Jednostkowa okrąglica odnosi się do okręgu o promieniu jednostkowym. Okrąg jest zamkniętą figurą geometryczną bez boków ani kątów. Jednostkowa okrąglica posiada wszystkie właściwości okręgu, a jej równanie wynika również z równania okręgu. Jednostkowa okrąglica jest przydatna do wyznaczania wartości standardowych kątów wszystkich funkcji trygonometrycznych.
Tutaj dowiemy się, jakie jest równanie jednostkowej okrąglicy oraz jak reprezentować każdy punkt na obwodzie jednostkowej okrąglicy przy pomocy funkcji trygonometrycznych cosθ i sinθ.

Okrąg jednostkowy - równanie okręgu jednostkowego — Okrąg jednostkowy – równanie okręgu jednostkowego

Czym jest jednostkowa okrąglica?

Jednostkowa okrąglica to okrąg o promieniu równym 1 jednostce. Zazwyczaj jest ona reprezentowana na płaszczyźnie kartezjańskiej. Jednostkowa okrąglica jest zapisywana algebrze jako równanie drugiego stopnia z dwoma zmiennymi x i y. Jednostkowa okrąglica znajduje zastosowanie w matematyce, a w szczególności w trygonometrii, pomagając w obliczeniu wartości funkcji trygonometrycznych sinusa, cosinusa i tangensa.

Definicja jednostkowej okrąglicy

Miejsce punktu oddalonego od ustalonego punktu o jednostkową odległość nazywa się jednostkową okrąglicą.

Równanie jednostkowej okrąglicy

Ogólne równanie okręgu to (x – a)2 + (y – b)2 = r2, co oznacza okrąg o środku (a, b) i promieniu r. Równanie to może zostać uproszczone, aby reprezentować równanie jednostkowej okrąglicy. Jednostkowa okrąglica ma swój środek w punkcie (0, 0), który jest początkiem układu współrzędnych, oraz promień równy 1 jednostce. Stąd równanie jednostkowej okrąglicy to (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12. Można to uprościć, aby uzyskać równanie jednostkowej okrąglicy.

Równanie jednostkowej okrąglicy: x2 + y2 = 1

Dla jednostkowej okrąglicy środek znajduje się w punkcie (0,0), a promień wynosi 1 jednostkę. Powyższe równanie spełnia wszystkie punkty leżące na okręgu we wszystkich czterech ćwiartkach.

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych za pomocą jednostkowej okrąglicy

Możemy obliczać funkcje trygonometryczne sinusa, cosinusa i tangensa, wykorzystując jednostkową okrąglicę. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa na jednostkowej okrąglicy, aby zrozumieć funkcje trygonometryczne. Rozważmy trójkąt prostokątny umieszczony w jednostkowej okrąglicy na płaszczyźnie kartezjańskiej. Promień okręgu reprezentuje przeciwprostokątną trójkąta. Wektor promienia tworzy kąt θ z dodatnią osią x, a współrzędne punktu końcowego wektora promienia wynoszą (x, y). Wartości x i y są długościami przyprostokątnych trójkąta. Mamy teraz trójkąt prostokątny o bokach 1, x, y. Wykorzystując to w trygonometrii, możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych, jak następuje:

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 42 - Jak obliczyć pierwiastek

sinθ = Przeciwprostokątna/Przeciwprostokątna = y/1

cosθ = Przyprostokątna/Przeciwprostokątna = x/1

Mamy teraz sinθ = y, cosθ = x, a korzystając z tych wartości, możemy wyznaczyć tanθ = y/x. Podobnie, możemy uzyskać wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych korzystając z trójkąta prostokątnego wewnątrz jednostkowej okrąglicy. Zmieniając wartości θ, możemy uzyskać wartości podstawowe tych funkcji trygonometrycznych.

Jednostkowa okrąglica z sinusem, cosinusem i tangensem

Każdy punkt na jednostkowej okrąglicy ma współrzędne (x, y), które są równe wartościom funkcji trygonometrycznych (cosθ, sinθ). Dla dowolnych wartości θ, które tworzą linię promienia z dodatnią osią x, końcowe punkty promienia reprezentują wartości cosinusa i sinusa dla wartości θ. Mamy tu cosθ = x i sinθ = y, a te wartości są przydatne do obliczenia wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych. Kontynuując, mamy tangens θ = sinθ/cosθ lub tangens θ = y/x.

Innym ważnym punktem do zrozumienia jest to, że wartości sinθ i cosθ zawsze mieszczą się w przedziale od 1 do -1, a wartość promienia wynosi 1, a na osi ujemnej x ma wartość -1. Cała okrąglica reprezentuje pełny kąt 360º, a linie czterech ćwiartek okręgu tworzą kąty 90º, 180º, 270º, 360º (0º). W punktach 90º i 270º wartość cosθ wynosi 0, a zatem wartości tangensa w tych kątach są niezdefiniowane.

Przykład: Oblicz wartość tangensa kąta 45º, korzystając z wartości sinusa i cosinusa z jednostkowej okrąglicy.

Rozwiązanie:

Wiemy, że tan 45° = sin 45°/cos 45°

Korzystając z tabeli jednostkowej okrąglicy:

sin 45° = 1/√2

cos 45° = 1/√2

Zatem, tan 45° = sin 45°/cos 45°

= (1/√2)/(1/√2)

= 1

Odpowiedź: Zatem, tan 45° = 1

Tabela jednostkowej okrąglicy w radianach

Jednostkowa okrąglica reprezentuje pełny kąt 2π radianów. Jednostkowa okrąglica jest podzielona na cztery ćwiartki pod kątami π/2, π, 3π/2 i 2π. W pierwszej ćwiartce pod kątami 0, π/6, π/4, π/3, π/2 znajdują się standardowe wartości, które są stosowane do funkcji trygonometrycznych. Punkty na jednostkowej okrąglicy dla tych kątów reprezentują standardowe wartości cosinusa i sinusa. Po bliższym przyjrzeniu się poniższemu rysunkowi wartości są powtarzane we wszystkich czterech ćwiartkach, ale z odwróceniem znaku. To odwrócenie znaku wynika z dodatniej lub ujemnej osi x i y, które znajdują się po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych. Dzięki temu możemy łatwo znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych standardowych kątów we wszystkich czterech ćwiartkach jednostkowej okrąglicy.

Jednostkowa okrąglica i tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne sinusa, cosecansu i tangensa na jednostkowej okrąglicy można dalej wykorzystać do uzyskania innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak cotangens, secans i cosecans. Tożsamości jednostkowej okrąglicy takie jak cosecans, secans, cotangens są odpowiednio odwrotnością sinusa, cosinusa i tangensa. Ponadto, wartość tangensa θ można uzyskać dzieląc sinθ przez cosθ, a wartość cotangensa θ można uzyskać dzieląc cosθ przez sinθ.

Dla trójkąta prostokątnego umieszczonego w jednostkowej okrąglicy na płaszczyźnie kartezjańskiej, z przeciwprostokątną, przyprostokątną i wysokością o długościach 1, x i y jednostek odpowiednio, tożsamości jednostkowej okrąglicy można zapisać jako:

sinθ = y/1
cosθ = x/1
tanθ = sinθ/cosθ = y/x
sec(θ) = 1/x
csc(θ) = 1/y
cot(θ) = cosθ/sinθ = x/y

Tożsamości trygonometryczne Pitagorasa na jednostkowej okrąglicy

Trzy ważne tożsamości trygonometryczne Pitagorasa można łatwo zrozumieć i udowodnić przy użyciu jednostkowej okrąglicy. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów na przyprostokątnej i przyprostokątnej. Trzy tożsamości trygonometryczne Pitagorasa są następujące:

sin2θ + cos2θ = 1
1 + tan2θ = sec2θ
1 + cot2θ = cosec2θ

CZYTAĆ: Współczynnik - Definicja, przykłady | Współczynnik zmiennej

Tutaj spróbujemy udowodnić pierwszą tożsamość za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Weźmy x i y jako przyprostokątne trójkąta prostokątnego, który ma przeciwprostokątną długości 1 jednostki. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa daje x2 + y2 = 1, co reprezentuje równanie jednostkowej okrąglicy. Ponadto, w jednostkowej okrąglicy mamy x = cosθ i y = sinθ. Zastosowanie tego w powyższym równaniu twierdzenia Pitagorasa daje cos2θ + sin2θ = 1. Tym samym udowodniliśmy pierwszą tożsamość za pomocą twierdzenia Pitagorasa. W jednostkowej okrąglicy możemy również udowodnić pozostałe dwie tożsamości Pitagorasa.

Jednostkowa Okrąglica i Wartości Trygonometryczne

Różne tożsamości trygonometryczne i ich wartości kątów głównych można obliczyć za pomocą jednostkowej okrąglicy. W jednostkowej okrąglicy mamy cosinus jako współrzędną x i sinus jako współrzędną y. Znajdźmy teraz ich odpowiednie wartości dla θ = 0° i θ = 90º.

Dla θ = 0°, współrzędna x wynosi 1, a współrzędna y wynosi 0. Dlatego mamy cos0º = 1 i sin0º = 0. Spójrzmy na inny kąt 90º. Tutaj wartość cos90º = 0, a sin90º = 1. Dalsze wartości ważnych funkcji trygonometrycznych θ takich jak 30º, 45º, 60º można wyznaczyć za pomocą tej jednostkowej okrąglicy. Możemy również mierzyć te wartości θ w radianach. Wiemy, że 360° = 2π radianów. Możemy teraz przeliczyć miary kątowe na miary radianowe i wyrazić je w postaci radianów.

Tabela Jednostkowej Okrąglicy:

Tabela jednostkowej okrąglicy jest używana do wyliczenia współrzędnych punktów na jednostkowej okrąglicy, które odpowiadają wspólnym kątom za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Jednostkowy okrąg w płaszczyźnie zespolonej

Czym jest jednostkowy okrąg?

Jednostkowy okrąg składa się z wszystkich liczb zespolonych o wartości bezwzględnej równej 1. Zatem, ma on równanie |z| = 1. Dowolna liczba zespolona z = x + (i)y leżeć będzie na jednostkowym okręgu o równaniu zadanej postaci x2 + y2 = 1.

Jak reprezentuje się jednostkowy okrąg?

Jednostkowy okrąg może być rozpatrywany jako jednostkowe liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej, czyli zbiór liczb zespolonych z danego wzoru:
z = e(i)t = cos t + (i) sin t = cis(t)

Czym jest wzór Eulera?

Wzór Eulera jest reprezentowany przez powyższy związek. Odnosi się on do kompleksowych jednostkowych liczb okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej.

Co to jest jednostkowy okrąg w matematyce?

Definicja jednostkowego okręgu

Jednostkowy okrąg to okrąg o promieniu równej jedności. Zazwyczaj, jednostkowy okrąg jest reprezentowany na płaszczyźnie kartezjańskiej z centrum w punkcie (0, 0). Równanie jednostkowego okręgu o promieniu równej jedności i mającego centrum w punkcie (0, 0) to x2 + y2 = 1. Jednostkowy okrąg znajduje zastosowanie w trygonometrii i jest używany do znajdowania wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych sinusa i cosinusa.

Jak znaleźć wartości sinusa i cosinusa za pomocą jednostkowego okręgu?

Jednostkowy okrąg może być użyty do obliczenia wartości sinθ i cosθ. W jednostkowym okręgu o promieniu 1 jednostki i centrum w punkcie (0, 0), bierzemy promień pochylony do dodatniej osi x pod kątem θ, a punkt końcowy promienia to (x, y). Narysujmy pion od końca promienia do osi x, tworząc w ten sposób trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątna to promień, a przyprostokątna to wartość x, a przeciwległa to wartość y. Dzięki zastosowaniu wzoru trygonometrycznego otrzymujemy sinθ = Przeciwprostokątna/Promień = y/1 oraz cosθ = Przyprostokątna/Promień = x/1. Stąd mamy sinθ = y, a cosθ = x.

Definicja funkcji trygonometrycznych za pomocą jednostkowego okręgu

Funkcje trygonometryczne mogą być obliczone dla wartości podstawowych korzystając z jednostkowego okręgu. Dla jednostkowego okręgu o promieniu jednostkowym i centrum w punkcie (0, 0), jeśli promień jest pochylony pod kątem θ, a punkt końcowy promienia to (x, y), to cosθ = x i sinθ = y. Ponadto, wszystkie inne wartości funkcji trygonometrycznych mogą być obliczone na podstawie tych dwóch wartości. Wartości podstawowe mogą być obliczone poprzez zmianę wartości θ.

CZYTAĆ: Dziedzina i przeciwdziedzina - z wykresu

Jak znaleźć punkt końcowy na jednostkowym okręgu?

Znajdowanie punktu końcowego

Punkt końcowy na jednostkowym okręgu można znaleźć za pomocą równania jednostkowego okręgu x2 + y2 = 1. Jeśli podany punkt spełnia to równanie, to jest to punkt leżący na jednostkowym okręgu. Dalsze znalezienie punktu końcowego dla wartości θ może być uzyskane poprzez znalezienie wartości cosθ i sinθ.

Równanie jednostkowego okręgu

Równanie jednostkowego okręgu to x2 + y2 = 1. Przyjmuje się, że jednostkowy okrąg ma swoje centrum w punkcie (0, 0) na osiach współrzędnych i promień równy 1.

Jak obliczyć równanie jednostkowego okręgu?

Równanie jednostkowego okręgu można obliczyć za pomocą wzoru na odległość w geometrii analitycznej. Dla okręgu o centrum w punkcie (0, 0) i promieniu równej jedności, dowolny punkt na okręgu może być przyjęty jako (x, y). Zastosowanie definicji okręgu oraz wzoru na odległość pozwala na uzyskanie wzoru (x – 0)2 + (y – 0)2 = 1, który można uprościć do postaci x2 + y2 = 1.

Kiedy tangens jest niezdefiniowany na jednostkowym okręgu?

Jednostkowy okrąg o równaniu x2 + y2 = 1 jest przydatny do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych sinusa θ = y i cosinusa θ = x. Korzystając z tych wartości, można wygodnie obliczyć wartość tangensa θ = sinθ/cosθ = y/x. Tangens θ będzie niezdefiniowany dla cosθ = 0, tj. gdy θ wynosi 90° lub 270°.

Jaka jest zależność między trójkątami prostokątnymi a jednostkowym okręgiem?

Związek między trójkątami prostokątnymi a jednostkowym okręgiem

Trójkąty prostokątne i jednostkowy okrąg są ze sobą unikalnie powiązane. Dowolny punkt na jednostkowym okręgu można przedstawić jako trójkąt prostokątny, gdzie promień to przeciwprostokątna trójkąta, a koordynaty punktu to pozostałe dwie boki trójkąta prostokątnego. Równanie okręgu x2 + y2 = 1 całkowicie zaspokaja twierdzenie Pitagorasa dotyczące trójkąta prostokątnego. Ponadto, trójkąt prostokątny w jednostkowym okręgu jest przydatny do wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Do czego służy jednostkowy okrąg?

Zastosowanie jednostkowego okręgu

Jednostkowy okrąg jest szczególnie przydatny w trygonometrii. Dla wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych sinθ, cosθ, tanθ, ich kąty podstawowe wynoszące 0º, 30º, 45º, 60º, 90º mogą być łatwo obliczone za pomocą jednostkowego okręgu. Ponadto, jednostkowy okrąg jest przydatny do reprezentacji liczb zespolonych w płaszczyźnie argandowej.

Jakie są kwadranty jednostkowego okręgu?

Kwadranty jednostkowego okręgu

Jednostkowy okrąg posiada cztery kwadranty podobne do kwadrantów na osi współrzędnych. Cztery kwadranty są równe i reprezentują jedna czwartą powierzchni okręgu. Każdy z kwadrantów pod kątem prostym lub 90° znajduje się w centrum okręgu.

Jak opisać jednostkowy okrąg w terminach liczb zespolonych?

Opis jednostkowego okręgu za pomocą liczb zespolonych

Jednostkowy okrąg składa się z wszystkich liczb zespolonych o wartości bezwzględnej równej 1, zatem dowolna liczba zespolona z = x + (i)y leży na jednostkowym okręgu o równaniu x2 + y2 = 1. Stąd równanie jednostkowego okręgu może być zapisane jako |z| = 1.