Przed przejściem do znalezienia pochodnej funkcji sec x, przypomnijmy sobie kilka rzeczy. Funkcja sec x jest odwrotnością funkcji cos x, a funkcja tan x jest stosunkiem funkcji sin x i cos x. Definicje te są bardzo ważne do obliczenia pochodnej funkcji sec x względem x. Możemy to zrobić na różne sposoby, takie jak:
poprzez zastosowanie pierwszej zasady rachunku różniczkowego
poprzez zastosowanie reguły ilorazu
poprzez zastosowanie reguły łańcuchowej
Dokonajmy różniczkowania funkcji sec x każdą z tych metod, a następnie rozwiążmy kilka problemów przy użyciu pochodnej funkcji sec x
Czym jest pochodna funkcji sec x?
Pochodna funkcji sec x względem x wynosi sec x · tan x. Innymi słowy, jest to iloczyn funkcji sec x i tan x. Oznaczamy pochodną funkcji sec x względem x jako d/dx(sec x) (lub) (sec x)’. Zatem,
d/dx (sec x) = sec x · tan x (lub)
(sec x)’ = sec x · tan x
Skąd bierze się tan x w pochodnej funkcji sec x?
Będziemy różniczkować funkcję sec x różnymi metodami, takimi jak zasada pierwsza (definicja pochodnej), reguła ilorazu i reguła łańcuchowa w kolejnych sekcjach.
Pochodna funkcji sec x za pomocą pierwszej zasady
Będziemy udowadniać, że pochodna funkcji sec x wynosi sec x · tan x, używając pierwszej zasady (lub) definicji pochodnej. Dla tego załóżmy, że f(x) = sec x.
Dowód:
Z pierwszej zasady wynika, że pochodna funkcji f(x) wynosi
f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)
Ponieważ f(x) = sec x, mamy f(x + h) = sec (x + h).
Podstawiając te wartości do wzoru (1), otrzymujemy
f'(x) = limₕ→₀ [sec (x + h) – sec x]/h
= limₕ→₀ 1/h [1/(cos (x + h) – 1/cos x)]
= limₕ→₀ 1/h [cos x – cos(x + h)] / [cos x cos(x + h)]
Stosując wzory sumy na iloczyn, otrzymujemy cos A – cos B = -2 sin (A+B)/2 sin (A-B)/2. Zatem
f'(x) = 1/cos x limₕ→₀ 1/h [- 2 sin (x + x + h)/2 sin (x – x – h)/2] / [cos(x + h)]
= 1/cos x limₕ→₀ 1/h [- 2 sin (2x + h)/2 sin (- h)/2] / [cos(x + h)]
Mnożąc i dzieląc przez h/2, otrzymujemy
= 1/cos x limₕ→₀ (1/h) (h/2) [- 2 sin (2x + h)/2 sin (- h/2) / (h/2)] / [cos(x + h)]
Gdy h → 0, to h/2 → 0. Wówczas
f'(x) = 1/cos x limₕ/₂→₀ sin (h/2) / (h/2). limₕ→₀ (sin(2x + h)/2)/cos(x + h)
Znamy granicę limₓ→₀ (sin x) / x = 1. Stąd
f'(x) = 1/cos x. 1. sin x/cos x
Wiemy, że 1/cos x = sec x i sin x/cos x = tan x. Zatem
f'(x) = sec x · tan x
Dowód jest zakończony.
Pochodna funkcji sec x za pomocą reguły ilorazu
Udowodnimy, że pochodna funkcji sec x względem x wynosi sec x · tan x, stosując regułę ilorazu. Załóżmy, że f(x) = sec x i można ją zapisać jako f(x) = 1/cos x.
Dowód:
Mamy f(x) = 1/cos x = u/v
Stosując regułę ilorazu, otrzymujemy
f'(x) = (vu’ – uv’) / v²
f'(x) = [cos x d/dx(1) – 1 d/dx(cos x)] / (cos x)²
= [cos x (0) – 1 (-sin x)] / cos²x
= (sin x) / cos²x
= 1/cos x · (sin x)/(cos x)
= sec x · tan x
Dowód jest zakończony.
Pochodna funkcji sec x za pomocą reguły łańcuchowej
Aby udowodnić, że pochodna funkcji sec x wynosi sec x · tan x przy użyciu reguły łańcuchowej, załóżmy, że f(x) = sec x = 1/cos x.
Dowód:
Funkcję f(x) można zapisać jako
f(x) = 1/cos x = (cos x)-1
Zastosowaniem reguły potęgowania i reguły łańcuchowej, otrzymujemy
f'(x) = (-1) (cos x)-2 d/dx(cos x)
Z własności potęg, a-m = 1/am. Wiemy również, że d/dx(cos x) = – sin x. Stąd
f'(x) = -1/cos2x · (- sin x)
= (sin x) / cos2x
= 1/cos x · (sin x)/(cos x)
= sec x · tan x
Dowód jest zakończony.
Jaka jest pochodna funkcji sec x względem x?
Pochodna funkcji sec x względem x jest zapisywana jako d/dx(sec x) i jest równa sec x tan x. Innymi słowy, pochodna funkcji sec x to iloczyn sec x i tan x.
Jak obliczyć pochodną funkcji sec x z zastosowaniem pierwszych zasad?
Pierwsze zasady używa się do obliczenia pochodnej funkcji f(x) za pomocą wzoru f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h. Podstawiając f(x) = sec x i f(x + h) = sec (x + h) w tym wzorze i uprościć go, możemy obliczyć pochodną funkcji sec x, która wynosi sec x tan x. Więcej informacji na ten temat znajdziesz tutaj.
Jaka jest pochodna funkcji sec² x?
Funkcję sec kwadrat x można zapisać jako f(x) = (sec x)². Jego pochodna wynosi, zgodnie z regułą potęgowania i regułą łańcuchową, f'(x) = 2 sec x d/dx(sec x) = 2 sec x (sec x tan x) = 2 sec²x tan x.
Czy pochodna funkcji sec-1x jest taka sama jak pochodna funkcji sec x?
Nie, pochodna funkcji sec x NIE jest taka sama jak pochodna funkcji sec-1x. Pochodna funkcji sec x wynosi sec x tan x, podczas gdy pochodna funkcji sec-1x wynosi 1/(x √x² – 1).
Jaka jest pochodna funkcji sec x²?
Wiemy, że pochodna funkcji sec w wynosi sec w tan w. Wykorzystując również regułę łańcuchową, d/dx (sec x²) = sec x² tan x² d/dx(x²) = 2x sec x² tan x².
Jaka jest pochodna funkcji sec x względem tan x?
Aby obliczyć d(sec x) / d(tan x), musimy znaleźć wartość du/dv, gdzie sec x = u i tan x = v. Wtedy
du/dv = (du/dx) / (dv/dx)
= (sec x tan x) / (sec²x)
= (tan x) / (sec x)
= [sin x/ cos x] / [1/cos x]
= sin x.
Zatem pochodna funkcji sec x względem tan x wynosi sin x.
Jak udowodnić, że pochodna funkcji sec x wynosi sec x tan x?
Można udowodnić, że pochodna funkcji sec x wynosi sec x tan x za pomoc
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative
