Przed przejściem do wyjaśnienia, czym jest pochodna funkcji arcus tangens, przyjrzyjmy się kilku faktom na temat samej funkcji. Arcus tangens (lub tan^-1) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens. Innymi słowy, jeśli y = tan^-1x, to tan y = x. Wiemy również, że jeśli f i f^-1 są ze sobą funkcjami odwrotnymi, to f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x. Z tego wynika, że tan(arcus tangens x) = arcus tangens(tan x) = x w odpowiednich dziedzinach. Wykorzystujemy te fakty do obliczenia pochodnej funkcji arcus tangens x.

Czym jest pochodna funkcji arcus tangens?

Wzór na pochodną funkcji arctan x

Pochodna funkcji arcus tangens x jest reprezentowana przez d/dx(arctan x) (lub) d/dx(tan^-1x) (lub) (arctan x)’ (lub) (tan^-1x)’. Jej wartość wynosi 1/(1+x^2). W kolejnych sekcjach przejdziemy do udowodnienia tego wzoru w dwóch metodach:

Użycie reguły łańcuchowej
Użycie pierwszych zasad

pochodna funkcji arctan wzór dowód przykłady

Wzór na pochodną funkcji arctan x

Wzór na pochodną funkcji arctan to:

d/dx(arctan x) = 1/(1+x^2) (LUB) d/dx(tan^-1x) = 1/(1+x^2)

Teraz udowodnimy ten wzór w kolejnych sekcjach.

Udowodnienie wzoru na pochodną funkcji arctan x przy użyciu reguły łańcuchowej

Możemy obliczyć pochodną funkcji arctan przy użyciu reguły łańcuchowej. W tym celu przyjmujemy, że y = arctan x. Biorąc tangens obu stron, otrzymujemy:

tan y = tan (arctan x)

CZYTAĆ: Notacja przedziałowa - Definicja, Przykłady, Typy Przedziałów

Z definicji funkcji odwrotnej, tangens (arctan x) = x. Stąd powyższe równanie staje się:

tan y = x … (1)

Różniczkując obie strony względem x, otrzymujemy:

d/dx (tan y) = d/dx(x)

Mamy d/dx (tan x) = sec^2x. Ponadto, z reguły łańcuchowej:

sec^2y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec^2y

Używając jednego z tożsamości trygonometrycznych, sec^2y = 1 + tan^2y.

dy/dx = 1/(1 + tan^2y)

dy/dx = 1/(1 + x^2) (z równania (1))

Podstawiając y = arctan x, otrzymujemy:

d/dx (arctan x) = 1/(1 + x^2)

Zatem wzór na pochodną funkcji arctan x został udowodniony.

Udowodnienie wzoru na pochodną funkcji arctan x przy użyciu pierwszych zasad

Wzór na pochodną funkcji f(x) według pierwszych zasad jest określony przez granicę, f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) – f(x)] / h. Aby obliczyć pochodną funkcji arcus tangens x, zakładamy, że f(x) = arctan x. Wówczas f(x + h) = arctan (x + h). Podstawiając te wartości w powyższą granicę, otrzymujemy:

f'(x) = limₕ→₀ [arctan (x + h) – arctan x] / h

Z wykorzystaniem wzorów trygonometrycznych dla funkcji odwrotnej, mamy arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]. Stosując to, otrzymujemy:

f'(x) = limₕ→₀ [arctan[(x + h – x)/(1 + (x + h) x)] ] / h

= limₕ→₀ (1/h) [arctan [ h / (1 + x^2 + hx) ] ]

Mając arctan x = x – x^3/3 + x^5/5 – …, otrzymujemy:

f'(x) = limₕ→₀ (1/h) [ h / (1 + x^2 + hx) – [h^3 / [3(1 + x^2 + hx)^3] + [h^5 / [5(1 + x^2 + hx)^5] – ….]

= limₕ→₀ (1/h) [ h / (1 + x^2 + hx) – [h^3 / [3(1 + x^2 + hx)^3] + [h^5 / [5(1 + x^2 + hx)^5] – ….]

Rozkładając (1/h), otrzymujemy:

f'(x) = limₕ→₀ [ 1 / (1 + x^2 + hx) – [h^2 / [3(1 + x^2 + hx)^3] + [h^4 / [5(1 + x^2 + hx)^5] – ….]

Zastosowawszy granicę h → 0, otrzymujemy:

f'(x) = 1 / (1 + x^2 + 0) – 0 + 0 – …

f'(x) = 1/(1 + x^2)

Zatem wzór na pochodną funkcji arctan x został udowodniony przy użyciu pierwszych zasad.

CZYTAĆ: Cos 3pi/4 - Oblicz wartość cos 3pi/4

Jak udowodnić wzór na pochodną funkcji arctan x?

Aby obliczyć pochodną funkcji arctan, zakładamy, że y = arctan x, co oznacza, że tan y = x. Różniczkując obie strony względem y, otrzymujemy sec^2y = dx/dy. Biorąc odwrotność po obu stronach, dy/dx = 1/(sec^2y) = 1/(1+tan^2y) = 1/(1+x^2).

Jaka jest pochodna funkcji arctan x/2?

Wzór na pochodną funkcji arctan x wynosi 1/(1+x^2). Wykorzystując to i regułę łańcuchową, otrzymujemy d/dx(arctan x/2) = 1/(1+(x/2)^2) d/dx (x/2) = 1/(1 + (x^2/4)) · (1/2) = [4/(4 + x^2)] · (1/2) = 2/(4 + x^2).

Jaka jest pochodna funkcji arctan √x?

Wiemy, że wzór na pochodną funkcji arctan x wynosi 1/(1+x^2). Wykorzystując ten wzór i regułę łańcuchową, otrzymujemy d/dx(arctan √x) = 1/(1+(√x)^2) d/dx (√x) = 1/(1 + x) · (1/2√x) = 1/(2√x(1+x)).