Standardowa forma w matematyce to metoda przedstawiania określonego elementu w najczęściej stosowanym sposobie. Od dużych liczb, poprzez małe liczby, równania, linie, każdy element w matematyce jest oznaczany w standardowej formie. Pozwólmy sobie zatem na zgłębienie tej interesującej koncepcji standardowej formy w różnych elementach matematyki, takich jak ułamki, równania, algebra, nachylenie, wraz z nauką wzoru standardowej formy. Rozwiązywanie przykładów i zrozumienie podstawowej zasady pozwoli na lepsze zrozumienie tej koncepcji.
Standardowa forma – co to jest?
Standardowa forma to sposób zapisu określonego pojęcia matematycznego, takiego jak równanie, liczba lub wyrażenie, zgodnie z pewnymi regułami. Standardowa forma jest stosowana do zwięzłego zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb. Na przykład, 4,5 miliarda lat jest zapisywane jako 4 500 000 000 lat. Jak widać, zapisanie dużej liczby, takiej jak 4,5 miliarda, w postaci liczby nie tylko jest niejednoznaczne, ale również czasochłonne i istnieje ryzyko, że przy zapisie liczby w postaci liczbowej pominiemy kilka zer lub dodamy ich za dużo. W tym przypadku zapisanie liczby w standardowej formie jest bardzo pomocne. Na przykład, standardowa forma liczby 4 500 000 000 wynosi 4,5 × 109. Nie tylko liczby, ale także ułamki, równania, wyrażenia, wielomiany itp. mogą być zapisane w standardowej formie.
Zapisywanie liczb w standardowej formie
Aby zapisać liczbę w standardowej formie, należy przesunąć przecinek tak, aby pozbyć się wszystkich zer znajdujących się po prawej stronie liczby, a następnie napisać to, co pozostało, z wykorzystaniem notacji mnożenia i potęgowania liczby 10. Liczba wykładnika potęgi 10 oznacza, o ile przesunęliśmy przecinek w lewo lub w prawo.
Przykład:
Zapisz liczbę 0,00000784 w standardowej formie.
Przesuwamy przecinek 7 miejsc w lewo, aby pozbyć się zer:
0,00000784 = 7,84 × 10-6
Zastosowanie standardowej formy
Zastosowanie standardowej formy ułatwia zapis i odczytanie liczb oraz innych pojęć matematycznych. Jest to szczególnie przydatne w dziedzinach nauki, takich jak astronomia, geologia i fizyka, gdzie bardzo duże lub bardzo małe liczby są powszechne.
Standardowa forma liczb
Standardowa forma liczb (znana również jako „notacja naukowa” liczb) ma różne znaczenia w zależności od kraju, w którym się znajdujesz. W Wielkiej Brytanii i krajach stosujących konwencje brytyjskie, standardowa forma to inna nazwa notacji naukowej. Notacja naukowa polega na zapisywaniu bardzo dużych lub bardzo małych liczb za pomocą liczb między 1 a 10 pomnożonych przez potęgę liczby 10. Na przykład liczba 3890 jest zapisywana jako 3,89 × 103. W przypadku liczb większych niż 1 stosujemy dodatnie potęgi liczby 10, a w przypadku liczb mniejszych niż 1 stosujemy ujemne potęgi liczby 10. Na przykład liczba 0,0451 jest zapisywana jako 4,51 × 10-2.
CZYTAĆ: Ekscentryczność – Znaczenie, Definicja Formula ekscentryczności
Standardowa forma liczb w Stanach Zjednoczonych i krajach stosujących konwencje amerykańskie
W Stanach Zjednoczonych i krajach stosujących konwencje amerykańskie, standardowa forma to zwykły sposób zapisywania liczb w postaci dziesiętnej. Przy użyciu tego samego przykładu:
- Standardowa forma = 3890
- Forma rozwinięta = 3000 + 800 + 90
- Forma pisemna = Trzy tysiące osiemset dziewięćdziesiąt
Przykład:
Zapisz liczbę 0,0000451 w standardowej formie.
Ponieważ liczba jest mniejsza niż 1, użyjemy ujemnej potęgi liczby 10 i przesuniemy przecinek 4 miejsca w prawo, aby pozbyć się zer:
0,000451 = 4,51 × 10-5
Standardowa forma ułamków
W przypadku ułamków należy upewnić się, że w standardowej formie ułamka licznik i mianownik są względnie pierwsze. Oznacza to, że nie mają żadnego wspólnego czynnika poza 1, dlatego standardowa forma jest nazywana również najprostszą formą ułamka. Na przykład 14/22 i 13/6. Najprostsza forma 14/22 to 7/22, a 13/6 jest już w najprostszej formie, ponieważ 13 i 6 są względnie pierwsze.
Standardowa forma równań
Standardowa forma równania to taka forma, w której zero jest po prawej stronie, a wszystko inne po lewej. Innymi słowy, równanie ma postać:
Topór + By = C
Gdzie A, B i C są stałymi, a x i y to zmienne.
Standardowa forma równań dla wielomianów
Wielomiany mają standardowe formy równań, które są przydatne podczas rozwiązywania równań wielomianowych. W przypadku wielomianów stopnia 1, standardowa forma równania ma postać:
topór + b = 0
W przypadku wielomianów stopnia 2, standardowa forma równania ma postać:
topór 2 + bx + do = 0
Standardowa forma wielomianu
Standardowa forma wielomianu jest zapisana w kolejności malejącej wykładników, co ułatwia obliczenia. Wielomian jest w standardowej formie, jeśli jest wyrażony w taki sposób, że wyraz o najwyższym stopniu jest umieszczony pierwszy, a następnie kolejno wyrazy z mniejszymi stopniami. Istnieją dwie proste zasady zapisywania wielomianu w standardowej formie:
- Zapisz wyrazy w kolejności malejącej ich stopni (nazywanych również wykładnikami).
- Upewnij się, że wielomian nie zawiera podobnych wyrazów.
Zatem standardowa forma wielomianu ma postać anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x1 + a0. Na przykład standardowa forma równania y2 + 7y6 – 8y – y9 jest zapisana jako -y9 + 7y6 + y2 – 8y.
Na razie DU
Zasada D-U to podstawowa zasada zapisywania wielomianu w standardowej formie. D oznacza Malejąco (Descending) i U oznacza Niepodobne wyrazy (Unlike terms). Oznacza to, że wyrazy w wielomianie muszą być ułożone malejąco według wykładników, a także nie mogą mieć podobnych wyrazów.
CZYTAĆ: Rozkładanie na Czynniki Trójmianów – Definicja, Reguły, Metody, Formula, Przykłady
Standardowa forma równania liniowego
Standardowa forma równania liniowego, znana również jako forma ogólna, jest jednym z sposobów zapisywania równań liniowych. Równanie liniowe można zapisać w różnych formach, takich jak standardowa forma, forma nachylenia-przecięcia oraz forma punktowa. Standardowa forma równania liniowego jest wyrażona na dwa sposoby, z jedną zmienną lub z dwoma zmiennymi. Standardowa forma równania liniowego z jedną zmienną jest wyrażona jako ax + b = 0, gdzie a i b są stałymi, a litera x jest zmienną. Standardowa forma równania liniowego z dwoma zmiennymi jest wyrażona jako ax + by = c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a litery x i y są zmiennymi. Zobacz obrazek poniżej.
Przykład:
Przekształć dwie linie na standardową formę równania liniowego ax + by = c.
- Linia 1: x + y = 7, czyli 1x +1y = 7. Tutaj a = 1, b = 1, c = 7.
- Linia 2: y = 3x, czyli 3x -1y = 0. Tutaj a = 3, b = -1, c = 0.
Stąd wynika, że standardowa forma równania liniowego to ax + by = c.
Standardowa forma nachylenia linii
Nachylenie linii definiuje się jako zmianę współrzędnej y w stosunku do zmiany współrzędnej x na tej linii. Do reprezentacji linii w sposób geometryczny używana jest standardowa forma równania liniowego (wymieniona powyżej). Aby określić nachylenie linii wyrażonej graficznie, równanie musi zostać przekształcone na formę nachylenia-przecięcia. Aby to zrobić, równanie musimy rozwiązać dla y, a standardowa forma nachylenia jest wyrażona jako y = mx + c, gdzie m to nachylenie linii. Ta formuła jest stosowana, gdy linia jest prosta.
Jeśli na płaszczyźnie są dwie punkty, to nachylenie może być zdefiniowane jako stosunek zmiany wartości y do zmiany wartości x. Standardowa forma nachylenia linii jest wyrażona jako m = (y2 – y1) / (x2 – x1). Obrazek poniżej przedstawia oba punkty na wykresie.
Standardowa forma równań kwadratowych
Standardowa forma równania kwadratowego w zmiennej x ma postać ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0, a, b i c to liczby rzeczywiste. Tutaj b i c mogą być zerami lub liczbami niezerowymi.
Oprócz standardowej formy równania kwadratowego, równanie kwadratowe można zapisać w kilku innych formach.
- Forma wierzchołkowa: a (x – h)2 + k = 0
- Forma przecięcia: a (x – p)(x – q) = 0
Parabola to graf funkcji kwadratowej, która odnosi się do równania krzywej, taka że punkt na krzywej jest odległy od ustalonego punktu i linii prostej. Ustalony punkt nazywany jest ogniskiem paraboli, a linia prosta nazywana jest kierunkiem paraboli. Poniższe wykresy przedstawiają dwie typowe parabole; ich punkty przecięcia z osiami x i y są oznaczone zielonymi kropkami, a wierzchołek każdej paraboli jest oznaczony niebieską kropką.
CZYTAĆ: Pole trójkąta – wzór, jak obliczyć pole trójkąta
Wykres będzie miał jedną z dwóch kształtów, jak pokazano powyżej.
- Jeśli a > 0, reprezentuje pierwszą parabolę (figura 1), która otwiera się w górę (kształt litery „U”).
- Jeśli a < 0, otrzymujemy parabolę, która otwiera się w dół (odwrócony kształt litery „U”), jak pokazano na rysunku 2.
Gdy podstawimy y = 0 w powyższym równaniu, otrzymujemy punkt przecięcia z osią x, który jest również nazywany pierwiastkami równania. Znalezienie pierwiastków pozwala nam na znalezienie punktu przegięcia paraboli, a pionowa linia, która jest rysowana od punktu przegięcia, nazywana jest osią symetrii. Zobacz obrazek poniżej dla odniesienia.
Standardowa Formuła
Standardowa formuła reprezentuje standardową formę równania, która jest powszechnie akceptowaną formą równania. Formuła do reprezentowania standardowej formuły jest oparta na stopniu równania.
Standardowa Forma Równań Liniowych
Standardowa forma równania liniowego to podstawowa forma równania. Poniżej przedstawiona jest standardowa forma równania liniowego z dwiema lub więcej zmiennymi. Tutaj x, y lub x1, x2, x3, … reprezentują zmienne, a, b, a1, a2, a3, …….. an to współczynniki. Liczby umieszczone po prawej stronie znaku równości nazywane są stałymi.
- topór + przez = c
- a1 x 1 + a2 x2 + a3 x3 + …….. + an xn = re
Standardowa Forma Równań Kwadratowych
Standardowa forma równania kwadratowego to równanie drugiego stopnia, które ma zmienną, współczynniki i wyraz stały. Tutaj mamy pojedynczą zmienną x stopnia 2. Standardowa forma równania kwadratowego to ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0.
Ponadto, mamy standardowe formuły dla równań o wyższych stopniach. Również w geometrii współrzędnych, mamy standardową formę dla różnych reprezentacji geometrycznych, takich jak prosta, koło, elipsa, hiperbola i parabola.
Standardowa Formuła dla Geometrii Współrzędnych
- Prosta: ax + by = c, gdzie a to liczba całkowita dodatnia, a b i c to liczby całkowite.
- Koło: (x – h)2 + (y – k)2 = (r)2, gdzie (h, k) to środek koła, a r to promień.
- Elipsa: x2/a2 + y2/b2 = 1
- Hiperbola: (x-x0)2/a2 – (y-y0)2/b2 = 1, gdzie x0, x0 to punkty środkowe, a = półoś większa i b = półoś mniejsza.
- Parabola: (x – h)2 = 4p(y – k)
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_form
