Podstawowe funkcje trygonometryczne to sin i cos, które odnoszą się do kątów i proporcji boków trójkąta prostokątnego. Sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwległej, a cosinus kąta to stosunek przyprostokątnej do przeciwległej. Są to podstawowe tożsamości zdefiniowane dla kątów ostrych. Rozszerzenie tych stosunków na dowolny kąt w mierze radianów nazywamy funkcją trygonometryczną. Sinus jest dodatni w pierwszym i drugim ćwiartce, a cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce. Zakres funkcji sinus i cosinus wynosi [-1,1] w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Czym są wzory sinusa i cosinusa?

Jeśli (x, y) jest punktem na okręgu jednostkowym, a promień od początku (0, 0) do (x, y) tworzy kąt θ z dodatnią osią, to x i y spełniają twierdzenie Pitagorasa x2 + y2 = 1, gdzie x i y tworzą długości boków trójkąta prostokątnego. Stąd podstawowy wzór sin cos staje się cos2θ + sin2θ = 1.

Wzory sinusa i cosinusa

Istnieje wiele tożsamości związanych z sinusem i cosinusem, które są stosowane w funkcjach trygonometrycznych. Wszystkie wyrażenia trygonometryczne są prostsze do obliczenia przy użyciu tych wzorów trygonometrycznych. Omówmy je szczegółowo.

Dla każdego ostrego kąta θ funkcje dla kątów ujemnych są:

sin(-θ) = – sinθ
cos(-θ) = cosθ

Tożsamości wyrażające funkcje trygonometryczne w terminach ich dopełnień:

cosθ = sin(90° – θ)
sinθ = cos(90° – θ)

Wzory sumy i różnicy sinusa i cosinusa

Kąt, który składa się z sumy lub różnicy dwóch lub więcej kątów, nazywamy kątem złożonym. Oznaczmy kąty złożone jako α i β. Istnieją wzory sinusa i cosinusa odnośnie kątów złożonych, które pozwalają na rozwijanie lub upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych. Przeanalizujmy je.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

CZYTAĆ: Pole trapezu - wzór, przykłady, definicja, pochodzenie

Transformacja wzorów sinusa i cosinusa

Istnieje kilka tożsamości, które wybieramy z jednej strony równania i dokonujemy podstawień, aż do momentu, gdy ta strona zostanie przekształcona na drugą stronę. Aby zweryfikować tożsamość, przepisujemy dowolną stronę równania i przekształcamy ją na drugą stronę. Z powyższych wzorów sumy i różnicy wyodrębniamy wzory iloczynu na sumę i sumy na iloczyn.

Wzory iloczynu na sumę

Wzory iloczynu na sumę stosujemy, gdy mamy dany iloczyn cosinusów. Wyrażamy iloczyn jako sumę lub różnicę, piszemy wzór, podstawiamy zadane kąty i ostatecznie upraszczamy.

2 sin α cos β = sin (α +β) + sin (α – β)
2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = cos (α – β) – cos (α + β)

Wzory sumy na iloczyn pozwalają nam wyrażać sumy sinusa lub cosinusa jako iloczyny. Poniżej podajemy te wzory:

sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)
sin α – sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2)
cos α + cos β= 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)
cos α – cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)

Pochodzenie wzorów iloczynu na sumę

Tutaj wyrażamy iloczyny cosinusa i sinusa jako sumę. Wzory iloczynu na sumę możemy wydedukować z tożsamości sumy i różnicy dla cosinusa. Jeśli dodamy dwie równania, otrzymamy:

cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α − β)

+ cosα cosβ − sinα sinβ = cos(α + β)

––—————————-––————-

2cosα cosβ = cos(α−β) + cos(α + β)

––—————————-––————-

Następnie dzielimy przez 2 i wyodrębniamy iloczyn cosinusów: cosα cosβ = (1/2)[cos(α−β) + cos(α+β)]

Podobnie, pozostałe wzory można wyodrębnić, wyrażając iloczyny jako

Pochodzenie wzorów sumy na iloczyn

Istnieje kilka problemów, które wymagają odwrócenia wzorów iloczynu na sumę. Zobaczmy, jak uzyskać te wzory sumy na iloczyn. W tym celu użyjmy kilku podstawień, takich jak (u+v)/2 = α, (u-v)/2 = β.

CZYTAĆ: Promień Okręgu - Formula | Co to jest promień?

Następnie α + β = [(u+v)/2] + [(u- v)/2] = u oraz α – β = [(u + v)/2] – [(u- v)/2] = v.

Zacznijmy od wzoru sumy na iloczyn. Podstawmy α i β w formule iloczynu na sumę.

Rozważmy (sinα cosβ) = (1/2)[sin(α + β) + sin(α – β)]

Podstawiając α+β i α-β, otrzymujemy:

sin((u+v)/2) cos ((u-v)/2) = 1/2[sinu + sin v]

2sin((u+v)/2)) cos ((u-v)/2) = sinu + sin v

Podobnie, pozostałe wzory sumy na iloczyn można wyodrębnić.

Wzory sinusa i cosinusa dla wielu kątów

Mamy wzory na podwójne i potrójne kąty oraz wzory na połowę kąta, jak przedstawiono poniżej:

sin 2θ = 2 sinθ cosθ
sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ
cos 2θ = 2cos2θ – 1
cos 2θ = 1- 2sin2 θ
cos 3θ = 4 cos3θ – 3cosθ
sin (θ/2) = ± √((1- cosθ)/2)
cos (θ/2) = ± √((1+ cosθ)/2)
sin θ = 2tan (θ/2) /(1 + tan2 (θ/2))
cos θ = (1-tan2 (θ/2))/(1 + tan2 (θ/2))

Proste wizualizacje pomogą Ci zrozumieć trudne koncepcje.

Matematyka nie będzie już trudnym przedmiotem, zwłaszcza gdy zrozumiesz koncepcje za pomocą wizualizacji.

Zarezerwuj bezpłatną lekcję próbną.

Przykłady wykorzystania wzorów sinusa i cosinusa

Przykład 1:

Jeśli sin X = 1/2 i cos Y = 3/4, to oblicz cos(X+Y).

Rozwiązanie:

Znamy wzór na cos(X+Y) = cos X cos Y – sin X sin Y.

Dane sin X = 1/2.

Wiemy, że cos X = √(1 – sin2X) = √(1 – (1/4)) = √3/2.

Zatem cos X = √3/2.

Dane cos Y = 3/4.

Wiemy, że sin Y = √(1 – cos2Y) = √(1 – (9/16)) = √7/4.

Zatem sin Y = √7/4.

cos X = √3/2, a sin Y = √7/4.

Zastosowanie wzoru na sumę cosinusa, mamy cos(X+Y) = (√3/2) × (3/4) – 1/2 × (√7/4) = (3√3 – √7)/8.

Odpowiedź: cos(X+Y) = (3√3 – √7)/8.

Przykład 2:

Jeśli sin θ = 3/5, to oblicz sin2θ.

CZYTAĆ: Objętość graniastosłupa prostokątnego - Formula, Definicja, Przykłady

Rozwiązanie:

Wiemy, że sin2θ = 2 sin θ cos θ.

Potrzebujemy określić wartość cos θ.

Wykorzystajmy wzór sin cos: cos2θ + sin2θ = 1.

Przepisując, otrzymujemy cos2θ = 1 – sin2θ = 1-(9/25) = 16/25.

Zatem cos θ = 4/5.

sin2θ = 2 sin θ cos θ = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25.

Odpowiedź: sin2θ = 24/25.

Przykład 3:

Dowiedz się, że (cos 4a – cos 2a)/ (sin 4a + sin 2a) = -tan a.

Rozwiązanie:

Wykorzystując wzory sinusa i cosinusa, przepiszmy LHS i przekształćmy go na RHS.

=(−2sin(3a) sina)/(2sin(3a) cosa)

= – sina/cosa = −tan a.

Zatem dowód jest przeprowadzony.

Odpowiedź: (cos 4a – cos 2a)/ (sin 4a + sin 2a) = -tan a.

Jak obliczyć Cos z Sin?

W dowolnym trójkącie prostokątnym, sinus to przeciwległa strona/hipotenusa. Znając te dwie strony, obliczamy przyprostokątną i stosujemy wzór na cosinus, który wynosi przyprostokątna/hipotenusa.