Pochodna funkcji cos 2x wynosi -2 sin 2x, co jest procesem różniczkowania funkcji trygonometrycznej cos 2x względem kąta x. Daje to szybkość zmiany cos 2x w stosunku do kąta x. Pochodna cos 2x może być uzyskana za pomocą różnych metod. Matematycznie, pochodna cos 2x jest zapisana jako d(cos 2x)/dx = (cos 2x)’ = -2sin 2x.

Pochodna z cos 2x - Formula, Dowód, Przykłady

W niniejszym artykule udowodnimy pochodną cos 2x, używając różnych metod, w tym pierwszej zasady różniczkowania i zasady łańcuchowej. Porównamy także wykresy funkcji trygonometrycznej cos 2x i pochodnej cos 2x wraz z kilkoma przykładami.

Co to jest pochodna cos 2x?

Pochodna funkcji cos 2x to ujemna wartość dwukrotności funkcji trygonometrycznej sin 2x, czyli -2 sin 2x. Pochodna cos 2x jest oznaczana jako d(cos 2x)/dx lub (cos 2x)’. Do wyznaczenia pochodnej cos 2x używane są różne wzory i tożsamości trygonometryczne, a także reguły różniczkowania. Może być obliczona przy użyciu definicji granicy i reguły łańcuchowej. Ponieważ pochodna cos 2x wynosi -2 sin 2x, dlatego wykres pochodnej cos 2x będzie wykresem ujemnym dwukrotności sin 2x.

Wzór na pochodną cos 2x

Teraz zapiszemy pochodną cos 2x matematycznie. Wzór na pochodną cos 2x to:

d(cos 2x)/dx = -2 sin 2x

CZYTAĆ: Kształt pięciokąta - Definicja, Właściwości | Boki pięciokąta

(cos 2x)’ = -2 sin 2x

Pochodna cos 2x przy użyciu reguły łańcuchowej

Metoda reguły łańcuchowej do wyznaczania pochodnych funkcji to: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) . g'(x). Teraz, aby obliczyć pochodną cos 2x przy użyciu reguły łańcuchowej, użyjemy pewnych właściwości i tożsamości algebraicznych i trygonometrycznych, takich jak:

d(cos x)/dx = -sin x

d(ax)/dx = a, gdzie a jest liczbą rzeczywistą

Możemy zapisać pochodną cos 2x względem x jako iloczyn pochodnej cos 2x względem 2x i pochodnej 2x względem x, czyli d(cos 2x)/dx = d(cos 2x)/d(2x) × d(2x)/dx. Teraz, korzystając z powyższych wzorów i reguły łańcuchowej, otrzymujemy:

d(cos 2x)/dx = d(cos 2x)/d(2x) × d(2x)/dx

= -sin 2x × 2

= -2 sin 2x

Stąd otrzymaliśmy pochodną cos 2x jako -2 sin 2x przy użyciu reguły łańcuchowej.

Pochodna cos 2x przy użyciu pierwszej zasady różniczkowania

Teraz udowodnimy, że pochodna cos 2x wynosi -2 sin 2x, używając definicji granic, czyli pierwszej zasady różniczkowania. Aby znaleźć pochodną cos 2x, bierzemy wartość granicy, gdy x dąży do x + h. Aby uprościć to, ustawiamy x = x + h, a wartość granicy chcemy wziąć, gdy h dąży do 0. Będziemy korzystać z pewnych wzorów różniczkowania i trygonometrycznych, aby obliczyć pochodną cos 2x. Wzory to:

cos A – cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A – B)/2]

\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

Korzystając z powyższych wzorów, mamy

\(\begin{align} \frac{\mathrm{d} \cos 2x}{\mathrm{d} x}&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\cos 2(x+h)-\cos (2x)}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow 0}-2\dfrac{\sin (\frac{2(x+h)+2x}{2})\sin (\frac{2(x+h)-2x}{2})}{h}\\&=\lim_{h\rightarrow 0}-2\dfrac{\sin (2x+h)\sin (h)}{h}\\&=-2\lim_{h\rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\sin h}{h}\\&=-2 \sin 2x \times 1\\&=-2 \sin 2x\end{align}\)

Stąd otrzymaliśmy pochodną cos 2x przy użyciu pierwszej zasady różniczkowania.

Wykres pochodnej cos 2x

Wiemy, że pochodna cos 2x jest ujemną wartością dwukrotności funkcji trygonometrycznej sin 2x, co oznacza, że wykres pochodnej cos 2x jest podobny do wykresu funkcji trygonometrycznej sin 2x z wartościami ujemnymi tam, gdzie sin 2x ma wartości dodatnie. Najpierw zobaczmy, jak wyglądają wykresy funkcji cos 2x i pochodnej cos 2x. Ponieważ sin 2x jest funkcją okresową, wykres różniczkowania cos 2x jest również okresowy, a jego okres wynosi π.

CZYTAĆ: Notacja przedziałowa - Definicja, Przykłady, Typy Przedziałów

Anty-pochodna cos 2x

Jak wskazuje nazwa, anty-pochodna to odwrotny proces różniczkowania. Anty-pochodną cos 2x jest niczym innym jak całka z cos 2x. Wiemy, że całka z cos x to sin x + C. Korzystając z wzoru na całkowanie ∫cos(ax + b) = (1/a) sin(ax + b) + C, anty-pochodną cos 2x jest (1/2) sin 2x + C, gdzie C to stała całkowania. Stąd otrzymaliśmy anty-pochodną cos 2x jako (1/2) sin 2x + C.

∫cos 2x = (1/2) sin 2x + C

Ważne uwagi dotyczące pochodnej cos 2x

Pochodna cos 2x NIE jest równa -sin 2x. Korzystamy z reguły łańcuchowej do wyznaczenia pochodnej cos 2x.
Pochodną cos 2x można również obliczyć, korzystając ze wzoru na cos 2x.
Pochodne cos 2x i cos-12x NIE są takie same.