Ekscentryczność jakiejkolwiek krzywej charakteryzuje jej kształt, niezależnie od jej wielkości. Cztery krzywe, które powstają, gdy płaszczyzna przecina podwójnie stożek, to koło, elipsa, parabola i hiperbola. Ich cechy są kategoryzowane na podstawie kształtów, które są określane przez interesujący czynnik zwany ekscentrycznością. Koła mają ekscentryczność równą zero, a parabole mają ekscentryczność jednostkową. Elipsy i hiperbole mają zmienną ekscentryczność. Dowiedzmy się więcej szczegółów na temat obliczania ekscentryczności sekcji stożkowych.
Co to jest Ekscentryczność?
Ekscentryczność sekcji stożkowych definiowana jest jako stosunek odległości od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do ogniska do prostopadłej odległości od tego punktu do najbliższej kierownicy. Dla każdej sekcji stożkowej ekscentryczność jest równa odległości dowolnego punktu na krzywej do jej ogniska ÷ odległość tego samego punktu do jej kierownicy = stała. Ta stała wartość jest nazywana ekscentrycznością, oznaczaną przez e. Ekscentryczność krzywej kształtu zakrzywionego określa, jak zaokrąglony jest kształt. Zakrzywienia zmniejszają się wraz ze wzrostem ekscentryczności.
Wartości Ekscentryczności
Jeśli ekscentryczności są duże, krzywe są mniej zaokrąglone. Stąd wnioskujemy, że zakrzywienia tych sekcji stożkowych maleją wraz ze wzrostem ich ekscentryczności.
- Ekscentryczność koła = 0
- Ekscentryczność elipsy = pomiędzy 0 a 1
- Ekscentryczność paraboli = 1
- Ekscentryczność hiperboli > 1
- Ekscentryczność linii = nieskończoność
Wzór na Ekscentryczność
Planety krążą wokół Ziemi po eliptycznej orbicie. Ekscentryczność orbity Ziemi (e = 0,0167) jest mniejsza w porównaniu z Marsa (e=0,0935). Im bardziej wartość ekscentryczności oddala się od zera, tym kształt wygląda mniej jak koło. Podczas gdy elipsa i hiperbola mają dwa ogniska i dwie kierownice, parabola ma jedno ognisko i jedną kierownicę. Ich wzory ekscentryczności są podane w odniesieniu do ich półosi wielkiej (a) i półosi małej (b) w przypadku elipsy oraz a = półoś przesunięta, a b = półoś sprzężona w przypadku hiperboli. Wzór na ekscentryczność wynosi:
Ekscentryczność = Odległość do ogniska / Odległość do kierownicy.
e = c/a
Gdzie:
- e = ekscentryczność
- c = odległość od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do jej ogniska
- a = odległość od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do jej kierownicy
Ekscentryczność elipsy
Elipsa to zbiór wszystkich punktów w płaszczyźnie, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk) w płaszczyźnie jest stała. Ekscentryczność elipsy to stosunek odległości od jej środka do jednego z ognisk i do jednego z wierzchołków. e = c/a. Wiemy, że c = \(\sqrt{a^2-b^2}\).
Jeśli a > b, e = \(\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)
Jeśli a < b, e = \(\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\)
Gdzie:
- a = półoś główna
- b = półoś poboczna
- c = odległość od środka elipsy do jednego z ognisk.
Ekscentryczność elipsy wynosi 0 ≤ e < 1.
Ekscentryczność Koła
Zbiór wszystkich punktów w płaszczyźnie, które są równoodległe od ustalonego punktu (środka) w płaszczyźnie, nazywa się kołem. Koło jest elipsą, w której oba ogniska pokrywają się z jej środkiem. Ponieważ ogniska znajdują się w tym samym punkcie, dla koła odległość od środka do ogniska wynosi zero. Ta ekscentryczność nadaje kołu jego okrągły kształt. Dlatego ekscentryczność każdego koła wynosi 0.
Ekscentryczność Paraboli
Parabola to zbiór wszystkich punktów w płaszczyźnie, które są równoodległe od ustalonej linii (kierownicy) i ustalonego punktu (ogniska). Krzywa paraboli powstaje, gdy ekscentryczność e = 1. To nadaje paraboli kształt litery U. Dlatego ekscentryczność paraboli zawsze wynosi 1.
Ekscentryczność Hiperboli
Hiperbola to zbiór wszystkich punktów, których różnica odległości od dwóch ustalonych punktów w płaszczyźnie (ognisk) jest stała. W hiperboli 2a to długość osi przesuniętej, a 2b to długość osi sprzężonej. Odległość między dwoma ogniskami wynosi 2c. Podobnie jak w przypadku elipsy, hiperbola ma ekscentryczność, która jest stosunkiem c do a. Ponieważ c ≥ a, ekscentryczność nigdy nie jest mniejsza niż 1. Ekscentryczność hiperboli wynosi e = \(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\). Odległość między dwoma ogniskami wynosi 2ae.
Jaki jest wzór na Ekscentryczność?
Ekscentryczność sekcji stożkowej to odległość dowolnego punktu na niej do jej ogniska / odległość tego samego punktu do jej kierownicy. Wzór na ekscentryczność to e = c/a, gdzie c = √(a2+b2), a:
- c = odległość od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do jej ogniska
- a= odległość od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do jej kierownicy
Jaka jest Ekscentryczność elipsy?
Ekscentryczność elipsy wynosi od 0 do 1. Ekscentryczność elipsy to stosunek odległości od środka elipsy do jednego z jej ognisk i do jednego z jej wierzchołków. Gdy ekscentryczność wynosi 0, elipsa staje się kołem, a gdy wynosi 1, staje się parabolą.
Jaka jest Ekscentryczność koła?
Ekscentryczność koła zawsze wynosi 0.
Jaka jest Ekscentryczność paraboli?
Ekscentryczność paraboli zawsze wynosi 1. Odległość dowolnego punktu na paraboli od jej ogniska i prostopadła odległość tego samego punktu od jej kierownicy są równe. W związku z tym c = a. Stąd wynika, że ekscentryczność e = c/a wynosi 1.
Dlaczego Ekscentryczność koła wynosi zero?
Ekscentryczność koła zawsze wynosi zero, ponieważ ogniska koła pokrywają się w jego środku.
Co się dzieje, gdy ekscentryczność wynosi 1?
Gdy ekscentryczność wynosi 1, krzywa jest parabolą.
Jak obliczyć Ekscentryczność sekcji stożkowej?
Ekscentryczność jest obliczana przez znalezienie stosunku odległości od dowolnego punktu na sekcji stożkowej do jej ogniska do prostopadłej odległości od punktu do jej kierownicy.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Eccentricity_(mathematics)
