Przed przejściem do nauki, czym jest macierz diagonalna, przypomnijmy sobie kilka innych rodzajów macierzy. Istnieją dwa rodzaje macierzy trójkątnych: macierze dolnotrójkątne i macierze górnątrojkątne.
Macierz dolnotrójkątna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy powyżej głównej przekątnej są zerami.
Przykład: (\left[\begin{array}{rr}3 & 0 & 0\ 2 & 1 & 0\ 4 & 5 & -3\end{array}\right])
Macierz górnątrojkątna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są zerami.
Przykład: (\left[\begin{array}{rr}6 & 1 & 2\ 0 & 4 & -5\ 0 & 0 & 7\end{array}\right])
Czym jest macierz diagonalna?
Macierz diagonalna to macierz, która jest jednocześnie górną trójkątną i dolną trójkątną. Innymi słowy, wszystkie elementy powyżej i poniżej głównej przekątnej są zerami, stąd nazwa „macierz diagonalna”. Matematycznie, macierz A = [aij] jest diagonalna, jeśli spełnia następujące warunki:
- A jest macierzą kwadratową
- aij = 0, gdy i ≠ j.
Kilka przykładów macierzy diagonalnych to \(\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\ \\ \\ 0 & -3 \end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{rr}3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & -6\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{rr}4 & 0 & 0&0\\ 0 & -2 & 0&0\\ 0 & 0 & 1&0\\0&0&0&7\end{array}\right]\), itd. Ale czy macierz diagonalna może mieć niektóre (lub wszystkie) swoje elementy diagonalne równe zeru? Tak, może mieć, ponieważ jedynym warunkiem dla tego, aby była diagonalna, dotyczy jej nieprzekątnych elementów (które muszą być zerami). Innymi słowy, elementy diagonalne macierzy diagonalnej mogą być zerami lub niezerami.
Macierz antydiagonalna jest po prostu lustrzanym obrazem macierzy diagonalnej pod względem rozmieszczenia elementów. Innymi słowy, w macierzy antydiagonalnej wszystkie elementy powyżej i poniżej przekątnej (która NIE jest główną przekątną) są zerami. Należy zauważyć, że dowolna macierz antydiagonalna nie jest diagonalna.
Kilka przykładów macierzy antydiagonalnych to \(\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\ \\ \\ 2 & 0 \end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ -7 &0 & 0\end{array}\right]\), itd.
Właściwości macierzy diagonalnych
Właściwości
- Każda macierz diagonalna jest macierzą kwadratową.
- Macierz jednostkowa, macierz zerowa i macierz skalarowa są przykładami macierzy diagonalnych, ponieważ każda z nich ma swoje nieprzekątne elementy równe zeru.
- Suma dwóch macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.
- Iloczyn dwóch macierzy diagonalnych (o tym samym rzędzie) jest macierzą diagonalną, gdzie elementy jej głównej przekątnej są iloczynami odpowiadających elementów pierwotnych macierzy.
- Macierze diagonalne są przemienne zarówno pod względem dodawania, jak i mnożenia.
- Macierze diagonalne są macierzami symetrycznymi, ponieważ dla każdej macierzy diagonalnej A, AT = A.
Podsumowanie
Właściwości macierzy diagonalnych są kluczowe w algebrze liniowej, ponieważ ułatwiają wiele obliczeń i rozwiązań równań. Macierze diagonalne są również szeroko stosowane w różnych dziedzinach nauki, takich jak statystyka, fizyka i inżynieria.
Wyznacznik macierzy diagonalnej
Definicja wyznacznika macierzy diagonalnej
Wyznacznik macierzy diagonalnej to iloczyn jej elementów znajdujących się na przekątnej. Sprawdźmy to dla macierzy diagonalnej 3 x 3. Niech A = \(\left[\begin{array}{rr}2 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 &0 & 5\end{array}\right]\). Obliczmy jej wyznacznik.
Obliczanie wyznacznika macierzy diagonalnej
wyznacznik A = 2(-15 – 0) – 0 (0 – 0) + 0 (0 – 0) = -30, co jest iloczynem elementów znajdujących się na przekątnej: 2, -3 i 5. Zatem, macierz diagonalna jest macierzą odwracalną (o niezerowym wyznaczniku) tylko wtedy, gdy wszystkie jej elementy znajdujące się na przekątnej są różne od zera.
Odwrócenie macierzy diagonalnej
Definicja odwrócenia macierzy diagonalnej
Odwrócenie macierzy diagonalnej to macierz diagonalna, w której elementy na głównej przekątnej są odwrotnościami odpowiadających elementów pierwotnej macierzy.
Obliczanie odwrotności macierzy diagonalnej
Aby zweryfikować tę definicję, weźmy macierz diagonalną 3 x 3. Niech A = \(\left[\begin{array}{rr}2 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ 0 &0 & 5\end{array}\right]\). Wcześniej obliczyliśmy jej wyznacznik, który wyniósł -30. Teraz obliczymy jej macierz dopełnień algebraicznych.
macierz dopełnień algebraicznych A = \(\left[\begin{array}{rr}-15 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 0 &0 & -6\end{array}\right]\)
Wiem, że odwrotność macierzy A jest równa A-1 = (macierz dopełnień algebraicznych A) / (wyznacznik A)
=(1/(-30)) \(\left[\begin{array}{rr}-15 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 0 &0 & -6\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}1/2 & 0 & 0\\ 0 & -1/3 & 0\\ 0 &0 & 1/5\end{array}\right]\)
Możemy zauważyć, że A-1 jest również macierzą diagonalną, a jej elementy na głównej
Czy macierz diagonalna jest zawsze odwracalna?
Macierz jest odwracalna tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy. Jednak wyznacznik macierzy diagonalnej może również wynosić zero (jeśli zawiera zero na swojej diagonali), wówczas jest nieodwracalna. Zatem macierz diagonalna nie zawsze jest odwracalna.
Jak znaleźć macierz diagonalną?
Jeśli w macierzy wszystkie elementy powyżej i poniżej głównej przekątnej są zerami, to jest to macierz diagonalna. Elementy na głównej przekątnej mogą być zerami lub innymi wartościami.
Czy iloczyn dwóch macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną?
Tak, iloczyn dwóch macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną. Na przykład dla A = \(\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\ \\ \\ 0 & -5 \end{array}\right]\) i B = \(\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\ \\ \\ 0 & -7 \end{array}\right]\), AB = \(\left[\begin{array}{rr}6 & 0 \\ \\ \\ 0 & 35 \end{array}\right]\), który jest macierzą diagonalną.
Czy suma dwóch macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną?
Tak, suma dwóch macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną. Na przykład dla A = \(\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\ \\ \\ 0 & -5 \end{array}\right]\) i B = \(\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\ \\ \\ 0 & -7 \end{array}\right]\), A + B = \(\left[\begin{array}{rr}5 & 0 \\ \\ \\ 0 & -12 \end{array}\right]\), który jest macierzą diagonalną.
Czy macierze diagonalne są komutatywne?
Macierze diagonalne są komutatywne pod względem dodawania i mnożenia. Na przykład dla dowolnych dwóch macierzy diagonalnych A i B, AB = BA i A + B = B + A.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_matrix
