Kąty kongruentne to kąty o równych miarach. Zatem wszystkie kąty o równych miarach nazywane są kątami kongruentnymi. Widoczne są one wszędzie, na przykład w trójkątach równobocznych, równoramiennych lub gdy przecinająca przecina dwie równoległe linie. Zapoznajmy się z kongruencją kątów oraz ich konstrukcją w tym artykule.
Czym są kąty kongruentne?
W matematyce, definicja kątów kongruentnych brzmi: „kąty o równych miarach nazywane są kątami kongruentnymi”. Innymi słowy, równe kąty to kąty kongruentne. Oznaczane są symbolem „≅”, więc jeśli chcemy przedstawić, że ∠A jest kongruentny z ∠X, zapiszemy to jako ∠A ≅ ∠X. Poniżej przedstawiono przykład kątów kongruentnych.
Przykład kątów kongruentnych
Na powyższym obrazku oba kąty mają równą miarę (60∘ każdy). Mogą się całkowicie pokrywać. Zgodnie z definicją możemy więc powiedzieć, że oba podane kąty są kątami kongruentnymi.
Twierdzenie o kątach kongruentnych
Istnieje wiele twierdzeń opartych na kątach kongruentnych. Korzystając z twierdzenia o kątach kongruentnych, możemy łatwo stwierdzić, czy dwa kąty są kongruentne czy nie. Poniżej przedstawiono te twierdzenia:
- Twierdzenie o kątach wierzchołkowych
- Twierdzenie o kątach dopasowanych
- Twierdzenie o kątach naprzemiennych
- Twierdzenie o kątach dopełniających
- Twierdzenie o kątach uzupełniających
Zapoznajmy się teraz z każdym z tych twierdzeń w szczegółach wraz z ich dowodami.
Twierdzenie o kątach wierzchołkowych
Zgodnie z twierdzeniem o kątach wierzchołkowych, kąty wierzchołkowe są zawsze kongruentne. Sprawdźmy to.
Twierdzenie: Kąty wierzchołkowe są kongruentne.
Dowód: Dowód jest prosty i opiera się na kątach prostopadłych. Wiemy już, że kąty na prostej sumują się do 180°.
Zatem na powyższym rysunku:
| Stwierdzenie | Przyczyna |
|---|---|
| ∠1+∠2 = 180° | Poziomy kąt |
| ∠1+∠4 = 180° | Poziomy kąt |
| ∴ ∠1+∠2 = 180∘ = ∠1+∠4 | Poprzez porównanie powyższych dwóch równań |
| ∴ ∠1+∠2 =∠1+∠4 | Równe ilości są równe między sobą. (Transitive: jeśli a=b i b=c, to wynika stąd, że a=c) |
| ∴ ∠2 =∠4 | Jeśli z równych odejmujemy równe, to różnice są równe. (Poprzez eliminację ∠1 po obu stronach) |
Podobnie, ∠1=∠3. Wniosek: Przeciwległe kąty wierzchołkowe są zawsze
Twierdzenie o kątach dopasowanych
Definicja kątów dopasowanych mówi nam, że gdy dwa równoległe linie są przecięte przez trzecią, kąty, które zajmują takie same względne położenie na każdym przecięciu, są kątami dopasowanymi do siebie.
Gdy przecinająca przecina dwie równoległe linie, kąty dopasowane są zawsze kongruentne. Na powyższym rysunku ∠1 = ∠2. Jest to postulat, więc nie musimy tego udowadniać. Zawsze jest to stwierdzane jako prawda bez dowodu.
Twierdzenie o kątach naprzemiennych
Gdy przecinająca przecina dwie równoległe linie, każda para kątów naprzemiennych jest kongruentna. Odwołajmy się do powyższego rysunku. Mamy:
- ∠1 = ∠5 (kąty dopasowane)
- ∠3 = ∠5 (przeciwległe kąty wierzchołkowe)
Zatem ∠1 = ∠3. Podobnie, możemy udowodnić, że pozostałe trzy pary kongruentnych kątów naprzemiennych są również prawdziwe.
Twierdzenie o kątach dopełniających
Kąty dopełniające to takie, których suma wynosi 180°. To twierdzenie stwierdza, że kąty dopełniające do tego samego kąta są kongruentne, niezależnie od tego, czy są sąsiednimi kątami, czy nie.
Możemy udowodnić to twierdzenie, korzystając z własności kątów w pary liniowe, a mianowicie:
- ∠1+∠2 = 180° (kąty w parze liniowej)
- ∠2+∠3 = 180° (kąty w parze liniowej)
Z powyższych dwóch równań wynika, że ∠1 = ∠3.
Podobnie, dwóch kątów dopełniających do tego samego kąta są kongruentne.
Twierdzenie o kątach uzupełniających
Kąty uzupełniające to takie, których suma wynosi 90°. To twierdzenie stwierdza, że kąty, które uzupełniają ten sam kąt, są kongruentne, niezależnie od tego, czy są sąsiednimi kątami, czy nie.
Możemy łatwo
Konstruowanie kątów kongruentnych
W tej sekcji dowiemy się, jak skonstruować dwa kąty kongruentne w geometrii. Istnieją dwie przypadki, które pojawiają się podczas nauki konstruowania kątów kongruentnych, a są to:
- Konstrukcja dwóch kątów kongruentnych o dowolnym wymiarze.
- Konstrukcja kąta kongruentnego do danego kąta.
Konstrukcja dwóch kątów kongruentnych
Dowiedzmy się, jak krok po kroku skonstruować dwa kąty kongruentne.
Krok 1 – Narysuj dwie poziome linie o dowolnej odpowiedniej długości za pomocą ołówka i linijki lub kątownika.
Krok 2 – Weź dowolny łuk na cyrklu mniejszy niż długość linii narysowanych w pierwszym kroku i trzymaj końcówkę cyrkla na końcu linii. Narysuj łuk, trzymając linie AB i PQ jako podstawę, bez zmiany szerokości cyrkla.
Krok 3 – Umieść końcówkę cyrkla na punkcie D i rozszerz ramiona cyrkla, aby narysować łuk o dowolnej odpowiedniej długości. Narysuj ten łuk i powtórz ten sam proces z tym samym łukiem, trzymając końcówkę cyrkla na punkcie S.
Krok 4 – Narysuj linie, które połączą AC i PR.
To jest sposób, w jaki otrzymujemy dwa kąty kongruentne w geometrii, ∠CAB i ∠RPQ.
Konstrukcja kąta kongruentnego do danego kąta
Dotychczas nauczyliśmy się, jak skonstruować dwa kąty kongruentne o dowolnej miarze w geometrii. Ale co, jeśli dany jest jeden kąt i musimy skonstruować kąt kongruentny do niego? Nauczmy się tego krok po kroku.
Załóżmy, że dany jest kąt ∠ABC i musimy stworzyć kąt kongruentny do ∠ABC.
Krok 1 – Narysuj poziomą linię o dowolnej odpowiedniej długości i nazwij ją YZ.
Krok 2 – Umieść końcówkę cyrkla w punkcie B w danym kącie i narysuj łuk, trzymając BC jako podstawę i nazwij ten punkt D.
Krok 3 – O tym samym promieniu, umieść końcówkę cyrkla w punkcie Y i nazwij punkt na linii YZ jako O.
Krok 4 – Umieść końcówkę cyrkla w punkcie D i zmierz promień od punktu D do punktu przecięcia łuku z odcinkiem AB.
Krok 5 – O tym samym promieniu, umieść końcówkę cyrkla w punkcie O i zaznacz cięcie na łuku narysowanym w kroku 3, a nazwij ten punkt X.
Krok 6 – Narysuj linię, która połączy punkty X i Y.
Tutaj otrzymujemy ∠ABC ≅ ∠XYZ, co spełnia definicję kąta kongruentnego. To jest sposób, w jaki możemy skonstruować kąt kongruentny do danego kąta.
Porady i sztuczki dotyczące kątów kongruentnych:
- Kąty kongruentne to tylko inna nazwa na równe kąty.
- Wszystkie przeciwległe kąty są kątami kongruentnymi.
- Wszystkie kąty przemianowane i kąty odpowiadające, utworzone przez przecięcie dwóch równoległych linii i transept, są kątami kongruentnymi.
- Zgodnie z definicją kątów kongruentnych „Dla każdych dwóch kątów, aby były kongruentne, muszą mieć tę samą miarę”.
Jakie warunki muszą być spełnione, aby kąty były kongruentne?
Istnieje tylko jeden warunek, który musi być spełniony, aby kąty były kongruentne, a mianowicie muszą mieć tę samą miarę.
Czy kąty kongruentne dodają się do 180 stopni?
W ogólnym przypadku, nie wszystkie kąty kongruentne są kątami dopełniającymi. Aby kąty dodały się do 180 stopni, muszą być kątami dopełniającymi. Tylko kąty prostokątne są kongruentne, a jednocześnie są kątami dopełniającymi, ponieważ mają tę samą miarę i dodają się do 180 stopni.
Czy kąty prostokątne są kongruentne?
Kąty prostokątne są zawsze kongruentne, ponieważ ich miara jest taka sama. Zawsze mierzą 90°.
Jakie są kąty kongruentne w równoległych liniach?
Kiedy dwie równoległe linie są przecięte przez trzecią linię, otrzymujemy pewne kąty kongruentne, które są kątami przyległymi, kątami przeciwnymi, kątami wewnętrznymi naprzemiennymi oraz kątami zewnętrznymi naprzemiennymi.
Jak sprawdzić, czy kąty są kongruentne?
Dwa kąty są kongruentne, jeśli mają tę samą miarę. Możemy sprawdzić miarę kąta z pomocą kątomierza, aby dowiedzieć się, czy dane kąty są kongruentne czy nie.
Czy kąty kongruentne są równe?
Tak, kąty kongruentne są równymi kątami.
Jak znaleźć kąty kongruentne?
Dwa kąty o tej samej miarze są kątami kongruentnymi. Aby znaleźć kąty kongruentne, wystarczy zidentyfikować wszystkie równe kąty. Po nałożeniu na siebie, kąty te całkowicie pasują do siebie bez przerw.
Jakie rodzaje kątów są zawsze kongruentne?
Kąty przyległe, kąty przeciwległe, oraz kąty korespondujące narysowane na równoległych liniach i przecinających je przekątnych są zawsze kongruentne. Ponadto, kąty dopełniające do tego samego kąta oraz kąty uzupełniające do tego samego kąta są także kątami kongruentnymi.
Triangle Congruence Theorems, Two Column Proofs, SSS, SAS, ASA, AAS Postulates, Geometry Problems
Źródło: Twierdzenie
