Funkcje matematyczne można porównać do działania maszyny do sprzedaży napojów. Kiedy wpłacamy określoną ilość pieniędzy, możemy wybierać różne rodzaje napojów. Podobnie w przypadku funkcji wprowadzamy różne liczby i otrzymujemy nowe liczby jako wynik. Domena i zbiór wartości są głównymi aspektami funkcji.
Można użyć monet o nominale ćwierć dolara lub banknotów o nominale jeden dolar do zakupu napoju. Maszyna nie wyda nam żadnego smaku napoju, jeśli wprowadzimy centy. Domena reprezentuje zatem możliwe wejścia, które tu mamy, czyli monety o nominale ćwierć dolara lub banknoty o nominale jeden dolar.
Niezależnie od kwoty, którą wpłacimy, nie otrzymamy z maszyny do sprzedaży napojów burgera z serem. Zbiór wartości to zatem możliwe wyjścia, które tu mamy, czyli smaki napojów w maszynie.
Nauczmy się teraz znajdować dziedzinę i zbiór wartości funkcji, a także je graficznie przedstawiać.

Czym jest Domena i Zbiór Wartości?

Domena i zbiór wartości w relacji to zbiory wszystkich współrzędnych x i y, odpowiednio, uporządkowanych par. Na przykład, jeśli relacja to, R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 3)}, to:

Domena = zbiór wszystkich współrzędnych x = {1, 2, 3, 4}
Zbiór wartości = zbiór wszystkich współrzędnych y = {2, 3}

Możemy to zwizualizować tutaj:

Zastosowanie koncepcji Domeny i Zbioru Wartości dla funkcji

Koncepcja domeny i zbioru wartości jest dalej implementowana dla funkcji.

Jak znaleźć Domenę i Zbiór Wartości funkcji?

Aby znaleźć domenę i zbiór wartości funkcji, należy zidentyfikować wszystkie możliwe wartości wejściowe i wyjściowe dla funkcji.

Na przykład, rozważmy funkcję f(x) = x^2. W tym przypadku, domena składa się ze wszystkich możliwych wartości x, podczas gdy zbiór wartości składa się ze wszystkich możliwych wartości f(x), czyli kwadratów liczby x.

Możemy również przedstawić to graficznie, co pomaga wizualizować relację między wartościami wejściowymi a wyjściowymi dla funkcji.

Domena i Zbiór Wartości funkcji

Domena i zbiór wartości funkcji to elementy funkcji. Domena to zbiór wszystkich wartości wejściowych funkcji, a zbiór wartości to możliwe wartości wyjściowe dane przez funkcję. Domena → Funkcja → Zbiór Wartości. Jeśli istnieje funkcja f: A → B, taka że każdy element zbioru A jest odwzorowany na elementy zbioru B, to A jest domeną, a B jest przeciwdziedziną. Obrazem elementu 'a’ w relacji R jest element 'b’, gdzie (a, b) ∈ R. Zbiór wartości funkcji to zbiór obrazów elementów ze zbioru A. Domena i zbiór wartości funkcji są ogólnie oznaczane jako: Domena(f) = {x ∈ R : Warunek} i Zbiór Wartości(f) = {f(x) : x ∈ Domena(f)}

Domena i Zbiór Wartości funkcji f(x) = 2x

Domena i zbiór wartości tej funkcji f(x) = 2x wynoszą odpowiednio: Domena D = {x ∈ N} , Zbiór Wartości R = {y ∈ N: y = 2x}.

Możemy to przedstawić jako:

Domena(f) = {x ∈ N}
Zbiór Wartości(f) = {y ∈ N : y = 2x}

Gdzie D oznacza wszystkie możliwe wartości x, które można wprowadzić do funkcji f(x) = 2x, a R oznacza wszystkie możliwe wartości wyników, które można uzyskać poprzez podanie wartości wejściowych do funkcji.

Domena funkcji

Domena funkcji odnosi się do „wszystkich wartości”, które można wprowadzić do funkcji bez uzyskania nieokreślonych wartości. Domena w matematyce to zbiór wszystkich możliwych wejść do funkcji. Rozważmy powyższą funkcję f(x) = 2x. Przy wprowadzeniu wartości x = {1,2,3,4,…}, domena to po prostu zbiór liczb naturalnych. Ale ogólnie (jeśli domena nie jest określona jako liczby naturalne), f(x) = 2x jest zdefiniowana dla wszystkich wartości rzeczywistych x i zatem jej dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczony przez (-∞, ∞). Poniżej przedstawione są ogólne wzory stosowane do znajdowania dziedziny różnych typów funkcji. Tutaj R to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

CZYTAĆ: Kąty Pionowe - Twierdzenie, Dowód, Kąty Przeciwnopodstawowe

Zasady znajdowania Domeny funkcji

Domena dowolnej funkcji wielomianowej (liniowej, kwadratowej, sześciennej, itp.) to ℝ (wszystkie liczby rzeczywiste).
Domena funkcji pierwiastka kwadratowego √x to x ≥ 0.
Domena funkcji wykładniczej to ℝ.
Domena funkcji logarytmicznej to x>0.
Aby znaleźć dziedzinę funkcji wymiernej y = f(x), ustawianie mianownika ≠ 0.

Jak znaleźć Domenę funkcji?

Aby znaleźć dziedzinę funkcji, należy po prostu zastosować jedną z powyższych zasad znajdowania dziedziny w zależności od typu funkcji. Oto kilka przykładów:

Przykład 1:

Aby znaleźć dziedzinę funkcji f(x) = √(x + 3), stosujemy zasadę 2 wymienioną powyżej. Następnie otrzymujemy: x + 2 ≥ 0. Rozwiązując nierówność, otrzymujemy x ≥ -2. Zatem dziedzina f(x) to [-2, ∞).

Przykład 2:

Aby obliczyć dziedzinę funkcji g(x) = (2x + 1) / (x – 2), stosujemy zasadę 5 wymienioną powyżej. Następnie otrzymujemy x – 2 ≠ 0. Rozwiązując to, otrzymujemy x ≠ 2. Zatem jej dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 2, który w notacji przedziałowej może być zapisany jako (-∞, 2) ∪ (2, ∞).

Zbiór Wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich jej wyników. Przykład: Rozważmy funkcję f: A → B, gdzie f(x) = 2x i każde A i B = {zbiór liczb naturalnych}. Tutaj mówimy, że A to dziedzina, a B to przeciwdziedzina. Wtedy wynik tej funkcji staje się zbiorem wartości. Zbiór wartości = {zbiór parzystych liczb naturalnych}. Elementy dziedziny nazywane są przedobrazami, a elementy przeciwdziedziny, które są odwzorowane, nazywane są obrazami. Tutaj zbiór wartości funkcji f to zbiór wszystkich obrazów elementów dziedziny (lub) zbiór wszystkich wyników funkcji.

Zasady znajdowania Zbioru Wartości funkcji

Najlepszym sposobem na określenie zbioru wartości funkcji jest narysowanie jej wykresu i sprawdzenie wartości y, którą wykres obejmuje. Ale poniżej przedstawione są ogólne zasady stosowane do znajdowania zbioru wartości niektórych popularnych funkcji. Zauważ, że ℝ to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Zbiór wartości funkcji liniowej to ℝ.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej y = a(x – h)2 + k to:
- y ≥ k, jeśli a > 0 i
- y ≤ k, jeśli a < 0
Zbiór wartości funkcji pierwiastka kwadratowego to y ≥ 0.
Zbiór wartości funkcji wykładniczej to y > 0.
Zbiór wartości funkcji logarytmicznej to ℝ.
Aby znaleźć zbiór wartości funkcji wymiernej y = f(x), rozwiąż ją dla x i ustaw mianownik ≠ 0.

Jak znaleźć Zbiór Wartości funkcji?

Jeśli funkcja znajduje się w jednej z funkcji wymienionych w powyższych zasadach, możemy od razu zastosować zasady i znaleźć jej zbiór wartości. W przeciwnym razie możemy narysować jej wykres i sprawdzić wartości y, jakie obejmuje, aby obliczyć zbiór wartości. Oto kilka przykładów:

Przykład 1:

Aby obliczyć zbiór wartości funkcji f(x) = 2 (x – 3)2 – 5, stosujemy zasadę 1 wymienioną powyżej. Następnie jej zbiór wartości wynosi y ≥ -5 (lub) [-5, ∞).</

Jak obliczyć Dziedzinę i Zbiór Wartości?

Załóżmy, że X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Rozważ funkcję f: X → Y, gdzie R = {(x,y) : y = x+1}.

Dziedzina = wartości wejściowe. Zatem Dziedzina = X = {1, 2, 3, 4, 5}
Zbiór wartości = wartości wyjściowe funkcji = {1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 5 + 1} = {2, 3, 4, 5, 6}

Zwróć uwagę, że Y jest przeciwdziedziną, ale NIE jest zbiorem wartości.

Zrozummy dziedzinę i zbiór wartości niektórych specjalnych funkcji, biorąc pod uwagę różne rodzaje funkcji.

Dziedzina i Zbiór Wartości funkcji wykładniczej

Funkcja y = ax, a ≥ 0 jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Zatem dziedzina funkcji wykładniczej to cała linia rzeczywista. Funkcja wykładnicza zawsze daje wartość dodatnią. Zatem zbiór wartości funkcji wykładniczej o postaci y = ax to {y ∈ ℝ: y > 0}. Zatem, Dziedzina = ℝ, Zbiór Wartości = (0, ∞).

Przykład: Spójrz na wykres tej funkcji f: 2x

Zauważ, że wartość funkcji jest bliższa 0, gdy x dąży do ∞, ale nigdy nie osiągnie wartości 0. Dziedzina i zbiór wartości funkcji wykładniczej są określone następująco:

Dziedzina: Dziedzina funkcji to zbiór ℝ.
Zbiór wartości: Funkcja wykładnicza zawsze daje dodatnie wartości rzeczywiste.

Dziedzina i Zbiór Wartości funkcji trygonometrycznych

Spójrz na wykres funkcji sinus i cosinus. Zauważ, że wartości funkcji oscylują między -1 a 1 i są zdefiniowane dla wszystkich liczb rzeczywistych.

CZYTAĆ: Różnice między statystyką opisową a wnioskową - przykłady

Zatem dla każdej z funkcji sinus i cosinus:

Dziedzina: Dziedzina funkcji to zbiór ℝ (lub) (-∞, +∞).
Zbiór wartości: Zbiór wartości funkcji to [-1, 1].

Dziedzina i zbiór wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych przedstawiono poniżej:

Funkcja Trygonometryczna	Dziedzina	Zbiór Wartości
sin θ	(-∞, +∞)	[-1, +1]
cos θ	(-∞ +∞)	[-1, +1]
tan θ	ℝ – (2n + 1)π/2	(-∞, +∞)
cot θ	ℝ – nπ	(-∞, +∞)
sec θ	ℝ – (2n + 1)π/2	(-∞, -1] U [+1, +∞)
cosec θ	ℝ – nπ	(-∞, -1] U [+1, +∞)

Dziedzina i Zbiór Wartości funkcji wartości bezwzględnej

Funkcja y = |ax + b| jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Zatem dziedzina funkcji wartości bezwzględnej to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Wartość bezwzględna liczby zawsze daje wartość nieujemną. Zatem zbiór wartości funkcji wartości bezwzględnej y = |ax+b| to {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji wartości bezwzględnej są przedstawione poniżej:

Dziedzina = ℝ
Zbiór wartości = [0, ∞)

Przykład: Oblicz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x) = |6 – x|.

Dziedzina: Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli ℝ.
Zbiór wartości: Zbiór wartości tej funkcji to [0, ∞).

Domena i dziedzina funkcji pierwiastka kwadratowego

Czym jest funkcja pierwiastka kwadratowego?

Funkcja pierwiastka kwadratowego jest postaci f(x) = √(ax+b). Ważne jest, aby pamiętać, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany. Dlatego funkcja y= √(ax+b) jest zdefiniowana tylko wtedy, gdy ax + b ≥ 0. Rozwiązując to nierówność dla x, otrzymujemy x ≥ -b/a.

Domena funkcji pierwiastka kwadratowego

Domena funkcji pierwiastka kwadratowego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych lub równych -b/a. Funkcja pierwiastka kwadratowego zawsze daje wartość nieujemną. Dlatego dziedziną funkcji pierwiastka kwadratowego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych lub równych -b/a.

Dziedzina funkcji pierwiastka kwadratowego

Warto pamiętać, że pierwiastek kwadratowy zawsze daje wartość nieujemną. Zatem dziedziną funkcji pierwiastka kwadratowego jest zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych.

Przykład

Przykładem funkcji pierwiastka kwadratowego jest funkcja h(x) = 2- √(-3x+2). Aby obliczyć jej dziedzinę i dziedzinę, należy przeprowadzić następujące obliczenia.

Domena: Funkcja pierwiastka kwadratowego jest zdefiniowana tylko wtedy, gdy wartość wewnątrz pierwiastka jest liczbą nieujemną. Dlatego dla dziedziny,
-3x+2 ≥ 0
-3x ≥ -2
x ≤ 2/3
Zatem dziedziną funkcji h(x) jest (-∞, 2/3].

Dziedzina: Wiemy już, że funkcja pierwiastka kwadratowego daje wartość zawsze nieujemną.
√(-3x+2) ≥ 0
Mnożąc obie strony przez -1
-√(-3x+2) ≤ 0
Dodając 2 do obu stron
2-√(-3x+2) ≤ 2
y≤ 2
Zatem dziedziną funkcji h(x) jest (-∞, 2].

Domena i dziedzina na podstawie wykresu funkcji

Wprowadzenie

Znalezienie dziedziny i dziedziny funkcji na podstawie wykresu jest bardzo łatwe. Zbiór wartości x pokrytych przez wykres funkcji daje dziedzinę, a zbiór wartości y pokrytych przez wykres daje dziedzinę. Należy jednak pamiętać o kilku ważnych rzeczach podczas wyznaczania dziedziny i dziedziny na podstawie wykresu.

Zasady wyznaczania dziedziny i dziedziny funkcji na podstawie wykresu

Należy zwrócić uwagę na następujące kwestie, podczas wyznaczania dziedziny i dziedziny na podstawie wykresu funkcji:

Sprawdź, czy wykres funkcji spełnia warunek testu pionowej linii. W przeciwnym razie, nie jest to funkcja i zwykle nie definiuje się dziedziny i dziedziny dla takich krzywych.
Jeśli na wykresie funkcji znajduje się jakaś dziura, to jej współrzędne nie powinny być w dziedzinie i dziedzinie.
Jeśli istnieje asymptota pionowa, to odpowiadająca jej wartość x nie powinna się tam znajdować w dziedzinie.
Jeśli istnieje asymptota pozioma, to odpowiadająca jej wartość x nie powinna się tam znajdować w dziedzinie.
Jeśli wykres funkcji jest podzielony na części, otrzymujemy wiele zbiorów/odcinków w dziedzinie i dziedzinie, a wszystkie takie zbiory/odcinki łączymy za pomocą symbolu „suma” (∪).
Jeśli na końcu krzywej znajduje się strzałka, oznacza to, że krzywa powinna być nieskończenie przedłużona w tej konkretnej kierunku.

Przykład

Poniżej przedstawiony jest przykład wykresu funkcji, a my wyznaczymy jego dziedzinę i dziedzinę.
Na powyższym wykresie:

Wszystkie wartości x od -∞ do ∞ są pokryte przez wykres (ze względu na strzałki, dwie krzywe rozciągają się nieskończenie w określonych kierunkach). Zatem dziedzina = (-∞, ∞).
Wszystkie wartości y większe lub równe 0 są pokryte przez wykres (zauważ, że żadna część krzywej nie znajduje się poniżej osi y). Zatem dziedzina = [0, ∞).

Ważne uwagi na temat dziedziny i dziedziny funkcji

Domena i dziedzina funkcji

Czym jest dziedzina i dziedzina funkcji?

Domena i dziedzina funkcji to odpowiednio zbiory wszystkich możliwych wejść i wyjść funkcji. Innymi słowy, dla dowolnej funkcji y = f(x):

dziedziną jest zbiór wszystkich wartości x, dla których f(x) jest zdefiniowane,
dziedziną jest zbiór wszystkich wartości y, które funkcja f(x) może przyjąć.

CZYTAĆ: Równoległobok - Definicja, wzory, właściwości, przykłady

Jak zapisać dziedzinę i dziedzinę funkcji?

Domenę i dziedzinę funkcji zapisujemy jako zbiory wszystkich możliwych wejść i wyjść funkcji odpowiednio. Ponieważ są to po prostu zbiory, możemy je zapisać zarówno w postaci zbioru rozwiniętego, jak i w postaci notacji zbiorowej. Domena i dziedzina w notacji przedziałowej obejmują nawiasy kwadratowe i okrągłe.

Jak wyznaczyć dziedzinę i dziedzinę na podstawie wykresu?

Domeną funkcji na podstawie wykresu jest zbiór wszystkich wartości x, które obejmuje wykres, a dziedziną funkcji na podstawie wykresu jest zbiór wszystkich wartości y, które obejmuje wykres.

Domena i dziedzina stałej funkcji

Niech stała funkcja będzie postaci f(x) = k. Domeną stałej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ℝ, a dziedziną jest zbiór jednoelementowy, {k}. Domena i dziedzina stałej funkcji wynoszą odpowiednio: domena = ℝ i dziedzina = {k}.

Jeśli funkcja ma wartość minimalną (parabola skierowana w górę), to y ≥ k, jeśli a > 0. Jeśli funkcja ma wartość maksymalną (parabola skierowana w dół), to y ≤ k, jeśli a < 0.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji na podstawie wykresu?

Oś y odpowiada za dziedzinę. Dlatego, aby wyznaczyć dziedzinę na podstawie wykresu, należy spojrzeć na wartości y obejmowane przez wykres. Najwyższe i najniższe wartości wykresu są pomocne w zapisaniu dziedziny na podstawie wykresu.

Definicja dziedziny w matematyce

Czym jest dziedzina w matematyce?

Dziedzina w matematyce zwykle definiowana jest dla relacji/funkcji. Domena funkcji to zbiór wszystkich wartości, które można do niej wprowadzić. Na przykład, dla funkcji f(x) = √x, można do niej wprowadzać tylko wartości nieujemne. Dlatego jej dziedzina to zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych.

Jak znaleźć dziedzinę funkcji wymiernej?

Aby znaleźć dziedzinę funkcji wymiernej, wystarczy ustawić mianownik różny od zera. Na przykład, aby znaleźć dziedzinę funkcji f(x) = 2/(x-3), ustawiamy x-3 ≠ 0, rozwiązując to równanie, otrzymujemy x≠3. Dlatego dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb wymiernych z wyjątkiem 3. Można to zapisać w notacji przedziałowej jako (-∞, 3) U (3, ∞).

Jakie są zasady wyznaczania dziedziny funkcji?

Oto kilka ogólnych zasad używanych do wyznaczania dziedziny różnych rodzajów funkcji:

f(x) = wielomian, dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
f(x) = 1/x, dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x≠0.
f(x) = √x, dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych takich, że x ≥ 0.
f(x) = ln x, dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych takich, że x > 0.

Jak znaleźć dziedzinę i dziedzinę funkcji?

Aby znaleźć dziedzinę funkcji y = f(x), musimy szukać zbioru wszystkich możliwych wartości x, które nie sprawiają, że funkcja jest niezdefiniowana. Wspólne przykłady to dzielenie przez 0, branie pierwiastka z liczb ujemnych, itp. Aby obliczyć dziedzinę funkcji, wyobraź sobie, jakie wartości y produkuje funkcja. Gdy wyobrażenie nie jest możliwe, narysuj wykres funkcji i spójrz na wartości y, które obejmuje.

Jak znaleźć dziedzinę funkcji wymiernej?

Aby znaleźć dziedzinę funkcji wymiernej, wystarczy rozwiązać równanie dla x i ustawić mianownik różny od zera. Na przykład, aby znaleźć dziedzinę funkcji y=2/(x-3), rozwiązujemy równanie dla x, otrzymując x-3 = 2

Jak obliczyć dziedzinę i dziedzinę równania?

Jak obliczyć dziedzinę i dziedzinę funkcji?

Aby obliczyć dziedzinę i dziedzinę równania y = f(x), należy określić wartości zmiennej niezależnej x, dla których funkcja jest zdefiniowana. Aby obliczyć dziedzinę funkcji, wystarczy wyrazić równanie jako x = g(y) i znaleźć dziedzinę g(y).

Jak obliczyć dziedzinę i dziedzinę z wykresu funkcji?

Zbiór wszystkich współrzędnych x wszystkich punktów na krzywej da dziedzinę, a zbiór wszystkich współrzędnych y wszystkich punktów na krzywej da dziedzinę. Zarówno dziedzina, jak i zasięg mogą być zapisane jako zbiór lub przedział.

Jaka jest różnica między dziedziną i dziedziną funkcji?

Domena i zasięg funkcji to elementy funkcji. Domena funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości wejściowych do funkcji, natomiast zasięg funkcji to zbiór wszystkich wyników, jakie może dać funkcja.

Jaka jest dziedzina i dziedzina relacji?

Domena i zasięg relacji są obliczane w następujący sposób. Niech R będzie relacją między niepustym zbiorem A i niepustym zbiorem B. Domena i zasięg relacji to odpowiednio zbiór pierwszych elementów i drugich elementów w parach uporządkowanych w relacji R i nazywane są domeną.

Jaka jest dziedzina i dziedzina funkcji złożonej?

Niech funkcja złożona będzie postaci h(x) = (f ∘ g)(x). Domena i zasięg h są określane następująco. Domena h jest taka sama jak f lub leży w dziedzinie f. Zasięg h musi leżeć w zasięgu g. Niech f(x) = x2 i g(x) = x + 3. Wiadomo, że g: X → Y i f: Y → Z. Wtedy fog: X → Z. f(g(x)) = (x + 3)2. Dlatego dziedzina i zasięg wynoszą: dziedzina = {wszystkie elementy w zbiorze X}, zasięg = {wszystkie elementy w zbiorze Z}.