Pochodna tangensa x wynosi kwadrat sekansu x. Przed udowodnieniem tego faktu, przypomnijmy sobie kilka faktów dotyczących tangensa x. Tangens x w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej dla kąta x, a zatem może być zapisany jako (sin x)/(cos x). Wykorzystujemy to do różniczkowania tangensa x.

Czym jest pochodna tangensa x?

Pochodna tangensa x względem x oznaczana jest przez d/dx (tan x) (lub) (tan x) 'i jej wartość jest równa sec2x. Tangens x jest różniczkowalny w swojej dziedzinie. Aby udowodnić różniczkowanie tangensa x jako sec2x, używamy istniejących tożsamości trygonometrycznych i istniejących reguł różniczkowania. Możemy to udowodnić na następujące sposoby:

Udowodnienie przez pierwszą zasadę

Udowodnienie przez regułę łańcuchową

Udowodnienie przez regułę ilorazu

Pochodna funkcji tangens x - Wzór, Dowód, Przykłady

Wzór na pochodną tangensa x

Wzór na różniczkowanie tangensa x to:

d/dx (tan x) = sec2x (lub) (tan x) ’ = sec2x

Teraz udowodnimy to w różnych metodach w następnych sekcjach.

Udowodnienie pochodnej tangensa x przez pierwszą zasadę

Aby znaleźć pochodną tangensa x, przyjmujemy, że f(x) = tan x. Następnie, przez pierwszą zasadę, pochodna funkcji f(x) jest dana przez następujący limit:

f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h … (1)

Ponieważ f(x) = tan x, mamy f(x + h) = tan (x + h).

CZYTAĆ: Reguła Simpsona - Wzór | Reguła Simpsona 1/3

Podstawiając to do wzoru (1), otrzymujemy:

f'(x) = limₕ→₀ [tan(x + h) – tan x] / h

= limₕ→₀ [ [sin (x + h) / cos (x + h)] – [sin x / cos x] ] / h

= limₕ→₀ [ [sin (x + h ) cos x – cos (x + h) sin x] / [cos x · cos(x + h)] ]/ h

Z wykorzystaniem wzoru na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych, sin A cos B – cos A sin B = sin (A – B).

f'(x) = limₕ→₀ [ sin (x + h – x) ] / [ h cos x · cos(x + h)]

= limₕ→₀ [ sin h ] / [ h cos x · cos(x + h)]

= limₕ→₀ (sin h)/ h · limₕ→₀ 1 / [cos x · cos(x + h)]

Z wykorzystaniem wzorów granicznych, limₕ→₀ (sin h)/ h = 1.

f'(x) = 1 [ 1 / (cos x · cos(x + 0))] = 1/cos2x

Wiemy, że odwrotność cosinusa to secans. Zatem:

f'(x) = sec2x.

Udowodnienie pochodnej tangensa x przez regułę łańcuchową

Udowodnimy wzór na różniczkowanie tangensa x przez regułę łańcuchową. W tym celu zauważmy, że możemy zapisać y = tan x jako y = 1 / (cot x) = (cot x)-1. Teraz, z wykorzystaniem reguły potęgowania i reguły łańcuchowej, mamy:

y’ = (-1) (cot x)-2 · d/dx (cot x)

Mamy d/dx (cot x) = -csc2x. Ponadto, z wykorzystaniem własności potęg, a-m = 1/am.

y’ = -1/cot2x · (-csc2x)

y’ = tan2x · csc2x

Mamy teraz tan x = (sin x)/(cos x) i csc x = 1/(sin x). Więc:

y’ = (sin2x)/(cos2x) · (1/sin2x)

= 1/cos2x

Mamy 1/cos x = sec x. Zatem:

y’ = sec2x

Udowodnione.

Udowodnienie pochodnej tangensa x przez regułę ilorazu

Możemy zastosować regułę ilorazu, aby wyznaczyć wzór na pochodną tangensa x. Musimy zatem zapisać tangens x jako ułamek. Wiemy, że tangens x = (sin x)/(cos x). Zatem przyjmujemy, że y = (sin x)/(cos x). Następnie, z wykorzystaniem reguły ilorazu, mamy:

y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x)

= [cos x · cos x – sin x (-sin x)] / (cos2x)

= [cos2x + sin2x] / (cos2x)

Z wykorzystaniem jednego z tożsamości trygonometrycznych Pitagorasa, cos2x + sin2x = 1. Więc:

CZYTAĆ: Notacja przedziałowa - Definicja, Przykłady, Typy Przedziałów

y’ = 1 / (cos2x) = sec2x

Udowodnione. To udowodnienie jest najłatwiejsze w porównaniu do innych metod udowadniania pochodnej tangensa x.

Powszechne nieporozumienia związane z pochodną tangensa x:

Oto kilka wyjaśnień dotyczących powszechnych nieporozumień związanych z różniczkowaniem tangensa x.

d/dx (tan x) NIE jest równe d/dx(sin x) / d/dx (cos x). Zamiast tego musimy użyć reguły ilorazu, aby znaleźć pochodną tangensa x (poprzez zapisanie go jako (sin x)/(cos x)).
d/dx (tan x) NIE jest równy cot x. cot x jest po prostu odwrotnością tangensa x.
Pochodne tangensa x i tangens odwrotny od tangensa x (tan-1x) NIE są takie same.
d/dx(tan x) = sec2x
d/dx(tan-1x) = 1/(1 + x2)

Jaka jest pochodna tangensa x względem x?

Pochodna tangensa x względem x to kwadrat secans x. Innymi słowy, d/dx(tan x) = sec2x. Można to również zapisać jako (tan x)’ = sec2x.

Jak znaleźć wzór na pochodną tangensa x?

Przyjmijmy y = tan x. Mamy tangens x = sin x/cos x. Z wykorzystaniem reguły ilorazu, y’ = [ cos x · d/dx (sin x) – sin x · d/dx (cos x)] / (cos2x) = [cos2x + sin2x] / (cos2x) = 1/(cos2x) = sec2x.

Jaka jest pochodna tangensa x²?

Wiemy, że d/dx(tan x) = sec2x. Zatem d/dx(tan x²) = sec2x² d/dx(x²) = 2xsec2x² (z wykorzystaniem reguły łańcuchowej).

Jak różniczkować tangens x w zależności od cosinus x?

Wiemy, że pochodna tangensa x wynosi sec2x. Ponadto, sec x = 1/(cos x). Zatem d/d(tan x) = 1/cos2x.

Jaka jest pochodna tangensa x-1?

Z wykorzystaniem pochodnej tangensa x i reguły łańcuchowej, d/dx(tan x-1) = sec2x-1 d/dx(x-1) = sec2x-1 (-1 x-2) = (-sec2x-1)/(x2).

Czy pochodna tangensa x jest równa pochodnej tangensa odwrotnego tangensa x?

Nie, pochodne tangensa x i tangensa odwrotnego tangensa x (tan-1x) są różne. Pochodna tangensa x wynosi sec2x, podczas gdy pochodna tang⁻¹x wynosi 1/(1 + x2).