Pochodna tangensa x wynosi kwadrat sekansu x. Przed udowodnieniem tego faktu, przypomnijmy sobie kilka faktów dotyczących tangensa x. Tangens x w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej dla kąta x, a zatem może być zapisany jako (sin x)/(cos x). Wykorzystujemy to do różniczkowania tangensa x.
Czym jest pochodna tangensa x?
Pochodna tangensa x względem x oznaczana jest przez d/dx (tan x) (lub) (tan x) 'i jej wartość jest równa sec2x. Tangens x jest różniczkowalny w swojej dziedzinie. Aby udowodnić różniczkowanie tangensa x jako sec2x, używamy istniejących tożsamości trygonometrycznych i istniejących reguł różniczkowania. Możemy to udowodnić na następujące sposoby:
Udowodnienie przez pierwszą zasadę
Udowodnienie przez regułę łańcuchową
Udowodnienie przez regułę ilorazu

Wzór na pochodną tangensa x
Wzór na różniczkowanie tangensa x to:
d/dx (tan x) = sec2x (lub) (tan x) ’ = sec2x
Teraz udowodnimy to w różnych metodach w następnych sekcjach.
Udowodnienie pochodnej tangensa x przez pierwszą zasadę
Aby znaleźć pochodną tangensa x, przyjmujemy, że f(x) = tan x. Następnie, przez pierwszą zasadę, pochodna funkcji f(x) jest dana przez następujący limit:
f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)
Ponieważ f(x) = tan x, mamy f(x + h) = tan (x + h).
Podstawiając to do wzoru (1), otrzymujemy:
f'(x) = limₕ→₀ [tan(x + h) – tan x] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h) / cos (x + h)] – [sin x / cos x] ] / h
= limₕ→₀ [ [sin (x + h ) cos x – cos (x + h) sin x] / [cos x · cos(x + h)] ]/ h
Z wykorzystaniem wzoru na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych, sin A cos B – cos A sin B = sin (A – B).
f'(x) = limₕ→₀ [ sin (x + h – x) ] / [ h cos x · cos(x + h)]
= limₕ→₀ [ sin h ] / [ h cos x · cos(x + h)]
= limₕ→₀ (sin h)/ h · limₕ→₀ 1 / [cos x · cos(x + h)]
Z wykorzystaniem wzorów granicznych, limₕ→₀ (sin h)/ h = 1.
f'(x) = 1 [ 1 / (cos x · cos(x + 0))] = 1/cos2x
Wiemy, że odwrotność cosinusa to secans. Zatem:
f'(x) = sec2x.
Udowodnienie pochodnej tangensa x przez regułę łańcuchową
Udowodnimy wzór na różniczkowanie tangensa x przez regułę łańcuchową. W tym celu zauważmy, że możemy zapisać y = tan x jako y = 1 / (cot x) = (cot x)-1. Teraz, z wykorzystaniem reguły potęgowania i reguły łańcuchowej, mamy:
y’ = (-1) (cot x)-2 · d/dx (cot x)
Mamy d/dx (cot x) = -csc2x. Ponadto, z wykorzystaniem własności potęg, a-m = 1/am.
y’ = -1/cot2x · (-csc2x)
y’ = tan2x · csc2x
Mamy teraz tan x = (sin x)/(cos x) i csc x = 1/(sin x). Więc:
y’ = (sin2x)/(cos2x) · (1/sin2x)
= 1/cos2x
Mamy 1/cos x = sec x. Zatem:
y’ = sec2x
Udowodnione.
Udowodnienie pochodnej tangensa x przez regułę ilorazu
Możemy zastosować regułę ilorazu, aby wyznaczyć wzór na pochodną tangensa x. Musimy zatem zapisać tangens x jako ułamek. Wiemy, że tangens x = (sin x)/(cos x). Zatem przyjmujemy, że y = (sin x)/(cos x). Następnie, z wykorzystaniem reguły ilorazu, mamy:
y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x)
= [cos x · cos x – sin x (-sin x)] / (cos2x)
= [cos2x + sin2x] / (cos2x)
Z wykorzystaniem jednego z tożsamości trygonometrycznych Pitagorasa, cos2x + sin2x = 1. Więc:
y’ = 1 / (cos2x) = sec2x
Udowodnione. To udowodnienie jest najłatwiejsze w porównaniu do innych metod udowadniania pochodnej tangensa x.
Powszechne nieporozumienia związane z pochodną tangensa x:
Oto kilka wyjaśnień dotyczących powszechnych nieporozumień związanych z różniczkowaniem tangensa x.
- d/dx (tan x) NIE jest równe d/dx(sin x) / d/dx (cos x). Zamiast tego musimy użyć reguły ilorazu, aby znaleźć pochodną tangensa x (poprzez zapisanie go jako (sin x)/(cos x)).
- d/dx (tan x) NIE jest równy cot x. cot x jest po prostu odwrotnością tangensa x.
- Pochodne tangensa x i tangens odwrotny od tangensa x (tan-1x) NIE są takie same.
- d/dx(tan x) = sec2x
- d/dx(tan-1x) = 1/(1 + x2)
Jaka jest pochodna tangensa x względem x?
Pochodna tangensa x względem x to kwadrat secans x. Innymi słowy, d/dx(tan x) = sec2x. Można to również zapisać jako (tan x)’ = sec2x.
Jak znaleźć wzór na pochodną tangensa x?
Przyjmijmy y = tan x. Mamy tangens x = sin x/cos x. Z wykorzystaniem reguły ilorazu, y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x) = [cos2x + sin2x] / (cos2x) = 1/(cos2x) = sec2x.
Jaka jest pochodna tangensa x²?
Wiemy, że d/dx(tan x) = sec2x. Zatem d/dx(tan x²) = sec2x² d/dx(x²) = 2xsec2x² (z wykorzystaniem reguły łańcuchowej).
Jak różniczkować tangens x w zależności od cosinus x?
Wiemy, że pochodna tangensa x wynosi sec2x. Ponadto, sec x = 1/(cos x). Zatem d/d(tan x) = 1/cos2x.
Jaka jest pochodna tangensa x-1?
Z wykorzystaniem pochodnej tangensa x i reguły łańcuchowej, d/dx(tan x-1) = sec2x-1 d/dx(x-1) = sec2x-1 (-1 x-2) = (-sec2x-1)/(x2).
Czy pochodna tangensa x jest równa pochodnej tangensa odwrotnego tangensa x?
Nie, pochodne tangensa x i tangensa odwrotnego tangensa x (tan-1x) są różne. Pochodna tangensa x wynosi sec2x, podczas gdy pochodna tang⁻¹x wynosi 1/(1 + x2).
Jaka jest różnica między pochodną tangensa x a antypochodną tangensa x?
Pochodna tangensa x wynosi sec2x. Antypochodna tangensa x to nic innego jak całka z tangensa x, a ∫ tan x dx = ln |sec x| + C.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions