Długość łuku jest najlepiej zdefiniowana jako odległość wzdłuż części obwodu dowolnego koła lub krzywej (łuku). Jakakolwiek odległość wzdłuż zakrzywionej linii, która tworzy łuk, jest znana jako długość łuku. Część krzywej lub obwodu koła nazywana jest łukiem. Wszystkie z nich mają krzywą w swoim kształcie. Długość łuku jest dłuższa niż jakakolwiek odległość prostej między jego końcami (chordą).
W szczególności długość łuku koła o promieniu „r”, który podnosi kąt θ w centrum, jest obliczana według wzoru rθ × (π/180), jeśli kąt jest podany w stopniach, a jeśli kąt jest podany w radianach, to długość łuku wynosi rθ. Przyjrzyjmy się, jak wywodzić te wzory.
Czym jest Długość Łuku?
Długość łuku jest definiowana jako odległość między dwoma punktami wzdłuż odcinka krzywej. Łuk koła to dowolna część obwodu koła. Kąt podniesiony przez łuk w dowolnym punkcie to kąt utworzony przez dwa odcinki łączące środek z końcowymi punktami łuku. Na przykład, w kołowym kształcie poniżej, OP to łuk koła o środku Q. Długość łuku tego łuku OP jest oznaczona jako L.
Definicja Długości Łuku
Długość łuku to odległość między dwoma punktami wzdłuż odcinka krzywej. Innymi słowy, jest to długość części krzywej lub obwodu koła, która jest zawarta między dwoma punktami.
Długość Łuku Koła
Długość łuku koła o promieniu „r”, który podnosi kąt θ w centrum, jest obliczana według wzoru rθ × (π/180), jeśli kąt jest podany w stopniach, a jeśli kąt jest podany w radianach, to długość łuku wynosi rθ.
Wzór Długości Łuku
Aby wywodzić wzór długości łuku, przypomnijmy sobie, jaka jest długość obwodu pełnego koła o promieniu „r”. Wynosi ona 2πr. Jednak łuk to tylko część (właściwie ułamek) całkowitego obwodu. Wiemy, że kąt w centrum pełnego koła wynosi 360°. Jeśli kąt podniesiony przez łuk wynosi θ°, oznacza to, że łuk zajmuje ułamek θ/360 z całkowitego obwodu. Zatem:
Długość łuku = θ/360 z 2πr = θ/360 × 2πr = rθ × π/180.
Jest to wzór długości łuku, gdy kąt jest wyrażony w stopniach. Długość łuku można obliczyć za pomocą różnych wzorów, w zależności od jednostki kąta centralnego łuku. Pomiar kąta centralnego łuku może być wyrażony w stopniach lub radianach, a zgodnie z tym obliczamy długość łuku koła.
Jeśli θ jest wyrażony w radianach, to kąt w stopniach = θ × 180/π. Podstawiając to do powyższego wzoru,
Długość łuku = rθ × π/180 × 180/π = rθ.
Zatem wzór łuku koła to θ razy promień koła, gdy kąt jest wyrażony w radianach.
Wzór długości łuku można wyrazić jako:
długość łuku, L = θ × r, gdy θ jest wyrażony w radianach;
długość łuku, L = θ × (π/180) × r, gdy θ jest wyrażony w stopniach,
gdzie,
L = Długość Łuku
θ = Kąt Centralny Łuku
r = Promień Koła
Wzór Długości Łuku w Radianach
Długość łuku koła można obliczyć za pomocą różnych wzorów, w zależności od jednostki kąta centralnego łuku. Wzór długości łuku w radianach można wyrazić jako,
Długość Łuku = θ × r
gdzie,
L = Długość Łuku
θ = Kąt Centralny Łuku w Radianach
r = Promień Koła
Jak Obliczyć Długość Łuku Krzywej?
Długość łuku łuku koła można obliczyć za pomocą różnych metod i wzorów w oparciu o dostarczone dane. Niektóre ważne przypadki są przedstawione poniżej:
Jak Obliczyć Długość Łuku Z Promieniem i Kątem Centralnym?
Długość łuku koła można obliczyć z promieniem i kątem centralnym za pomocą wzoru długości łuku:
Długość łuku = θ × r, gdy θ jest wyrażony w radianach.
Długość łuku = θ × (π/180) × r, gdy θ jest wyrażony w stopniach.
Jak Obliczyć Długość Łuku Bez Promienia?
Długość łuku koła można obliczyć bez promienia za pomocą:
Kąta centralnego i pola sektora:
Wzór na pole sektora to (θ/360º) × πr2, jeśli θ jest wyrażony w stopniach lub (1/2) r2θ, jeśli θ jest wyrażony w radianach.
Użyj tego wzoru i rozwiąż równanie dla promienia 'r’. W tym procesie musimy skorzystać z pierwiastka kwadratowego.
Następnie znajdź długość łuku, używając odpowiedniego wzoru.
Przykład: Oblicz długość łuku krzywej o polu sektora 25 jednostek kwadratowych i kącie centralnym równym 2 radianom.
Mamy:
Pole sektora = 25 jednostek
Kąt centralny = 2 radiany
Krok 1: Pole sektora = 25 ⇒ (1/2) r2(2) = 25
Krok 2: To daje r2 = 25. Obustronne pierwiastkowanie daje r = 5.
Krok 3: Długość łuku = rθ = 5 × 2 = 10 jednostek
Zatem długość łuku = 10 jednostek
Kąta centralnego i długości dźwięku:
Wzór na długość dźwięku to 2r sin (θ/2).
Użyj tego wzoru i rozwiąż równanie dla promienia 'r’.
Następnie łatwo obliczyć długość łuku, używając odpowiedniego wzoru.
Przykład: Oblicz długość łuku krzywej, których końce dotykają dźwięku koła o długości 5 jednostek. Kąt centralny podniesiony przez łuk wynosi 2 radiany.
Jak Obliczyć Długość Łuku Bez Kąta Centralnego?
Długość łuku koła można obliczyć bez kąta, używając:
Promienia i pola sektora:
Podstaw wartości promienia i pola sektora do wzoru na pole sektora.
Rozwiąż to dla kąta centralnego.
Oblicz długość łuku.
Przykład: Oblicz długość łuku krzywej o polu sektora 25 jednostek kwadratowych i promieniu 2 jednostek.
Mamy:
Pole sektora = 25 jednostek
Promień = 2 jednostki
Krok 1: Pole sektora = 25 ⇒ (1/2) (2)2θ = 25.
Krok 2: Rozwiązując powyższe równanie, otrzymujemy θ = 12.5 radianów.
Krok 3: Długość łuku = promień × kąt centralny = 2 × 12.5 = 25 jednostek.
Zatem długość łuku = 25 jednostek.
Promienia i długości dźwięku:
Podstaw wartości promienia i długości dźwięku do wzoru na długość dźwięku.
Następnie rozwiąż dla kąta centralnego.
Oblicz długość łuku.
Przykład: Oblicz długość łuku krzywej, których końce dotykają dźwięku koła o długości 3 jednostek. Promień koła wynosi 2 jednostki.
Mamy:
Długość dźwięku = 3 jednostki
Promień = 2 jednostki
Krok 1: Długość dźwięku = 3 ⇒ 2(2) sin (θ/2) = 3
Krok 2: Rozwiązując powyższe równanie, otrzymujemy: sin (θ/2) = 0.75 ⇒ θ/2 = sin-1(0.75) = 0.848 ⇒ θ = 1.696.
Krok 3: Długość łuku = promień × kąt centralny = 2 × 1.696 = 3.392 jednostki.
Zatem długość łuku = 3.392 jednostki.
Czym Jest Łuk Koła?
Łuk koła to długość części jego obwodu, która znajduje się między dwoma dowolnymi punktami na nim. Innymi słowy, łuk koła to dowolna część jego obwodu. Kąt utworzony między dwoma odcinkami łączącymi punkt końcowy łuku z jego punktami końcowymi to kąt podstawowy łuku.
Jakie Jest Wzór na Długość Łuku Koła?
Wzór na długość łuku koła wymaga podania promienia (r) oraz kąta centralnego (θ). Jest oznaczony przez L i obliczany jest według wzoru:
dla kąta podstawowego wyrażonego w stopniach: L = rθ × (π/180)
dla kąta podstawowego wyrażonego w radianach: L = rθ
Jak Obliczyć Długość Łuku Bez Promienia?
Aby obliczyć długość łuku, potrzebujemy promienia koła i kąta centralnego. Gdy promień nie jest podany, można podać obszar sektora lub długość dźwięku. Użyj następujących wzorów, aby obliczyć promień, a następnie zastosuj wzór na długość łuku:
Obszar sektora:
(θ/360º) × πr2, jeśli θ jest wyrażony w stopniach (lub) (1/2) r2θ.
Długość dźwięku:
2r sin (θ/2)
Czym Jest Równanie Długości Łuku?
Istnieją dwa wzory związane z długością łuku. Poniżej przedstawiono oba równania długości łuku:
Długość łuku = θ × r, gdzie θ jest wyrażone w radianach.
Długość łuku = rθ × (π/180), gdzie θ jest wyrażone w stopniach.
Jak Obliczyć Długość Łuku Korzystając z Radianów?
Długość łuku można obliczyć, gdy kąt centralny jest podany w radianach, korzystając z wzoru na łuk koła: Długość łuku = θ × r, gdy θ jest wyrażone w radianach.
L = Długość łuku
θ = Kąt centralny łuku
r = Promień koła
Czy Długość Łuku Musi Być Wyrażona w Radianach?
Nie, długość łuku nie może być wyrażona w radianach. Jest to pomiar odległości, więc nie może być wyrażony w radianach. Kąt centralny podstawowy może być wyrażony w radianach, stopniach lub sekundach łuku, odpowiednio.
Jak Obliczyć Obwód Łuku?
Gdy długość łuku (L) jest podana z kątem centralnym θ, to obwód (C) jest obliczany za pomocą równania L / C = θ/360º.
Jaka Jest Długość Dużego Łuku Korzystając z Wzoru na Długość Łuku?
Łuk duży w kole jest większy niż półkole. Jego kąt centralny jest większy niż 180°. Korzystając ze wzoru ℓ = rθ, możemy obliczyć długość łuku koła, gdzie θ jest wyrażony w radianach.
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length
