Każde miejsce na Ziemi ma swoje koordynaty, dzięki którym możemy łatwo je zlokalizować na mapie świata. Układ współrzędnych naszej planety składa się z linii wyimaginowanych nazywanych szerokościami i długościami geograficznymi. Linie zerowe to: długość geograficzna Greenwich i szerokość geograficzna równikowa, stanowią początkowe linie tego układu współrzędnych. Podobnie jak w przypadku lokalizowania punktu na płaszczyźnie lub arkuszu papieru, mamy osie współrzędnych, gdzie pozioma oś x to oś horyzontalna, a pionowa oś y to oś wertykalna.
Geometria współrzędnych to nauka o figurach geometrycznych przedstawianych na osiach współrzędnych. Figury takie jak proste, krzywe, koła, elipsy, hiperbole, wielokąty, mogą być łatwo rysowane i prezentowane na osiach współrzędnych. Dalsza geometria współrzędnych pozwala na pracę algebraiczną i badanie własności figur geometrycznych przy pomocy układu współrzędnych.
Co to jest geometria współrzędnych?
Geometria współrzędnych to ważny dział matematyki, który pomaga w prezentacji figur geometrycznych w dwuwymiarowej płaszczyźnie i uczeniu się właściwości tych figur. Tutaj postaramy się dowiedzieć o płaszczyźnie współrzędnych i współrzędnych punktu, aby zdobyć podstawową wiedzę o geometrii współrzędnych.
Płaszczyzna współrzędnych
Właściwości punktu reprezentowanego w czterech ćwiartkach płaszczyzny współrzędnych to:
- Początek O jest punktem przecięcia osi x i y i ma współrzędne (0, 0).
- Oś x po prawej stronie początku O to dodatnia oś x, a po lewej stronie początku O jest ujemna oś x. Podobnie oś y powyżej początku O to dodatnia oś y, a poniżej początku O jest ujemna oś y.
- Punkt reprezentowany w pierwszej ćwiartce (x, y) ma obie dodatnie wartości i jest rysowany względem dodatniej osi x i dodatniej osi y.
- Punkt reprezentowany w drugiej ćwiartce (-x, y) jest rysowany względem ujemnej osi x i dodatniej osi y.
- Punkt reprezentowany w trzeciej ćwiartce (-x, -y) jest rysowany względem ujemnej osi x i ujemnej osi y.
- Punkt reprezentowany w czwartej ćwiartce (x, -y) jest rysowany względem dodatniej osi x i ujemnej osi y.
Współrzędna to adres, który pomaga zlokalizować punkt w przestrzeni. Dla przestrzeni
Wzory geometrii współrzędnych
Wzory geometrii współrzędnych pomagają w wygodnym dowodzeniu różnych własności linii i figur przedstawionych na osiach współrzędnych. Wzory geometrii współrzędnych to wzór na odległość, wzór na nachylenie, wzór na środek odcinka, wzór na punkt dzielący odcinek w określonym stosunku i wzór na równanie prostej. Zapoznajmy się z każdym z tych wzorów w poniższych akapitach.
Wzór na odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych
Odległość między dwoma punktami \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) jest równa pierwiastkowi kwadratowemu sumy kwadratów różnicy współrzędnych x i y dwóch podanych punktów. Wzór na odległość między dwoma punktami wynosi:
D = \( \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
Wzór na nachylenie prostej
Nachylenie prostej to kąt nachylenia prostej. Nachylenie prostej można obliczyć z kąta utworzonego przez prostą z dodatnią osią x lub pobierając dowolne dwa punkty na prostej. Nachylenie prostej ukośnej pod kątem θ z dodatnią osią x wynosi m = Tanθ. Nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) wynosi m = \(\frac {(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}\).
m = Tanθ
m = \(\frac {(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}\)
Wzór na środek odcinka
Wzór na środek odcinka łączącego punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) to nowy punkt, którego abscysa jest średnią wartością x dwóch podanych punktów, a odcięta jest średnią wartością y dwóch podanych punktów. Środek odcinka leży na linii łączącej dwa punkty i znajduje się dokładnie między nimi.
\((x, y) =\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
Wzór na punkt dzielący odcinek w określonym stosunku w geometrii współrzędnych
Wzór na punkt dzielący odcinek łączący punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) w stosunku \(m : n\) jest przydatny do znalezienia współrzędnych punktu. Punkt dzielący dwa podane punkty leży na linii łączącej dwa punkty i jest dostępny między dwoma punktami lub poza odcinkiem linii między punktami.
\((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \)
Wzór na środek ciężkości trójkąta
Środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia median trójkąta. (Mediana to linia łącząca wierzchołek trójkąta z punktem środkowym przeciwległego boku). Środek ciężkości trójkąta o wierzchołkach A \((x_1, y_1)\), B \((x_2, y_2)\) i C \((x_3, y_3)\) jest uzyskiwany z poniższego wzoru.
\((x, y) = (\dfrac{x_1+ x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3})\)
Wzór na pole trójkąta w geometrii współrzędnych
Pole trójkąta o wierzchołkach A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) i C\((x_3, y_3)\) jest uzyskiwane z poniższego wzoru. Wzór na pole trójkąta może być stosowany dla wszystkich rodzajów trójkątów.
Pole trójkąta = \(\dfrac{1}{2}|x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|\)
Jak znaleźć równanie prostej w geometrii współrzędnych?
To równanie prostej reprezentuje wszystkie punkty na linii za pomocą prostego równania liniowego. Standardowa forma równania prostej to ax + by + c = 0. Istnieją różne metody na znalezienie równania prostej. Inna ważna forma równania prostej to równanie prostej postaci y = mx + c. Tutaj m to nachylenie prostej, a c to punkt przecięcia z osią y. Dalsze formy równań prostej, takie jak postać punktowa, postać dw
Koordynaty w Geometrii Współrzędnych
Geometria współrzędnych służy do zdefiniowania punktów w przestrzeni. W tym celu definiuje się podstawową oś osi x i y, a następnie punkty są mierzone i oznaczane w odniesieniu do tych punktów. Dodatkowo, różne figury geometryczne takie jak linia, krzywa, koło, elipsa, hiperbola, mogą być przedstawione na osiach współrzędnych i możemy badać różne własności tych figur geometrycznych.
Jak Obliczyć Odległość w Geometrii Współrzędnych?
Formuła odległości jest przydatna do obliczenia odległości między dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych. Dla punktów \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\), wzór na obliczenie odległości wynosi D = \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \).
Co to jest Nachylenie w Geometrii Współrzędnych?
Nachylenie linii można znaleźć na dwa sposoby w geometrii współrzędnych. Dla danego kąta nachylenia θ linii względem osi x, pozytywnego nachylenia linii, nachylenie linii wynosi m = Tanθ. Dla dwóch punktów \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) na linii, nachylenie linii jest równe m = \(\dfrac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)}\).
Co to są Punkty Współliniowe w Geometrii Współrzędnych?
Punkty współliniowe w geometrii współrzędnych odnoszą się do zestawu punktów leżących na tej samej linii. Warunkiem, aby trzy punkty były współliniowe, jest to, że największa odległość między dwoma punktami jest równa sumie odległości między innymi dwoma zestawami punktów. Ponadto, punkty współliniowe można znaleźć za pomocą wzoru na nachylenie. Nachylenie linii łączącej dwa punkty powinno być równe nachyleniu linii łączącej pozostałe dwa punkty.
Zastosowanie Geometrii Współrzędnych w Matematyce
Koncepcje geometrii współrzędnych mają szerokie zastosowanie w matematyce. Tematy takie jak wektory, geometria trójwymiarowa, równania, rachunek różniczkowy, liczby zespolone, funkcje mają wiele zastosowań w geometrii współrzędnych. Wszystkie te tematy wymagają, aby dane były przedstawione graficznie na płaszczyźnie dwu/trójwymiarowej.
Jaka jest Formuła Przecięcia w Geometrii Współrzędnych?
Formuła przecięcia jest przydatna do znalezienia współrzędnych punktu, który dzieli odcinek łączący punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) w stosunku \(m:n\). Punkt dzielący odcinek leży na linii łączącej dwa punkty, i znajduje się między nimi lub jest poza nimi. Wzór na znalezienie potrzebnego punktu to: \((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right) \).
Jak Obliczyć Pole Trójkąta w Geometrii Współrzędnych?
Pole trójkąta, łączącego trzy punkty \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) i \((x_3, y_3)\) w układzie współrzędnych wynosi \( \frac {1}{2}.|x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|\). Symbol modułu jest używany w formule, ponieważ pole jest zawsze wartością dodatnią.
Jak Geometria Współrzędnych jest Stosowana w Życiu Codziennym?
Geometria współrzędnych ma liczne zastosowania w naszym życiu codziennym. Mapy, których używamy, aby zlokalizować miejsca: mapy Google, mapy fizyczne, opierają się na systemie współrzędnych. Ponadto, jest pomocna w projektach związanych z dużymi obszarami, takimi jak rysowanie map terenowych na skalę. Inżynierowie morscy używają systemów współrzędnych, aby zlokalizować punkty na morzu.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
