Na przykład, rozważmy trójkąt podany poniżej.
Kiedy znane są boki 'b’ i 'c’ oraz kąt między nimi A, pole trójkąta wynosi:
Pole (∆ABC) = 1/2 × bc × sin(A)
Kiedy znane są boki 'a’ i 'b’ oraz kąt między nimi C, pole trójkąta wynosi:
Pole (∆ABC) = 1/2 × ab × sin(C)
Kiedy znane są boki 'a’ i 'c’ oraz kąt między nimi B, pole trójkąta wynosi:
Pole (∆ABC) = 1/2 × ac × sin(B)
Przykład
W ∆ABC, kąt A = 30°, bok 'b’ = 4 jednostki, bok 'c’ = 6 jednostek.
Pole (∆ABC) = 1/2 × bc × sin A
= 1/2 × 4 × 6 × sin 30º
= 12 × 1/2 (ponieważ sin 30º = 1/2)
Pole = 6 jednostek kwadratowych.
Jak obliczyć pole trójkąta?
Pole trójkąta można obliczyć za pomocą różnych wzorów, zależnie od rodzaju trójkąta i podanych wymiarów.
Wzory na pole trójkąta
Poniżej podane są wzory na pole trójkąta dla różnych rodzajów trójkątów, takich jak trójkąt równoboczny, trójkąt prostokątny i trójkąt równoramienny.
Pole trójkąta prostokątnego
Trójkąt prostokątny, zwany także trójkątem prostokątnym, ma jeden kąt równy 90°, a dwa pozostałe kąty ostre sumują się do 90°. W związku z tym wysokość trójkąta jest długością przeciwprostokątnej. Wzór używany w tym przypadku to:
Pole trójkąta prostokątnego = A = 1/2 × podstawa × wysokość
Pole trójkąta równobocznego
Trójkąt równoboczny to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Przeciwprostokątna narysowana z wierzchołka trójkąta do podstawy dzieli podstawę na dwie równe części. Aby obliczyć pole trójkąta równobocznego, musimy znać długość jego boków. Wzór używany w tym przypadku to:
Pole trójkąta równobocznego = A = (√3)/4 × bok2
Pole trójkąta równoramiennego
Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki, a kąty przeciwległe do równych boków są również równe. Wzór używany w tym przypadku to:
Pole trójkąta równoramiennego = A = \(\frac{1}{4}b\sqrt {4{a^2} – {b^2}}\)
gdzie 'b’ to podstawa, a 'a’ to długość jednego z równych boków.
Pole trójkąta, gdy znane są 3 boki
Pole trójkąta można obliczyć, gdy znane są trzy boki trójkąta. W tym scenariuszu zakładamy, że wszystkie trzy boki trójkąta mają różne długości. Innymi słowy, jest to trójkąt różnoboczny i używamy wzoru Herona do obliczenia pola trójkąta. Wzór Herona jest wyjaśniony powyżej na tej stronie i jest wyrażony następująco: Pole trójkąta = \(\sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c)}\) gdzie a, b i c to boki trójkąta, a 's’ to połowa obwodu; s = (a + b + c)/2.
Zobacz tabelę poniżej, która podsumowuje wszystkie wzory na pole trójkąta.
| Podane wymiary | Wzór na pole trójkąta |
|---|---|
| Gdy podana jest podstawa i wysokość trójkąta. | A = 1/2 (podstawa × wysokość) |
| Gdy podane są boki trójkąta jako a, b i c. | (wzór Herona) Pole trójkąta różnobocznego = \(\sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c)}\) gdzie a, b i c to boki, a 's’ to połowa obwodu; s = (a + b + c)/2 |
| Gdy podane są dwa boki i kąt między nimi. | A = 1/2 × bok 1 × bok 2 × sin(θ) gdzie θ to kąt między danymi dwoma bokami |
| Gdy podana jest podstawa i wysokość w trójkącie prostokątnym. | Pole trójkąta prostokątnego = 1/2 × podstawa × wysokość |
| Gdy trójkąt jest równoboczny i podany jest jeden bok. | Pole trójkąta równobocznego = (√3)/4 × bok2 |
| Gdy trójkąt jest równoramienny i podane są bok równy i podstawa. | Pole trójkąta równoramiennego = 1/4 × b\(\sqrt {4{a^2} – {b^2}}\) gdzie 'b’ to podstawa, a 'a’ to długość jednego z równych boków |
Jak obliczyć długość podstawy i wysokości trójkąta?
Pole trójkąta jest obliczane według wzoru: A = 1/2 (podstawa x wysokość). Korzystając z tego samego wzoru, wysokość lub podstawa mogą być obliczone, gdy znane są inne wymiary. Na przykład, jeśli znane są pole i podstawa trójkąta, to wysokość może być obliczona jako: Wysokość trójkąta = (2 x Pole)/podstawa. Podobnie, kiedy znana jest wysokość i pole, podstawa może być obliczona za pomocą wzoru: Podstawa trójkąta = (2 x Pole)/wysokość.</
Jak obliczyć pole i obwód trójkąta?
Jak obliczyć obwód trójkąta?
Obwód trójkąta można obliczyć przez dodanie długości wszystkich trzech boków trójkąta.
Jak obliczyć pole trójkąta bez wysokości?
Pole trójkąta można obliczyć, gdy znane są długości 3 boków trójkąta, ale nie jest znana wysokość. W takim przypadku można skorzystać z wzoru Herona, aby obliczyć pole trójkąta. Wzór Herona: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), gdzie a, b i c to boki trójkąta, a 's’ to połowa obwodu; s=(a+b+c)/2.
Jak obliczyć pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi?
W trójkącie, gdy znane są dwa boki i kąt między nimi, pole trójkąta wynosi połowę iloczynu tych dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Na przykład, w ∆ABC, gdy znane są boki 'b’ i 'c’ oraz kąt między nimi A, pole trójkąta oblicza się za pomocą wzoru: 1/2 × b × c × sin(A).
Jak obliczyć pole trójkąta z trzema bokami?
Pole trójkąta z trzema bokami można obliczyć za pomocą wzoru Herona. Wzór Herona: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), gdzie a, b i c to boki trójkąta, a 's’ to połowa obwodu; s=(a+b+c)/2.
Jaki jest wzór na pole trójkąta?
Wzór na pole trójkąta zależy od znanych wymiarów oraz typu trójkąta. Na tej stronie znajdują się różne wzory dla różnych typów trójkątów. Kilka z nich wymieniono poniżej.
- Pole trójkąta równobocznego = (√3)/4 × bok2
- Pole trójkąta równoramiennego = 1/4 × b√(4a2-b2); gdzie 'b’ to podstawa, a 'a’ to długość boku równego.
- Pole trójkąta różnobocznego = √(s(s-a)(s-b)(s-c)); gdzie a, b i c to boki, a 's’ to połowa obwodu;
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle
