Obliczanie nachylenia na podstawie dwóch punktów polega na zastosowaniu wzoru na nachylenie, czyli przemieszczenie w pionie / przemieszczenie w poziomie. Istnieją różne wzory umożliwiające obliczenie nachylenia, w zależności od rodzaju dostępnych informacji o linii. Wzór na obliczanie nachylenia na podstawie dwóch punktów jest stosowany, gdy znane są dwa punkty na linii.

Wzór na obliczanie nachylenia na podstawie dwóch punktów

Wzór na obliczanie nachylenia prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) na osi współrzędnych to m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Tu:

m = nachylenie prostej
x₁ = współrzędna x pierwszego punktu
y₁ = współrzędna y pierwszego punktu
x₂ = współrzędna x drugiego punktu
y₂ = współrzędna y drugiego punktu

Wiemy, że nachylenie prostej możemy obliczyć na podstawie jej wykresu, stosując wzór przemieszczenie w pionie / przemieszczenie w poziomie. Możemy wykorzystać ten sam wzór, aby uzyskać powyższy wzór. Rozważmy prostą, na której znajdują się dwa punkty A (x₁, y₁) i B (x₂, y₂).

Wtedy przemieszczenie w pionie z A do B wynosi y₂ – y₁
Przemieszczenie w poziomie z A do B wynosi x₂ – x₁

Stąd nachylenie prostej m = przemieszczenie w pionie / przemieszczenie w poziomie = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Oto jak wizualnie możemy to przedstawić na poniższym rysunku.

CZYTAĆ: Pierwiastek kwadratowy z liczby 23 - Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 23?

Przykład:

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty (2, 3) i (5, 9).

Rozwiązanie:

x₁ = 2
y₁ = 3
x₂ = 5
y₂ = 9

Nachylenie m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) = (9 – 3) / (5 – 2) = 2.67.

Stąd nachylenie prostej wynosi 2.67.

Wyprowadzenie wzoru na obliczanie nachylenia na podstawie dwóch punktów

Oprócz metody już przedstawionej powyżej, można uzyskać wzór na obliczanie nachylenia na podstawie dwóch punktów za pomocą innych metod. Przyjrzyjmy się tym metodom. W każdej z tych metod rozważmy dwa punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) na linii.

Metoda 1

Niech θ będzie kątem, który linia tworzy z dodatnią osią x. Narysujmy poziomą i pionową linię z dwóch punktów A i B odpowiednio, tak aby przecięły się w punkcie C.

Zgodnie z własnością kątów przystających, kąt w punkcie A = θ. Stosując funkcję tangens do trójkąta ABC,

tan θ = (Przeciwprostokątna)/(Przyprostokątna)

tan θ = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) … (1)

Wiemy, że jeśli θ jest kątem, który linia tworzy z dodatnią osią x, to jej nachylenie wynosi

m = tan θ … (2)

Z (1) i (2) wynika, że

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Metoda 2

Wiemy, że postać równania prostej w postaci nachyleniowej to y = mx + b.

Ponieważ A(x₁, y₁) należy do linii, to y₁ = mx₁ + b … (3)

Ponieważ B(x₂, y₂) należy do linii, to y₂ = mx₂ + b … (4)

Rozwiążmy równania (3) i (4) metodą podstawienia. Z równania (3) wynika, że b = y₁ – mx₁. Podstawiając to do równania (4):

y₂ = mx₂ + y₁ – mx₁

Odejmując y₁ z obu stron:

y₂ – y₁ = mx₂ – mx₁

Przenosząc m na lewą stronę:

y₂ – y₁ = m(x₂ – x₁)

Dzieląc obie strony przez x₂ – x₁:

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Kroki obliczania nachylenia na podstawie dwóch punktów

Oto kroki, jakie należy wykonać, aby obliczyć nachylenie prostej na podstawie dwóch punktów na niej leżących.

W pierwszym punkcie oznacz współrzędną x jako x₁, a współrzędną y jako y₁.
W drugim punkcie oznacz współrzędną x jako x₂, a współrzędną y jako y₂.
Znajdź różnice y₂ – y₁ i x₂ – x₁.
Podziel różnicę współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x, aby obliczyć nachylenie (m), czyli m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).

CZYTAĆ: Pole trapezu - wzór, przykłady, definicja, pochodzenie

Uwaga: Możemy zamienić punkty podczas obliczania nachylenia, nie wpłynie to na wynik.

Przykład:

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty (1, -2) i (3, -6).

Rozwiązanie:

Przypiszmy (1, -2) = (x₁, y₁)
oraz (3, -6) = (x₂, y₂)
Wtedy x₁ = 1, y₁ = -2, x₂ = 3 i y₂ = -6.

Nachylenie, m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

= (-6 – (-2)) / (3 – 1)

= (-6 + 2) / (3 – 1)

= (-4) / 2

= -2

Zatem nachylenie danej prostej wynosi -2.

Ważne uwagi dotyczące obliczania nachylenia na podstawie dwóch punktów:

Nachylenie prostej przechodzącej przez punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) można obliczyć, stosując wzór m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) lub m = (y₁ – y₂) / (x₁ – x₂).
Kolejność, w jakiej wykonujemy operacje w liczniku i mianowniku, powinna być taka sama. Nie może to być na przykład (y₁ – y₂) / (x₂ – x₁).
Niezależnie od tego, które dwa punkty na prostej wybierzemy, otrzymamy to samo nachylenie.
Nachylenie prostej wynosi 0, gdy różnica współrzędnych y wynosi 0, a w tym przypadku prosta jest pozioma.

Jaka jest formuła obliczania nachylenia na podstawie dwóch punktów?

Do obliczenia nachylenia prostej na podstawie dwóch punktów (x₁, y₁) i (x₂, y₂) na niej leżących stosujemy wzór (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁), czyli stosunek różnicy współrzędnych y do różnicy współrzędnych x obliczonych w tej samej kolejności.

Jak obliczyć równanie prostej na podstawie dwóch punktów?

Aby obliczyć równanie prostej na podstawie dwóch punktów (x₁, y₁) i (x₂, y₂):

Oblicz nachylenie prostej za pomocą wzoru m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).
Użyj wzoru na równanie prostej w postaci punktowej y – y₁ = m(x₂ – x₁), aby obliczyć równanie.

Czy można użyć wzoru (y1-y2)/(x1-x2) do obliczenia nachylenia prostej na podstawie dwóch punktów?

Jeśli (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to dwa punkty na prostej, to zwykle do obliczenia nachylenia stosujemy wzór (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Jednakże, jeśli weźmiemy -1 jako wspólny czynnik dla licznika i mianownika, to -1 zostanie skrócony i pozostanie wzór (y₁ – y₂) / (x₁ – x₂). Więc ten wzór jest również stosowany do obliczania nachylenia prostej na podstawie dwóch punktów.

CZYTAĆ: Równanie nachylenia - Co to jest równanie nachylenia? Wzór, Przykłady

Jak obliczyć nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Jeśli rozważymy dwa punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) na prostej, gdzie pierwszy punkt leży niżej niż górny punkt na prostej rosnącej, to różnica y to rise = y₂ – y₁, a różnica x to run = x₂ – x₁. Wtedy nachylenie = rise/run = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). To jest wzór, który stosujemy do obliczenia nachylenia prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.