Pierwiastek kwadratowy liczby to operacja odwrotna do podnoszenia liczby do kwadratu. Kwadratem liczby jest wartość, którą otrzymujemy, gdy mnożymy daną liczbę przez siebie, natomiast pierwiastek kwadratowy liczby jest uzyskiwany poprzez znalezienie liczby, która podniesiona do kwadratu daje oryginalną wartość.

Jeśli 'a’ jest pierwiastkiem kwadratowym z 'b’, oznacza to, że a × a = b. Kwadrat każdej liczby zawsze jest liczbą dodatnią, więc każda liczba ma dwa pierwiastki kwadratowe, jeden o wartości dodatniej, a drugi o wartości ujemnej. Na przykład zarówno 2, jak i -2 są pierwiastkami kwadratowymi liczby 4. Jednak w większości miejsc zapisuje się tylko wartość dodatnią jako pierwiastek kwadratowy liczby.

Czym jest pierwiastek kwadratowy?

Pierwiastek Kwadratowy - Formula, Przykłady — Pierwiastek Kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy liczby to czynnik tej liczby, który po pomnożeniu przez siebie daje oryginalną wartość. Kwadraty i pierwiastki kwadratowe są specjalnymi wykładnikami. Weźmy na przykład liczbę 9. Kiedy 3 jest mnożone przez siebie, daje jako wynik 9. Można to zapisać jako 3 × 3 lub 32. Tutaj wykładnik wynosi 2, a nazywamy to kwadratem. Gdy wykładnik wynosi 1/2, odnosi się to do pierwiastka kwadratowego liczby. Na przykład, √n = n1/2, gdzie n jest liczbą dodatnią.

Definicja pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek kwadratowy liczby to wartość o wykładniku 1/2 tej liczby. Innymi słowy, jest to liczba, której mnożenie przez siebie daje oryginalną wartość. Jest reprezentowany za pomocą symbolu '√’. Symbol pierwiastka kwadratowego nazywa się radykałem, a liczba pod symbolem pierwiastka kwadratowego nazywana jest radykanem.

Jak znaleźć pierwiastek kwadratowy?

Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby, wystarczy znaleźć tę liczbę, która po podniesieniu do kwadratu da oryginalną wartość. Bardzo łatwo znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby, która jest doskonałym kwadratem. Doskonałe kwadraty to te liczby dodatnie, które można wyrazić jako iloczyn liczby przez siebie. Innymi słowy, doskonałe kwadraty to liczby wyrażone jako wartość o wykładniku 2 dowolnej liczby całkowitej. Możemy użyć czterech metod do znalezienia pierwiastka kwadratowego liczb, a te metody to:

Metoda powtarzającego się odejmowania

To bardzo prosty sposób. Odejmujemy od liczby kolejne liczby nieparzyste, aż dojdziemy do 0. Liczba odejmowań to pierwiastek kwadratowy danej liczby. Ta metoda działa tylko dla doskonałych kwadratów. Znajdźmy pierwiastek kwadratowy liczby 16, korzystając z tej metody.

16 – 1 = 15

15 – 3 = 12

12 – 5 = 7

7 – 7 = 0

Można zauważyć, że odjęliśmy 4 razy. Dlatego √16 = 4.

Metoda rozkładu na czynniki pierwsze

To kolejna prosta metoda, która działa tylko dla doskonałych kwadratów. Musimy rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze i wybrać dwa równe czynniki, a następnie pomnożyć je ze sobą, aby otrzymać pierwiastek kwadratowy. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 49 to 7, ponieważ 49 można rozłożyć na 7 × 7.

Metoda szacowania

Ta metoda jest wygodna do szacowania pierwiastków kwadratowych. Szacujemy pierwiastek kwadratowy z danej liczby i sprawdzamy, czy wartość szacunkowa jest za duża lub za mała. Następnie korygujemy wartość i powtarzamy proces, aż uzyskamy wartość dostatecznie dokładną.

Metoda długiego dzielenia

To najbardziej wszechstronna metoda, ponieważ może być stosowana dla każdej liczby, niezależnie od tego, czy jest doskonałym kwadratem, czy nie. To bardziej skomplikowana metoda, w której korzystamy z długiego dzielenia, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy liczby.

CZYTAĆ: Jak grać w pokera

Pierwiastek kwadratowy metodą rozkładu na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze liczby oznacza przedstawienie tej liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy danej liczby za pomocą tej metody, należy postępować zgodnie z poniższymi krokami:

Krok 1:

Podziel daną liczbę na czynniki pierwsze.

Krok 2:

Utwórz pary czynników tak, aby oba czynniki w każdej parze były równe.

Krok 3:

Wybierz jeden czynnik z pary.

Krok 4:

Znajdź iloczyn czynników uzyskanych poprzez wybranie jednego czynnika z każdej pary.

Krok 5:

Ten iloczyn jest pierwiastkiem kwadratowym danej liczby.

Znajdźmy pierwiastek kwadratowy z liczby 144 za pomocą tej metody. Ta metoda działa tylko dla doskonałych kwadratów.

Pierwiastek kwadratowy metodą szacowania

Szacowanie i przybliżanie odnosi się do rozsądnego zgadnięcia rzeczywistej wartości, aby ułatwić obliczenia i sprawić, że są bardziej realistyczne. Ta metoda pomaga w szacowaniu i przybliżaniu pierwiastka kwadratowego danej liczby. Użyjmy tej metody, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z 15. Znajdź najbliższą doskonałą kwadratową liczbę do 15. Liczby 9 i 16 są najbliższymi doskonałymi kwadratami do 15. Wiemy, że √16 = 4 i √9 = 3. Oznacza to, że √15 znajduje się między 3 i 4. Teraz musimy sprawdzić, czy √15 jest bliżej do 3 czy 4. Rozważmy 3,5 i 4. Ponieważ 3,52 = 12,25 i 42 = 16. Zatem √15 znajduje się między 3,5 i 4 i jest bliżej do 4.

Znajdźmy kwadraty 3,8 i 3,9. Ponieważ 3,82 = 14,44 i 3,92 = 15,21. To oznacza, że √15 znajduje się między 3,8 i 3,9. Możemy powtórzyć proces i sprawdzić między 3,85 a 3,9. Możemy zauważyć, że √15 = 3,872.

To bardzo długi proces i czasochłonny

Obliczanie pierwiastka kwadratowego metodą długiego dzielenia

Długie dzielenie to metoda dzielenia dużych liczb na etapy lub części, dzieląc problem dzielenia na sekwencję łatwiejszych kroków. Za pomocą tej metody możemy znaleźć dokładny pierwiastek kwadratowy każdej danej liczby. Zrozumiejmy proces znajdowania pierwiastka kwadratowego za pomocą metody długiego dzielenia na przykładzie. Znajdźmy pierwiastek kwadratowy z liczby 180.

Krok 1:

Umieść kreskę nad każdą parą cyfr liczby, zaczynając od cyfr jedności (najbardziej z prawej strony). Będziemy mieli dwie pary, czyli 1 i 80.

Krok 2:

Dziel najbardziej z lewej liczby przez największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy liczbie w najbardziej lewej parze.

Krok 3:

Przenieś liczbę pod następną kreską po prawej stronie reszty. Dodaj ostatnią cyfrę ilorazu do dzielnika. Po prawej stronie otrzymanej sumy znajdź odpowiednią liczbę, która wraz z wynikiem sumy tworzy nowy dzielnik dla nowego dzielnika, który zostanie przeniesiony w dół.

Krok 4:

Nowa liczba w ilorazie będzie miała tę samą liczbę, co wybrana w dzielniku. Warunek jest taki sam – jako mniejszy lub równy dzielnikowi.

Krok 5:

Teraz będziemy kontynuować ten proces dalej, używając kropki dziesiętnej i dodając zera w parach do reszty.

Krok 6:

Iloraz, który otrzymaliśmy, będzie pierwiastkiem kwadratowym liczby. Tutaj pierwiastek kwadratowy z 180 wynosi około 13,4, a kolejne cyfry po przecinku można uzyskać, powtarzając ten sam proces.

Tabela pierwiastków kwadratowych

Tabela pierwiastków kwadratowych składa się z liczb i ich pierwiastków kwadratowych. Jest to przydatne narzędzie do obliczania kwadratów liczb. Oto lista pierwiastków kwadratowych liczb kwadratowych oraz niektórych liczb niekwadratowych od 1 do 10.

Liczba	Pierwiastek Kwadratowy
1	1
2	1,414
3	1,732
4	2
5	2,236
6	2,449
7	2,646
8	2,828
9	3
10	3,162

Liczby, które nie są kwadratami liczb całkowitych, są liczbami niewymiernymi.

Wzór na pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby ma wykładnik 1/2. Wzór na pierwiastek kwadratowy jest używany do obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Znamy wzór wykładnika: (\sqrt[\text{n}]{x}) = x1/n. Gdy n = 2, nazywamy to pierwiastkiem kwadratowym. Możemy użyć dowolnej z powyższych metod do znalezienia pierwiastka kwadratowego, takiej jak metoda rozkładu na czynniki pierwsze itp. 91/2 = √9 = √(3×3) = 3. Zatem wzór na zapisanie pierwiastka kwadratowego z liczby to √x= x1/2.

Uproszczanie pierwiastka kwadratowego

Aby uprościć pierwiastek kwadratowy, musimy znaleźć rozkład na czynniki pierwsze danej liczby. Jeśli czynnik nie ma pary, pozostawiamy go pod symbolem pierwiastka kwadratowego, w przeciwnym razie, bierzemy jedną liczbę z pierwiastka kwadratowego z każdej pary. Na przykład: √12 = \(\sqrt{2 \times 2\times3}\) = 2√3. Wynika to z reguły uprośczenia pierwiastka kwadratowego √xy = √(x × y), gdzie x i y są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Dla ułamków istnieje również podobna reguła: √x/√y = √(x/y). Na przykład: √50/√10 = √(50/10)= √5.

Pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej

Pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej nie może być liczbą rzeczywistą, ponieważ kwadrat jest albo liczbą dodatnią, albo zerem. Ale liczby zespolone mają rozwiązania dla pierwiastka kwadratowego liczby ujemnej. Główny pierwiastek kwadratowy liczby -x wynosi: √(-x)= i√x. Tutaj i to pierwiastek kwadratowy z -1.

CZYTAĆ: Konwersja jednostek - Formula, Przykłady

Na przykład: Weźmy liczbę kwadratową jak 16. Teraz zobaczmy pierwiastek kwadratowy z -16. Nie ma rzeczywistego pierwiastka kwadratowego z -16. √(-16)= √16 × √(-1) = 4i (ponieważ √(-1)= i), gdzie 'i’ jest reprezentowany jako pierwiastek kwadratowy z -1. Więc 4i jest pierwiastkiem kwadratowym z -16.

Kwadrat liczby

Każda liczba podniesiona do wykładnika dwa (y2) nazywana jest kwadratem podstawy. Więc 52 lub 25 nazywane są kwadratem 5, podczas gdy 82 lub 64 nazywane są kwadratem 8. Łatwo można znaleźć kwadrat liczby przez pomnożenie liczby dwukrotnie. Na przykład 52 = 5 × 5 = 25, a 82 = 8 × 8 = 64. Gdy znajdujemy kwadrat liczby całkowitej, wynikowa liczba jest liczbą kwadratową. Niektóre z liczb kwadratowych to 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 i tak dalej. Kwadrat liczby jest zawsze liczbą dodatnią.

Jak obliczyć kwadrat liczby?

Metoda obliczania kwadratu liczby

Kwadrat liczby można obliczyć poprzez pomnożenie liczby przez siebie. W przypadku jednocyfrowych liczb możemy skorzystać z tabeli mnożenia, aby znaleźć kwadrat, podczas gdy w przypadku liczb dwucyfrowych lub większych wykonujemy mnożenie liczby przez siebie, aby uzyskać odpowiedź. Na przykład, 9 × 9 = 81, gdzie 81 to kwadrat liczby 9. Podobnie, 3 × 3 = 9, gdzie 9 to kwadrat liczby 3.

Zapis kwadratu liczby

Kwadrat liczby zapisuje się poprzez podniesienie liczby do kwadratu. Na przykład, kwadrat liczby 3 zapisuje się jako 32 i odczytuje jako „trzy do kwadratu”. Poniżej przedstawione są przykłady:

42 = 4 × 4 = 16
(-6)2 = -6 × -6 = 36
(5/3)2 = 5/3 × 5/3 = 25/9

Kwadraty i pierwiastki kwadratowe

Relacja między kwadratami a pierwiastkami kwadratowymi

W matematyce istnieje bardzo silna relacja między kwadratami a pierwiastkami kwadratowymi, ponieważ każdy z nich jest odwrotnością drugiego. Innymi słowy, jeśli x2 = y, to x = √y. Można to prosto zapamiętać w ten sposób:
Gdy „kwadrat” jest usunięty z jednej strony równania, na drugiej stronie otrzymujemy pierwiastek kwadratowy. Na przykład 42 = 16 oznacza, że 4 = √16. To nazywane jest również „pobraniem pierwiastka kwadratowego po obu stronach równania”.
Gdy „pierwiastek kwadratowy” jest usunięty z jednej strony równania, na drugiej stronie otrzymujemy kwadrat. Na przykład √25 = 5 oznacza, że 25 = 52. To nazywane jest również „podniesieniem do kwadratu po obu stronach równania”.
Ta logika pomaga w rozwiązywaniu wielu równań w algebrze.

Przykład zastosowania

Rozważmy następujący przykład:
Zadanie: Rozwiąż równanie √(2x + 3) = 10.
Rozwiązanie:
Podniesienie obu stron równania do kwadratu spowoduje zniesienie pierwiastka kwadratowego po lewej stronie.
2x + 3 = 102
2x + 3 = 100
2x = 97
x = 97/2 = 48,5

Różnice między kwadratami a pierwiastkami kwadratowymi

Oto kilka dodatkowych różnic między kwadratami a pierwiastkami kwadratowymi:

Kwadrat

Kwadrat liczby to wynik mnożenia tej liczby przez samą siebie.
Kwadrat liczby nieujemnej jest zawsze nieujemny.
Kwadrat liczby ujemnej jest zawsze dodatni.

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy liczby to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wynik równy tej liczbie.
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej jest zawsze nieujemny.
Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej jest zawsze urojony.

Kwadraty i pierwiastki kwadratowe

Definicje

Kwadrat liczby to wynik mnożenia tej liczby przez samą siebie.
Pierwiastek kwadratowy to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wynik równy tej liczbie.

Przykłady

72 = 49
√49 = 7

Symbol i wynik

Kwadrat reprezentowany jest przez eksponent (^).
Pierwiastek kwadratowy reprezentowany jest przez symbol (√).
Kwadrat zawsze jest liczbą dodatnią.
Pierwiastek kwadratowy może być liczbą dodatnią lub ujemną.

Domena

Kwadrat jest zdefiniowany dla każdej liczby rzeczywistej.
Pierwiastek kwadratowy jest zdefiniowany tylko dla nieujemnych liczb rzeczywistych.

Odwrotności

Odwrotnością kwadratu jest pierwiastek kwadratowy.
Odwrotnością pierwiastka kwadratowego jest kwadrat.

Pierwiastki kwadratowe z liczb

Matematyka to jedna z wiodących platform nauki matematyki na świecie, oferująca zajęcia LIVE 1-na-1 online z matematyki dla uczniów klas K-12. Nasza misja polega na przekształceniu sposobu nauki matematyki przez pomoc w osiągnięciu doskonałości w szkole i egzaminach konkursowych. Nasi eksperccy nauczyciele prowadzą 2 lub więcej zajęć na żywo w tygodniu, w tempie dostosowanym do indywidualnych potrzeb ucznia.

Czym jest pierwiastek kwadratowy w matematyce?

Pierwiastek kwadratowy to taka liczba, którą pomnożona przez siebie daje wynik równy danej liczbie. Na przykład 2 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby 4, co można zapisać jako √4 = 2. Oznacza to, że gdy 2 jest pomnożone przez siebie, wynikiem jest 4 i można to sprawdzić, wykonując działanie 2 x 2 = 4.

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby?

Obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby, która jest kwadratem liczby całkowitej, jest bardzo łatwe. Na przykład 9 jest kwadratem liczby 3, ponieważ 9 = 3 x 3. Dlatego 3 jest pierwiastkiem kwadratowym z 9 i można to zapisać jako √9 = 3. W przypadku ogólnym pierwiastek kwadratowy można obliczyć przy użyciu jednej z czterech metod podanych poniżej:

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 112

Metoda powtarzających się odejmowań

Metoda ta polega na powtarzającym się odejmowaniu kolejnych nieparzystych liczb począwszy od 1, aż zostanie osiągnięta wartość pierwiastka kwadratowego. Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 16, należy odjąć od 16 kolejno 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13, aż zostanie osiągnięta wartość 4. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w podręcznikach matematyki.

Metoda faktoryzacji

Metoda ta polega na faktoryzacji danej liczby i znalezieniu par liczb, które, gdy zostaną pomnożone, dadzą daną liczbę. Pierwiastkiem kwadratowym z danej liczby jest iloczyn jednego ze składników. Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 25, należy znaleźć liczby, które są mnożone przez siebie, aby dać 25, a są nimi 5 i 5. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w podręcznikach matematyki.

Metoda estymacji i przybliżania

Metoda ta polega na szacowaniu wartości pierwiastka kwadratowego na podstawie znajomości wartości pierwiastków kwadratowych innych liczb i ich odległości od szukanej liczby. Metoda ta jest użyteczna w przypadku obliczania wartości pierwiastków kwadratowych z dużych liczb, których obliczenie metodą powtarzających się odejmowań jest bardzo trudne.

<h3

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby dziesiętnej?

Pierwiastek kwadratowy z liczby dziesiętnej można obliczyć przy użyciu metody szacowania lub metody dzielenia pisemnego. W przypadku liczb dziesiętnych tworzymy pary części całkowitej i części ułamkowej oddzielnie. Następnie przeprowadzamy proces dzielenia pisemnego w taki sam sposób jak w przypadku liczb całkowitych.

Co oznacza symbol pierwiastka kwadratowego?

Symbol używany do oznaczania pierwiastka kwadratowego to tzw. symbol pierwiastka '√’. Terminus umieszczony wewnątrz symbolu nazywa się radikandem.

Jak pomnożyć dwa pierwiastki kwadratowe?

Załóżmy, że mamy dwie liczby a i b. Najpierw znajdziemy pierwiastki kwadratowe z liczb a i b. Następnie, po znalezieniu pierwiastków kwadratowych, pomnożymy wartości pierwiastków kwadratowych. Przyjrzyjmy się temu na praktycznym przykładzie. Na przykład, aby pomnożyć √4 × √16, najpierw obliczamy pierwiastek kwadratowy z 4, czyli 2 (√4 = 2), a następnie pierwiastek kwadratowy z 16, czyli 4 (√16 = 4). Teraz pomnożymy wartości pierwiastków kwadratowych, czyli 2 × 4 = 8. Zamiast tego można zastosować właściwość pierwiastków kwadratowych, √a × √b = √ab.

Jaka jest formuła obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby?

Pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby może być wyrażony wzorem: √y = y½. Innymi słowy, jeśli liczba ma 1/2 jako wykładnik, oznacza to, że musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby.

Czym jest kwadrat i pierwiastek kwadratowy z liczby?

Kwadratem liczby jest iloczyn, który otrzymujemy przez pomnożenie liczby przez samą siebie. Na przykład, 6 x 6 = 36. Tutaj, 36 jest kwadratem liczby 6. Pierwiastkiem kwadratowym z liczby jest taki czynnik liczby, który, gdy jest mnożony przez siebie, daje wynik równy danej liczbie. Teraz, jeśli chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 36, to jest √36, otrzymamy odpowiedź jako √36 = 6. Stąd widzimy, że kwadrat i pierwiastek kwadratowy z liczby są odwrotnymi operacjami względem siebie.

Jakim sposobem obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczb, które nie są kwadratami doskonałymi?

W matematyce liczba, która nie jest kwadratem doskonałym lub niedoskonałym, uważana jest za liczbę, której pierwiastek kwadratowy nie może być znaleziony jako liczba całkowita lub jako ułamek liczb całkowitych. Pierwiastek kwadratowy z liczby, która nie jest kwadratem doskonałym, może być obliczony przy użyciu metody dzielenia pisemnego.

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy przy użyciu kalkulatora?

Aby obliczyć wartość pierwiastka kwadratowego dowolnej liczby przy użyciu kalkulatora, wystarczy wpisać liczbę, dla której chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy, a następnie wprowadzić symbol pierwiastka kwadratowego √ w kalkulatorze. Na przykład, jeśli potrzebujemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 81, należy wpisać 81 w kalkulatorze, a następnie nacisnąć symbol √, aby uzyskać jej pierwiastek kwadratowy. Otrzymamy √81 = 9.

Jakie są zastosowania wzoru pierwiastka kwadratowego?

Istnieje wiele zastosowań wzoru pierwiastka kwadratowego:

Co oznacza kwadrat liczby?

Kwadratem liczby jest iloczyn, który otrzymujemy przez pomnożenie liczby przez samą siebie. Na przykład, 5 × 5 = 25. Tutaj, 25 jest kwadratem liczby 5, a można to również zapisać jako 52 = 25.

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej?

Należy zauważyć, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, lecz liczbą urojoną. Na przykład, √(-4) = √(-1) × √4 = i (2) = 2i, gdzie 'i’ jest znane jako „iota” i i2 = -1 (lub) i = √(-1).