Obszar koła to przestrzeń zajmowana przez koło na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Alternatywnie, przestrzeń zajmowana przez granice/obwód koła nazywana jest jego powierzchnią. Wzór na powierzchnię koła to A = πr2, gdzie r to promień koła. Jednostką powierzchni jest jednostka kwadratowa, np. m2, cm2, in2, itp.

Wzór na powierzchnię koła jest przydatny do pomiaru powierzchni zajmowanej przez pole kołowe lub działkę. Jeśli na przykład masz okrągły stół, wzór na powierzchnię koła pozwoli nam dowiedzieć się, ile materiału jest potrzebne, aby go całkowicie pokryć. Czy koło ma objętość? Nie, koło nie ma objętości. Koło to kształt dwuwymiarowy, nie ma objętości. Koło ma tylko powierzchnię i obwód. Dowiedzmy się teraz szczegółowo o powierzchni koła, powierzchni bocznej i jego obwodzie na przykładach.

Czym jest Powierzchnia Koła?

Powierzchnia koła to ilość przestrzeni zamkniętej w granicach koła. Obszar wewnątrz granicy koła to powierzchnia zajmowana przez koło. Może być również określana jako całkowita liczba jednostek kwadratowych wewnątrz tego koła. Wzór na powierzchnię koła to πr2 lub πd2/4 w jednostkach kwadratowych, gdzie:

π (Pi) = 22/7 lub 3.14
r = promień koła
d = średnica koła

Pi (π) to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Jest to specjalna stała matematyczna.

Jak obliczyć Powierzchnię Koła?

Aby obliczyć powierzchnię koła, musisz znać długość promienia lub średnicę koła. Znając promień koła, możesz obliczyć jego powierzchnię za pomocą wzoru:

A = πr2

Gdzie:

A to powierzchnia koła
π (Pi) to stała matematyczna o wartości 22/7 lub 3.14
r to promień koła

Jeśli znasz średnicę koła zamiast promienia, możesz obliczyć powierzchnię koła za pomocą wzoru:

A = πd2/4

Gdzie:

A to powierzchnia koła
π (Pi) to stała matematyczna o wartości 22/7 lub 3.14
d to średnica koła

Czy koło ma objętość?

Nie, koło to kształt dwuwymiarowy, nie ma objętości. Koło ma tylko powierzchnię i obwód.

Zastosowanie wzoru na Powierzchnię Koła

Wzór na powierzchnię koła jest bardzo przydatny w codziennym życiu, szczególnie w dziedzinach takich jak architektura, inżynieria i nauki ścisłe. Przykładowo, jeśli masz okrągły stół, wzór na powierzchnię koła pozwoli Ci obliczyć, ile materiału potrzebujesz, aby go całkowicie pokryć.

Koło i jego Części

Zanim przejdziemy do szczegółowego poznania powierzchni koła, przypomnijmy sobie czym jest koło i jego części. Koło to zbiór punktów znajdujących się w stałej odległości od środka koła. Koło to zamknięty kształt geometryczny. Spotykamy koła w codziennym życiu, takie jak koła w samochodach, pizze, kołowrotki, itp. Pomiar przestrzeni lub obszaru zamkniętego wewnątrz koła nazywany jest powierzchnią koła.

CZYTAĆ: Wielomian kwadratowy - Definicja, Wzór, Pierwiastki, Przykłady

Promień

Odległość od środka koła do punktu na granicy koła nazywamy promieniem koła. Oznacza się go literą 'r’ lub 'R’. Promień odgrywa ważną rolę we wzorze na powierzchnię i obwód koła, o czym dowiemy się później.

Średnica

Linia przechodząca przez środek koła i jej końce leżące na granicy koła nazywana jest średnicą koła. Oznacza się ją literą 'd’ lub 'D’.

Wzór na Średnicę

Wzór na średnicę koła to dwa razy większy promień koła. Średnica = 2 × promień. d = 2r lub D = 2R. Jeśli znamy średnicę koła, możemy obliczyć jego promień jako: r = d/2 lub R = D/2.

Zastosowanie promienia i średnicy koła

Promień i średnica koła są bardzo ważne przy obliczaniu powierzchni i obwodu koła. Promień i średnica koła mogą być użyte do określenia innych właściwości koła, takich jak jego objętość.

Obwód Koła

Obwód koła jest równy długości jego granicy. Oznacza to, że obwód koła jest również nazywany jego obwodem. Długość liny, która doskonale owija się wokół granicy koła, będzie równa jego obwodowi. Poniższy rysunek pomaga wizualizować to samo. Obwód koła można zmierzyć, używając podanego wzoru:

C = 2πr

gdzie 'r’ to promień koła, a π to stała matematyczna, której wartość wynosi około 3,14 lub 22/7. Dla koła o promieniu 'r’ i obwodzie 'C’:

π = Obwód/Średnica

π = C/2r = C/d

C = 2πr

Części Koła

Zrozumienie różnych części koła może być łatwiejsze, używając przykładu z życia codziennego. Rozważmy park o kształcie koła, jak pokazano na rysunku poniżej. Możemy zidentyfikować różne części koła za pomocą tabeli i rysunku.

W Koł	W Naszym parku	Nazwane przez literę
Środek	Fontanna	F
Obwód	Granica parku
Cięciwa	Wejście do placu zabaw	PQ
Promień	Odległość od fontanny do bramy wejściowej	FA
Średnica	Prosta linia łącząca bramę wejściową z bramą wyjściową przez fontannę	AFB
Mały segment	Mniejsza część parku, która jest pokazana jako plac zabaw
Duży segment	Większa część parku, oprócz placu zabaw
Wewnętrzna część koła	Zielona przestrzeń całego parku

Wzory na Powierzchnię Koła

Powierzchnia koła może być obliczona w pośrednich krokach z średnicy i obwodu koła. Z średnicy i obwodu możemy znaleźć promień, a następnie obliczyć powierzchnię koła. Ale te wzory zapewniają najkrótszą metodę obliczenia powierzchni koła. Jeśli koło ma promień 'r’, to jego powierzchnia wynosi πr2 lub πd2/4 w jednostkach kwadratowych, gdzie π = 22/7 lub 3,14, a 'd’ to średnica.

Wzory na Powierzchnię Koła

Powierzchnia koła może być obliczona przy użyciu następujących wzorów:

Powierzchnia = π × r2, gdzie 'r’ to promień.

Powierzchnia = (π/4) × d2, gdzie 'd’ to średnica.

Powierzchnia = C2/4π, gdzie 'C’ to obwód (czasami nazywany obwodem).

Przykłady użycia wzorów na Powierzchnię Koła

Przyjrzyjmy się poniższym ilustracjom opartym na wzorach na powierzchnię koła.

Przykład 1: Jeśli długość promienia koła wynosi 4 jednostki, oblicz jego powierzchnię.

Rozwiązanie:

promień(r) = 4 jednostki (dane)

Używając wzoru na powierzchnię koła:

Powierzchnia koła = πr2

Podstawiając wartości,

A = π(4)2

A =π × 16

A = 16π ≈ 50,27

Odpowiedź: Powierzchnia koła wynosi 50,27 jednostek kwadratowych.

Przykład 2: Długość największej cięciwy koła wynosi 12 jednostek. Oblicz powierzchnię koła.

Rozwiązanie:

Średnica(d) = 12 jednostek (dane)

Używając wzoru na powierzchnię koła:

Powierzchnia koła = (π/4)×d2

Podstawiając wartości,

A = (π/4) × 122

A = (π/4) × 144

A = 36π ≈ 113,1

Alternatywnie, możemy najpierw obliczyć promień (r) i zastosować wzór πr2.

Odpowiedź: Powierzchnia koła wynosi 113,1 jednostek kwadratowych.

<h2>Obliczanie Powierzchni Koła Przy Użyciu Średnicy</h2>

Wzór na powierzchnię koła, wyrażony przez średnicę wynosi: Powierzchnia Koła = πd2/4. Tutaj 'd’ oznacza średnicę koła. Średnica koła to dwa razy promień koła. d = 2r. Zazwyczaj z wartości średnicy najpierw musimy znaleźć promień koła, a następnie obliczyć jego powierzchnię. Z tym wzorem możemy bezpośrednio obliczyć powierzchnię koła z wartości średnicy koła, jak pokazano w powyższym przykładzie.

CZYTAĆ: Formuła w postaci nachylenia i przecięcia osi Y - Definicja, pochodna, przykłady

Obliczanie Powierzchni Koła Przy Użyciu Obwodu

Obwód koła może być użyty do obliczenia jego powierzchni. Wzór na powierzchnię koła, wyrażony przez obwód koła jest dany wzorem \(\dfrac{(Obwód)^2}{4\pi}\). Zwykle istnieją dwa proste kroki do obliczenia powierzchni koła, jeśli dany jest jego obwód. Najpierw obwód koła jest używany do obliczenia promienia koła. Następnie ten promień pomaga w obliczeniu powierzchni koła. Jednak korzystając z tego wzoru, będziemy mogli bezpośrednio obliczyć powierzchnię koła z wartości obwodu koła.

Obliczanie Powierzchni Koła – Obliczenia

Powierzchnia koła może być wygodnie obliczona na podstawie promienia, średnicy lub obwodu koła. Stałą używaną do obliczenia powierzchni koła jest pi, które ma wartość numeryczną ułamkową 22/7 lub wartość dziesiętną 3,14. Dowolna wartość pi może być używana w zależności od wymagań i potrzeb równań. Poniższa tabela przedstawia listę wzorów, jeśli znamy promień, średnicę lub obwód koła.

Obliczanie Powierzchni Koła, Jeśli Znany Jest Promień

Powierzchnia koła, gdy znany jest promień to πr2.

Obliczanie Powierzchni Koła, Jeśli Znana Jest Średnica

Powierzchnia koła, gdy znana jest średnica to πd2/4.

Obliczanie Powierzchni Koła, Jeśli Znany Jest Obwód

Powierzchnia koła, gdy znany jest obwód to C2/4π.

Pochodzenie Powierzchni Koła

Dlaczego powierzchnia koła wynosi πr2? Aby to zrozumieć, najpierw zobaczmy, jak pochodzi wzór na powierzchnię koła.

Uważnie przyjrzyj się powyższemu rysunkowi, jeśli podzielimy koło na mniejsze sektory i ułożymy je systematycznie, tworzy się kształt równoległoboku. Gdy koło jest dzielone na coraz mniejsze sektory, stopniowo przybiera kształt prostokąta. Im większa liczba sektorów, tym bardziej przypomina kształtem prostokąt, jak pokazano powyżej.

Powierzchnia prostokąta to = długość × szerokość

Szerokość prostokąta = promień koła (r)

Porównując długość prostokąta i obwód koła, możemy zauważyć, że długość = ½ obwodu koła.

Powierzchnia koła = powierzchnia utworzonego prostokąta = ½ (2πr) × r

Stąd wynika, że powierzchnia koła wynosi πr2, gdzie r to promień koła, a wartość π wynosi 22/7 lub 3,14.

Wzór na Powierzchnię Koła

Powierzchnia koła jest równa jego powierzchni. Faktycznie, gdy mówimy o powierzchni koła, oznacza to tylko jego całkowitą powierzchnię. Powierzchnia to obszar zajmowany przez powierzchnię kształtu trójwymiarowego. Powierzchnia kuli będzie miała kształt kulisty, ale koło to prosty dwuwymiarowy kształt płaski. Technicznie rzecz biorąc, nie używamy frazy „powierzchnia” do odniesienia się do powierzchni koła, zamiast tego nazywamy to „powierzchnią koła”.

Jeśli długość promienia, średnicy lub obwodu koła jest podana, można obliczyć jego powierzchnię. Jest ona wyrażona w jednostkach kwadratowych. Wzór na powierzchnię koła to πr2, gdzie 'r’ to promień koła, a wartość π to około 3,14 lub 22/7.

Różnice Między Powierzchnią a Obwodem Koła

Oto kilka ważnych różnic między obwodem (obwodem okręgu) i powierzchnią koła.

	Obwód (C)	Powierzchnia (A)
Definicja	Długość granicy koła	Obszar wewnątrz koła
Jednostki	Jednostka długości, na przykład: cm, in, ft, itp.	Mierzona w jednostkach kwadratowych, na przykład: cm2, in2, ft2, itp.
Wzór	2πr	πr2
Związek z promieniem	Obwód jest wprost proporcjonalny do promienia.	Powierzchnia jest wprost proporcjonalna do kwadratu promienia.
Związek z średnicą	Obwód jest wprost proporcjonalny do średnicy.	Powierzchnia jest wprost proporcjonalna do kwadratu średnicy.

Przykład zastosowania w życiu rzeczywistym – Pole koła

Autor: Autorytatywny

CZYTAĆ: Jak się nazywa odwrotność sinusa i cosinusa?

Opis sytuacji

Ron i jego przyjaciele zamówili pizzę w piątkowy wieczór. Każdy kawałek miał długość 15 cm. Oblicz pole zamówionej przez Rona pizzy. Możesz założyć, że długość kawałka pizzy jest równa promieniowi koła.

Rozwiązanie

Pizza ma kształt kołowy. Możemy więc użyć wzoru na pole koła, aby obliczyć pole pizzy. Promień to 15 cm.

Wzór na pole koła:

πr² = 3,14 × 15 × 15 = 706,5

Pole pizzy

Pole pizzy wynosi 706,5 cm².

Jak obliczyć pole koła?

Autor: Autorytatywny

Wzory na pole koła

Pole koła można obliczyć, jeśli znamy promień (r), średnicę (d) lub obwód (C) za pomocą jednego z następujących wzorów:

Pole = π × r²
Pole = (π/4) × d²
Pole = C²/4π

Wzór na pole koła

Wzór na pole koła to π × r². Pole koła to π pomnożone przez kwadrat promienia. Pole koła dla danego promienia „r” wynosi πr². Pole koła dla danej średnicy „d” wynosi πd²/4. π to około 3,14 lub 22/7. Pole koła można także obliczyć za pomocą wzorów: A = (π/4) × d², gdzie „d” to promień oraz A = C²/4π, gdzie „C” to dany obwód.

Obwód i pole koła

Obwód koła jest równy długości jego granicy. Oznacza to, że obwód koła jest równy jego obwodowi. Pole koła wynosi πr², a obwód (obwód koła) wynosi 2πr, gdy promień wynosi „r” jednostek, π to około 3,14 lub 22/7. Obwód i długość promienia koła to ważne parametry do obliczenia jego pola. Dla koła o promieniu „r” i obwodzie „C”:

π = Obwód ÷ Średnica

π = C/2r

Stąd C = 2πr

Dlaczego wzór na pole koła to πr²?

Koło można podzielić na wiele małych sektorów, które można następnie przearanżować, aby utworzyć równoległobok. Kiedy koło jest dzielone na jeszcze mniejsze sektory, stopniowo staje się kształtem prostokąta. Widzimy wtedy wyraźnie, że jednym z boków prostokąta będzie promień, a drugim połowa długości obwodu, czyli π. Jak wiadomo, pole prostokąta to jego długość pomnożona przez szerokość, która wynosi π pomnożone przez „r”. Stąd pole koła wynosi πr².

Wzór na pole koła w kategoriach π

Autor: Autorytatywny

Wartość π i jej właściwości

Wartość liczby pi (π) wynosi około 3,14. Pi to liczba niewymierna. Oznacza to, że jej forma dziesiętna ani nie kończy się (jak w przypadku 1/5 = 0,2), ani nie staje się okresowa (jak w przypadku 1/3 = 0,3333…). Pi to 3,141592653589793238… (tylko do 18 miejsc po przecinku). Stąd wzór na pole koła w kategoriach π wynosi πr² jednostek kwadratowych.

Jak obliczyć obwód i pole koła?

Obwód i pole koła można obliczyć za pomocą następujących wzorów: Obwód = 2πr; Pole = πr². Obwód koła wynosi π razy średnica koła. Pole koła wynosi π razy kwadrat promienia koła.

Jak obliczyć pole koła, znając jego średnicę?

Średnica koła jest dwa razy większa od promienia koła. Stąd wzór na pole koła z wykorzystaniem średnicy to π/4 razy kwadrat średnicy koła. Wzór na pole koła, używając średnicy koła, wynosi π/4 × średnica².

Jak obliczyć pole koła, znając jego obwód?

Pole koła można również obliczyć, znając jego obwód. Promień koła można znaleźć z obwodu koła, a następnie wykorzystać tę wartość do obliczenia pola koła. Załóżmy, że obwód koła wynosi 'C’. Mamy wówczas C = 2πr lub r = C/2π. Teraz, stosując tę wartość 'C’ w wzorze na pole, mamy A = πr² = π × (C/2π)² = C²/4π.

Wzory na pole i obwód koła

Dla koła o promieniu 'r’:

Pole koła = πr²
Obwód koła = 2πr

Pole koła wpisanego w kwadrat o boku 6 m

Autor: Autorytatywny

Opis sytuacji

Jeśli koło jest wpisane w kwadrat, to średnica koła = długość boku kwadratu = 6 m. Wtedy promień koła = 3 m. Stąd pole koła wpisanego w podany kwadrat wynosi 3,14 × 3 × 3 = 28,26 m².