Maksima i minima są nazywane ekstremami funkcji. Maksimum i minimum to największa lub najmniejsza wartość funkcji w danym zakresie. Dla funkcji, w całym zakresie, największa wartość funkcji nazywana jest maksimum bezwzględnym, a najmniejsza wartość nazywana jest minimum bezwzględnym.
Istnieją inne maksima i minima funkcji, które nie są maksimami i minimami bezwzględnymi funkcji i nazywają się maksimami i minimami lokalnymi. Dowiedzmy się więcej o maksimach i minimach lokalnych, maksimach i minimach bezwzględnych oraz o tym, jak znaleźć maksima i minima funkcji.
Czym są maksima i minima funkcji?
Maksima i minima to szczyty i doliny krzywej funkcji. Funkcja może mieć dowolną liczbę maksimów i minimów. W rachunku różniczkowym możemy znaleźć wartości maksymalne i minimalne funkcji bez nawet patrzenia na wykres funkcji. Maksima będą najwyższym punktem na krzywej w danym zakresie, a minima będą najniższym punktem na krzywej.
Kombinacja maksimów i minimów to ekstrema. Na poniższym obrazku możemy zobaczyć różne szczyty i doliny na wykresie. Przy x = a i przy x = 0, otrzymujemy maksymalne wartości funkcji, a przy x = b i x = c otrzymujemy minimalne wartości funkcji. Wszystkie szczyty to maksima, a doliny to minima.
Rodzaje maksimów i minimów funkcji
Istnieją dwa rodzaje maksimów i minimów, które występują w funkcji:
Maksima i Minima Lokalne
Lokalne maksima i minima są wartościami maksymalnymi i minimalnymi funkcji, które występują tylko w danym obszarze, a nie w całym zakresie funkcji.
Maksima i Minima Bezwarunkowe lub Globalne
Maksima i minima bezwarunkowe lub globalne są wartościami maksymalnymi i minimalnymi funkcji, które występują w całym zakresie funkcji.
Zapoznajmy się z nimi bliżej.
Lokalne Maksima i Minima
Lokalne maksima i minima to maksima i minima funkcji, które pojawiają się w określonym przedziale. Lokalne maksima to wartość funkcji w punkcie w określonym przedziale, dla którego wartości funkcji w pobliżu tego punktu są zawsze mniejsze niż wartość funkcji w tym punkcie. Natomiast lokalne minima to wartość funkcji w punkcie, w którym wartości funkcji w pobliżu tego punktu są większe niż wartość funkcji w tym punkcie.
Lokalne Maksima
Punkt x = b jest punktem lokalnego maksimum dla f(x), jeśli w sąsiedztwie punktu b, tj. w (b-𝛿, b+𝛿), gdzie 𝛿 może być dowolnie małe, f(x) < f(b) dla wszystkich x ∈ (b-𝛿, b+𝛿)∖{b}. Oznacza to po prostu, że jeśli rozważymy mały region (przedział) wokół x = b, f(b) powinno być maksimum w tym przedziale.
Lokalne Minima
Punkt x = a jest punktem lokalnego minimum dla f(x), jeśli w sąsiedztwie punktu a, tj. w (a-𝛿, a+𝛿), (gdzie 𝛿 może mieć dowolnie małe wartości), f(x) > f(a) dla wszystkich x ∈ (a-𝛿, a+𝛿)∖{a}. Oznacza to, że jeśli rozważymy mały przedział wokół x = a, f(a) powinno być minimum w tym przedziale.
Na poniższym obrazku możemy zobaczyć, że x = b i x = d to lokalne maksima, a x = a i x = c to lokalne minima.
Maksima i Minima Bezwarunkowe
Najwyższy punkt funkcji w całej dziedzinie nazywamy maksimum bezwzględnym funkcji, natomiast najniższy punkt funkcji w całej dziedzinie nazywamy minimum bezwzględnym funkcji. Funkcja może mieć tylko jedno maksimum bezwzględne i jedno minimum bezwzględne w całej swojej dziedzinie. Maksimum i minimum bezwzględne funkcji można również nazywać maksimum i minimum globalnymi funkcji.
Maksimum Bezwarunkowe
Punkt x = a jest punktem maksimum globalnego dla f(x), jeśli f(x) ≤ f(a) dla wszystkich x∈D (dziedzina f(x)).
Minimum Bezwarunkowe
Punkt x = a jest punktem minimum globalnego dla f(x), jeśli f(x) ≥ f(a) dla wszystkich x∈D (dziedzina f(x)).
Na poniższym obrazku punkt x = a to maksimum bezwzględne funkcji, a punkt x = b to minimum bezwzględne funkcji.
Jak znaleźć Maksima i Minima funkcji?
Maksima i minima funkcji można obliczyć za pomocą testu pierwszej i drugiej pochodnej. Testy pochodnej to najszybsze sposoby na znalezienie maksimów i minimów funkcji. Omówmy je po kolei.
Test pierwszej pochodnej dla Maksimów i Minimów
Pierwsza pochodna funkcji daje nam nachylenie funkcji. W pobliżu punktu maksymalnego, nachylenie krzywej wzrasta w miarę zbliżania się do punktu maksymalnego, staje się równe 0 w punkcie maksymalnym, a następnie maleje wraz z oddalaniem się od punktu maksymalnego. Podobnie w pobliżu punktu minimalnego, nachylenie funkcji maleje w miarę zbliżania się do punktu minimalnego, staje się równe 0 w punkcie minimalnym, a następnie wzrasta wraz z oddalaniem się od punktu minimalnego. Wykorzystujemy tę informację, aby poznać, czy punkt jest maksimum czy minimum.
Załóżmy, że mamy funkcję f, która jest ciągła w punkcie krytycznym, określoną w otwartym przedziale I i f’(c) = 0 (nachylenie wynosi 0 w c). Następnie sprawdzamy wartość f'(x) w punkcie lewym i prawym od krzywej i sprawdzamy charakter f'(x), wtedy możemy powiedzieć, że dany punkt to:
Lokalne maksimum: Jeśli f’(x) zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy x wzrasta przez punkt c, to f(c) daje maksymalną wartość funkcji w tym przedziale.
Lokalne minimum: Jeśli f’(x) zmienia znak z ujemnego na dodatni, gdy x wzrasta przez punkt c, to f(c) daje minimalną wartość funkcji w tym przedziale.
Punkt przegięcia: Jeśli znak f’(x) nie zmienia się, gdy x wzrasta przez c, a punkt c nie jest ani maksimum, ani minimum funkcji, to punkt c nazywa się punktem przegięcia.
Test drugiej pochodnej dla Maksimów i Minimów
W teście drugiej pochodnej dla maksimów i minimów znajdujemy pierwszą pochodną funkcji i jeśli daje ona wartość nachylenia równe 0 w punkcie krytycznym x = c (f’(c) = 0), to znajdujemy drugą pochodną funkcji. Jeśli druga pochodna funkcji istnieje w danym przedziale, to dany punkt będzie:
Lokalne maksimum: Jeśli f”(c) < 0
Lokalne minimum: Jeśli
Co to są Maksima i Minima funkcji?
Maksima i minima funkcji to punkty, w których wartość funkcji jest maksymalna lub minimalna w sąsiedztwie punktu.
Czym jest Lokalne Maksimum i Minimum?
Lokalne maksima i minima są maksimami i minimami funkcji, które występują w określonym przedziale. Lokalne maksimum będzie punktem w danym przedziale, dla którego wartości funkcji w pobliżu tego punktu zawsze są mniejsze niż wartość funkcji w tym punkcie. Natomiast lokalne minimum będzie punktem, dla którego wartości funkcji w pobliżu tego punktu są większe niż wartość funkcji w tym punkcie.
Czym jest Absolutne Maksimum i Minimum?
Najwyższy punkt funkcji w całej dziedzinie funkcji nazywa się absolutnym maksimum funkcji, podczas gdy najniższy punkt funkcji w całej dziedzinie funkcji nazywa się absolutnym minimum funkcji. Może istnieć tylko jedno absolutne maksimum funkcji i jedno absolutne minimum funkcji w całej dziedzinie funkcji.
Jak znaleźć Lokalne Maksima i Minima na wykresie?
Maksima i minima to punkty, w których krzywa funkcji osiąga maksima lub minima. W grafie funkcji, jeśli chcemy znaleźć lokalne maksima i minima, wystarczy spojrzeć na szczyty i doliny na wykresie. Wszystkie szczyty będą lokalnymi maksimami, a doliny będą lokalnymi minimami.
Jak znaleźć Maksima i Minima algebrą?
Maksima i minima funkcji można obliczyć, korzystając z testu pochodnej pierwszego i drugiego rzędu. Testy pochodnych to najszybszy sposób na znalezienie maksimów i minimów funkcji.
Czym jest Test Pochodnej Pierwszego Rzędu dla Maksimów i Minimów funkcji?
Pochodna pierwszego rzędu funkcji daje nachylenie funkcji. Zgodnie z testem pochodnej pierwszego rzędu, w pobliżu punktu maksymalnego nachylenie krzywej rośnie w miarę zbliżania się do punktu maksymalnego, następnie staje się równe 0 w punkcie maksymalnym, a następnie maleje w miarę oddalania się od punktu maksymalnego. Podobnie, w pobliżu punktu minimalnego nachylenie funkcji maleje w miarę zbliżania się do punktu minimalnego, następnie staje się równe 0 w punkcie minimalnym, a następnie wzrasta w miarę oddalania się od punktu minimalnego. Wykorzystujemy tę informację, aby stwierdzić, czy punkt jest maksimum czy minimum.
Czym jest Test Pochodnej Drugiego Rzędu dla Maksimów i Minimów funkcji?
W teście pochodnej drugiego rzędu najpierw znajdujemy pochodną pierwszego rzędu funkcji i jeśli daje ona wartość nachylenia równe 0 (f’(c) = 0), to znajdujemy pochodną drugiego rzędu funkcji. Jeśli pochodna drugiego rzędu funkcji istnieje w danym przedziale, to dany punkt będzie:
- Lokalnym maksimum: Jeśli f”(c) < 0
- Lokalnym minimum: Jeśli f”(c) > 0
- Test nie powodzi się: Jeśli f”(c) = 0
Czy mogą istnieć 2 Absolutne Maksima w Maksimach i Minimach?
Najwyższy punkt funkcji w całej dziedzinie funkcji nazywa się absolutnym maksimum funkcji, podczas gdy najniższy punkt funkcji w całej dziedzinie funkcji nazywa się absolutnym minimum funkcji. Może istnieć tylko jedno absolutne maksimum funkcji i jedno absolutne minimum funkcji w całej dziedzinie funkcji.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Maximum_and_minimum
