W tej sekcji omówimy objętość części kuli wraz z przykładami rozwiązanych zadań. Zaczniemy od wstępnego wymaganego zagadnienia, czyli objętości części kuli. Objętość trójwymiarowego obiektu definiuje przestrzeń zajmowaną przez ten obiekt w trójwymiarowej przestrzeni.
Czym jest Objętość Części Kuli?
Objętość części kuli definiuje całkowitą przestrzeń zajmowaną przez część kuli. Część kuli to fragment kuli. Innymi słowy, jest to kształt uzyskany przez przecięcie kuli w określony sposób. Część kuli może mieć różne możliwe kształty, w zależności od sposobu przecięcia. Sferyczny sektor, sferyczna czapka, sferyczny segment i sferyczna klin to dobrze znane przykłady części kuli. Przejdźmy teraz do wzorów służących do obliczania objętości tych różnych typów części kuli:
Objętość sferycznej czapki
Wzór: (1/3)πh²(3r-h), gdzie r to promień kuli, a h to wysokość sferycznej czapki
Objętość sferycznego sektora
Wzór: (2/3)πr³α/360°, gdzie r to promień kuli, a α to kąt środkowy sektora w stopniach
Objętość sferycznego segmentu
Wzór: (1/3)πh²(3r-h)-Vczapki, gdzie r to promień kuli, h to wysokość sferycznego segmentu, a Vczapki to objętość sferycznej czapki składającej się na segment
Objętość sferycznego klinu
Wzór: (1/6)πh(3a²+h²), gdzie a to długość łuku okalającego klin, a h to wysokość klinu
Wzór na Objętość Sferycznej Czapki
Sferyczna czapka to część kuli uzyskana poprzez przecięcie kuli płaszczyzną. Dla kuli, jeśli dane są: wysokość h sferycznej czapki, promień a koła podstawy czapki i promień R kuli (z której czapka została odcięta), to jej objętość można wyrazić wzorem:
Objętość sferycznej czapki w zależności od h i R = (1/3)πh²(3R – h)
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa: (R – h)² + a² = R², można ten wzór zapisać inaczej, mianowicie:
Objętość sferycznej czapki w zależności od h i a = (1/6)πh(3a² + h²)
Dla sferycznej czapki, której wysokość jest równa promieniowi, h = R, jest to półkula.
Uwaga: Zakres wartości wysokości to 0 ≤ h ≤ 2R, a zakres wartości promienia czapki to 0 ≤ a ≤ R.
Jak Obliczyć Objętość Sferycznej Czapki?
Jak już się dowiedzieliśmy w poprzedniej sekcji, objętość sferycznej czapki to (1/3)πh²(3R – h) lub (1/6)πh(3a² + h²). Oto kroki, jak obliczyć objętość sferycznej czapki:
Krok 1: Znajdź promień kuli, z której wzięto sferyczną czapkę, i nazwij ten promień R.
Krok 2: Znajdź promień sferycznej czapki i nazwij go a lub wysokość sferycznej czapki i nazwij ją h.
Krok 3: Możesz użyć wzoru (R – h)² + a² = R², jeśli znane są dwie zmienne, a trzecia jest nieznana.
Krok 4: Oblicz objętość sferycznej czapki, korzystając z wzoru V = (1/3)πh²(3R – h) lub V = (1/6)πh(3a² + h²).
Krok 5: Przedstaw ostateczną odpowiedź w jednostkach sześciennych.
Objętość Sferycznego Sektoru (Sferycznego Stożka)
Sferyczny sektor to część kuli składająca się z sferycznej czapki i stożka o wierzchołku w centrum kuli i podstawie sferycznej czapki. Objętość sferycznego sektora można określić jako sumę objętości sferycznej czapki i objętości stożka. Dla sferycznego sektora, jeśli dane są: wysokość h sferycznej czapki, promień a koła podstawy czapki i promień R kuli (z której czapka została odcięta), to jego objętość może być wyrażona wzorem:
Objętość sferycznego stożka w zależności od h i R = (2/3)πR²h
Jak Obliczyć Objętość Sferycznego Sektoru (Sferycznego Stożka)?
Jak już się dowiedzieliśmy w poprzedniej sekcji, objętość sferycznego sektora wynosi (2/3)πR²h. Oto kroki, jak obliczyć objętość sferycznego sektora:
Krok 1: Znajdź promień kuli, z której wzięto sferyczny sektor, i nazwij ten promień R.
Krok 2: Znajdź promień sferycznej czapki i nazwij go a lub wysokość sferycznej czapki i nazwij ją h.
Krok 3: Możesz użyć wzoru (R – h)² + a² = R², jeśli znane są dwie zmienne, a trzecia jest nieznana.
Krok 4: Oblicz objętość sferycznego sektora, korzystając z wzoru V = (2/3)πR²h.
Krok 5: Przedstaw ostateczną odpowiedź w jednostkach sześciennych.
Objętość Sferycznego Segmentu (Sferycznego Ostrosłupa)
Sferyczny segment to część kuli uzyskana, gdy płaszczyzna przetnie kulę na górze i na dole w taki sposób, że oba przekroje są równoległe do siebie. Dla sferycznego segmentu, jeśli dane są: wysokość h sferycznego segmentu, promień R1 koła podstawy segmentu oraz promień R2 górnego koła segmentu, to jego objętość może być wyrażona wzorem:
Objętość sferycznego segmentu = (1/6)πh(3R1² + 3R2² + h²)
Jak Obliczyć Objętość Sferycznego Segmentu (Sferycznego Ostrosłupa)?
Jak już się dowiedzieliśmy w poprzedniej sekcji, objętość sferycznego segmentu wynosi (1/6)πh(3R1² + 3R2² + h²). Oto kroki, jak obliczyć objętość sferycznego segmentu:
Krok 1: Znajdź promień koła podstawy i nazwij go R1, a następnie znajdź promień górnego koła i nazwij go R2.
Krok 2: Znajdź wysokość sferycznego segmentu i nazwij ją h.
Krok 3: Oblicz objętość sferycznego segmentu, korzystając z wzoru V = (1/6)πh(3R1² + 3R2² + h²).
Krok 4: Przedstaw ostateczną odpowiedź w jednostkach sześciennych.
Objętość Sferycznego Klinu
Bryła utworzona przez obrót półkola wokół jego średnicy o mniejszym niż 360 stopni kącie θ. Dla sferycznego klinu, jeśli dany jest kąt θ (w radianach) utworzony przez klin i jego promień R, to jego objętość może być wyrażona wzorem:
Objętość sferycznego klinu = (θ/2π)(4/3)πR²
Jeśli kąt θ jest wyrażony w stopniach, to objętość sferycznego klinu wynosi:
Objętość sferycznego klinu = (θ/360°)(4/3)πR²
Jak Obliczyć Objętość Sferycznego Klinu?
Jak już się dowiedzieliśmy w poprzedniej sekcji, objętość sferycznego klinu wynosi (θ/2π)(4/3)πR². Oto kroki, jak obliczyć objętość sferycznego klinu:
Krok 1: Znajdź promień sferycznego klinu i nazwij go R.
Krok 2: Znajdź kąt sferycznego klinu i nazwij go θ.
Krok 3: Oblicz objętość sferycznego klinu, korzystając z wzoru V = (θ/2π)(4/3)πR².
Krok 4: Przedstaw ostateczną odpowiedź w jednostkach sześciennych.
Przeglądasz ten post: Objętość przekroju kuli
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere
