W matematyce nierówność występuje, gdy dokonuje się porównania nierównościowego między dwoma wyrażeniami matematycznymi lub dwoma liczbami. Nierówności mogą być nierównościami numerycznymi, algebraicznymi lub kombinacją obu rodzajów. Nierówności liniowe to takie nierówności, w których przynajmniej jedno algebraiczne wyrażenie liniowe, czyli wielomian stopnia 1, jest porównywane z innym wyrażeniem algebraicznym stopnia mniejszego lub równego 1. Istnieje kilka sposobów reprezentacji różnych rodzajów nierówności liniowych.
Czym są nierówności liniowe?
Nierówności liniowe definiuje się jako wyrażenia, w których dwa wyrażenia liniowe są porównywane za pomocą symboli nierówności. Poniżej wymieniono pięć symboli używanych do reprezentowania nierówności liniowych:
- < (mniejsze niż)
- > (większe niż)
- ≤ (mniejsze lub równe)
- ≥ (większe lub równe)
- ≠ (różne od)
Należy zauważyć, że jeśli p < q, to oznacza to, że p jest jakąś liczbą ściśle mniejszą od q. Jeśli p ≤ q, to oznacza to, że p jest jakąś liczbą, która jest albo ściśle mniejsza od q, albo jest dokładnie równa q. Podobnie ma się rzecz z pozostałymi dwiema nierównościami: > (większe niż) i ≥ (większe lub równe).
Przykład
Załóżmy, że mamy nierówność liniową 3x – 4 < 20. W tym przypadku LHS < RHS. Widzimy, że wyrażenie po lewej stronie, czyli 3x – 4, jest w rzeczywistości mniejsze niż liczba po prawej stronie, czyli 20. Możemy przedstawić tę nierówność graficznie na wadze:
Reprezentacja nierówności liniowych
Istnieje wiele sposobów reprezentacji nierówności liniowych, takich jak w formie tabeli, grafu lub prostych rysunków. Wszystkie te sposoby mają na celu przedstawienie informacji w sposób łatwy do zrozumienia.
Zasady nierówności liniowych
Do nierówności liniowych stosuje się cztery rodzaje operacji: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Nierówności liniowe o tych samych rozwiązaniach nazywane są równoważnymi nierównościami. Istnieją zasady dla równości i nierówności. Wszystkie poniższe zasady są również prawdziwe dla nierówności związanych z mniejsze lub równe (≤) i większe lub równe (≥). Przed nauką rozwiązywania nierówności liniowych, zobaczmy kilka ważnych zasad nierówności dla wszystkich tych operacji.
Zasada dodawania nierówności liniowych
Zgodnie z zasadą dodawania nierówności liniowych dodanie tej samej liczby do każdej strony nierówności daje równoważną nierówność, a symbol nierówności się nie zmienia. Jeśli x > y, to x + a > y + a, a jeśli x < y, to x + a < y + a.
Zasada odejmowania nierówności liniowych
Zgodnie z zasadą odejmowania nierówności liniowych, odjęcie tej samej liczby od każdej strony nierówności daje równoważną nierówność, a symbol nierówności się nie zmienia. Jeśli x > y, to x − a > y − a, a jeśli x < y, to x − a < y − a.
Zasada mnożenia nierówności liniowych
Zgodnie z zasadą mnożenia nierówności liniowych, mnożenie obu stron nierówności przez dodatnią liczbę zawsze daje równoważną nierówność, a symbol nierówności się nie zmienia. Jeśli x > y i a > 0, to x × a > y × a, a jeśli x < y i a > 0, to x × a < y × a. Tutaj × jest używane jako symbol mnożenia.
Z drugiej strony, mnożenie obu stron nierówności przez ujemną liczbę nie daje równoważnej nierówności, chyba że odwrócimy kierunek symbolu nierówności. Jeśli x > y i a < 0, to x × a < y × a, a jeśli x < y i a < 0, to x × a > y × a.
Zasada dzielenia nierówności liniowych
Zgodnie z zasadą dzielenia nierówności liniowych, dzielenie obu stron nierówności przez dodatnią liczbę daje równoważną nierówność, a symbol nierówności się nie zmienia. Jeśli x > y i a > 0, to (x/a) > (y/a), a jeśli x < y i a
Rozwiązywanie systemu nierówności liniowych
Rozwiązywanie nierówności liniowych wieloetapowych jednej zmiennej jest takie samo jak rozwiązywanie wieloetapowych równań liniowych; zaczynamy od wyodrębnienia zmiennej z stałych. Zgodnie z zasadami nierówności, podczas rozwiązywania wieloetapowych nierówności liniowych, ważne jest, aby pamiętać o odwróceniu znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczby ujemne.
Krok 1: Uprość nierówność po obu stronach – po lewej stronie i po prawej stronie zgodnie z zasadami nierówności.
Krok 2: Po uzyskaniu wartości, jeśli nierówność jest ściślejsza, rozwiązaniem dla x jest liczba mniejsza lub większa niż wartość uzyskana, zdefiniowana w pytaniu. Jeśli nierówność nie jest ściślejsza, rozwiązaniem dla x jest liczba mniejsza lub równa lub większa lub równa wartości uzyskanej, zdefiniowana w pytaniu.
Teraz spróbujmy rozwiązać nierówności liniowe na przykładzie, aby zrozumieć ten koncept.
2x + 3 > 7
Aby rozwiązać tę nierówność liniową, postępujemy zgodnie z poniższymi krokami:
- Krok 1: 2x > 7 – 3 ⇒ 2x > 4
- Krok 2: x > 2
Rozwiązaniem tej nierówności będzie zbiór wszystkich wartości x, dla których nierówność x > 2 jest spełniona, czyli wszystkie liczby rzeczywiste ściśle większe niż 2.
Rozwiązywanie nierówności liniowych z zmienną po obu stronach
Spróbujmy rozwiązać nierówności liniowe z jedną zmienną, stosując pojęcie, które przyswoiliśmy. Rozważmy następujący przykład.
3x – 15 > 2x + 11
Postępujemy następująco:
- Krok 1: -15 – 11 > 2x – 3x ⇒ – 26 > – x
- Krok 2: x > 26
Rozwiązywanie systemu nierówności liniowych przez wykres
System dwuwymiarowych nierówności liniowych ma postać ax + by > c lub ax + by ≤ c. Znaki nierówności mogą się zmieniać w zależności od zbioru podanych nierówności. Aby rozwiązać system dwuwymiarowych nierówności liniowych, musimy mieć co najmniej dwie nierówności. Teraz, aby rozwiązać system nierówności liniowych dwóch zmiennych, rozważmy przykład.
2y – x > 1 i y – 2x < -1
Najpierw naniesiemy dane nierówności na wykres. Aby to zrobić, postępuj zgodnie z podanymi krokami:
Krok 1: Zamień znak nierówności na równość =, to znaczy mamy 2y – x = 1 i y – 2x = -1. Ponieważ nierówność liniowa jest ściślejsza, rysujemy kropkowane linie na wykresie.
Krok 2: Sprawdź, czy początek układu współrzędnych (0, 0) spełnia dane nierówności liniowe. Jeśli tak, to zacieniaj obszar po jednej stronie linii, który obejmuje początek układu współrzędnych. Jeśli początek układu współrzędnych nie spełnia nierówności liniowej, zacieniaj obszar po jednej stronie linii, który nie obejmuje początku układu współrzędnych.
Krok 3: Dla 2y – x > 1, podstawiając (0, 0) otrzymujemy: 2 × 0 – 0 > 1 ⇒ 0 > 1, co nie jest prawdą. Dlatego zacieniamy stronę linii 2y – x = 1, która nie obejmuje początku układu współrzędnych. Podobnie, dla y – 2x < -1, podstawiając (0, 0), mamy: 0 – 2 × 0 < -1 ⇒ 0 < -1, co nie jest prawdą. Dlatego zacieniamy stronę linii y – 2x = -1, która nie obejmuje początku układu współrzędnych.
Krok 4: Wspólnie zacienione obszary będą stanowić obszar dopuszczalny, który stanowi rozwiązanie systemu nierówności liniowych. Jeśli nie ma wspólnie zacienionego obszaru, rozwiązanie nie istnieje. Obszar o kolorze fioletowym na poniższym wykresie pokazuje rozwiązanie podanego systemu nierówności liniowych.
Wyznaczanie nierówności liniowych na wykresie
Nierówności liniowe – jedna zmienna
Nierówności liniowe z jedną zmienną są wykreślane na osi liczbowej, ponieważ wynik daje rozwiązanie jednej zmiennej. Dlatego wykreslanie nierówności liniowych z jedną zmienną odbywa się tylko przy użyciu osi liczbowej. Natomiast nierówności liniowe z dwoma zmiennymi są wykreślane na dwuwymiarowym układzie osi x i y, ponieważ wynik daje rozwiązanie dwóch zmiennych. Dlatego też wykreslanie nierówności liniowych z dwoma zmiennymi odbywa się przy użyciu wykresu.
Przykład wykresu nierówności liniowej z jedną zmienną:
4x > -3x + 21
Rozwiązanie w tym przypadku jest proste.
4x + 3x > 21 ⇒ 7x > 21 ⇒ x > 3
Można to przedstawić na osi liczbowej w następujący sposób:
Dowolny punkt leżący na niebieskiej części osi liczbowej spełnia tę nierówność. Należy zauważyć, że w tym przypadku na punkcie 3 narysowano pusty kropkę. Oznacza to, że 3 nie jest częścią zbioru rozwiązań (ponieważ ta nierówność jest ściślejsza). Przykład innej nierówności liniowej:
3x + 1 ≤ 7
Postępujemy w następujący sposób:
3x ≤ 7 – 1 ⇒ 3x ≤ 6 ⇒ x ≤ 2
Chcemy przedstawić ten zbiór rozwiązań na osi liczbowej. Zaznaczamy więc tę część osi liczbowej, która znajduje się po lewej stronie od 2.
Widzimy, że każda liczba leżąca na czerwonej części osi liczbowej spełni tę nierówność, więc jest częścią zbioru rozwiązań. Należy zauważyć, że na punkcie 2 narysowano pełną kropkę. Oznacza to, że 2 jest również częścią zbioru rozwiązań.
Nierówności liniowe – dwie zmienne
System nierówności liniowych dwóch zmiennych ma postać ax + by > c lub ax + by ≤ c. Znaki nierówności mogą się zmieniać w zależności od zbioru nierówności podanego w zadaniu. Aby rozwiązać system nierówności liniowych dwóch zmiennych, musimy mieć co najmniej dwie nierówności. Aby rozwiązać system nierówności liniowych dwóch zmiennych, rozważmy następują
Jakie są rzeczywiste zastosowania Nierówności Liniowych?
Nierówności są częściej używane w wielu problemach życiowych niż równości, aby wyznaczyć najlepsze rozwiązanie problemu. To rozwiązanie może być takie proste, jak znalezienie liczby produktów, które należy wyprodukować, aby zwiększyć zysk, lub takie skomplikowane, jak znalezienie odpowiedniej kombinacji leków do podania pacjentowi.
Jakie są zastosowania Nierówności Liniowych w Biznesie?
Przedsiębiorstwa korzystają z nierówności do tworzenia modeli cenowych, planowania linii produkcyjnych i kontrolowania swojego stanu magazynowego. Są one również używane do wysyłki lub magazynowania materiałów i towarów.
Czym są nierówności liniowe w algebrze?
Nierówności liniowe są definiowane jako wyrażenia, w których dwa wyrażenia liniowe są porównywane przy użyciu symboli nierówności. Wyrażenia te mogą być numeryczne, algebraiczne lub ich kombinacją.
Jakie są symbole używane w nierównościach liniowych?
Symbole używane w nierównościach liniowych to:
- Nie równa się (≠)
- Mniejsze niż (<)
- Większe niż (>)
- Mniejsze niż lub równe (≤)
- Większe niż lub równe (≥)
Jakie są dwie podobieństwa między nierównościami liniowymi a równaniami?
Podobieństwa między nierównościami liniowymi a równaniami to:
- Oba rodzaje stwierdzeń matematycznych odnoszą się do dwóch wyrażeń.
- Oba są rozwiązywane w ten sam sposób.
Jak rozwiązywać nierówności liniowe w dwóch zmiennych?
Aby rozwiązać system dwóch nierówności liniowych w dwóch zmiennych, musimy mieć co najmniej dwie nierówności. Następnie rysujemy dane nierówności na wykresie i sprawdzamy, czy mają wspólny obszar pokrycia, aby określić rozwiązanie.
Jak różnią się nierówności kwadratowe od nierówności liniowych?
Nierówności kwadratowe składają się z wyrażeń algebraicznych stopnia 2, podczas gdy nierówności liniowe składają się z wyrażeń algebraicznych stopnia 1.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_inequality
