Macierz ortogonalna to macierz, której transpozycja jest równa odwrotności macierzy. Przypomnijmy sobie, co to jest transpozycja macierzy. Jeśli zapiszemy wiersze macierzy jako kolumny (lub) kolumny macierzy jako wiersze, otrzymujemy macierz wynikową nazywaną transpozycją macierzy. Już wiemy, że jeśli transpozycja macierzy jest równa oryginalnej macierzy, to jest to macierz symetryczna. Ale jeśli transpozycja macierzy jest równa odwrotności oryginalnej macierzy, to jest to macierz ortogonalna.
Ale dlaczego nazywana jest ona ortogonalną? Przyjrzyjmy się definicji macierzy ortogonalnej wraz z jej właściwościami, wyznacznikiem, odwrotnością oraz kilkoma przykładami rozwiązanymi.
Czym jest macierz ortogonalna?
Macierz ortogonalna to kwadratowa macierz 'A’, dla której transpozycja jest równa odwrotności macierzy. Innymi słowy, AT = A-1, gdzie AT oznacza transpozycję macierzy 'A’, a A-1 odwrotność macierzy 'A’. Z tej definicji możemy wyprowadzić inną definicję macierzy ortogonalnej. Przyjrzyjmy się temu bliżej.
Inna definicja macierzy ortogonalnej
Jeśli pomnożymy definicję AT = A-1 przez macierz 'A’ z lewej strony, otrzymamy:
AAT = AA-1,
Wiemy, że AA-1 = I, gdzie I jest macierzą jednostkową (tej samej wielkości co 'A’). Zatem:
AAT = I.
Podobnie, można udowodnić, że:
ATA = I.
Stąd wynika, że istnieją dwie definicje macierzy ortogonalnej, które wymienione są poniżej:
Definicja macierzy ortogonalnej:
Kwadratowa macierz 'A’ nazywana jest „ortogonalną”, jeśli
- AT = A-1 (lub)
- AAT = ATA = I
Przykład macierzy ortogonalnej
Rozważmy macierz A = \(\left[\begin{array}{cc}\cos x & \sin x \\ \\ -\sin x & \cos x\end{array}\right]\). Jej transpozycja to AT = \(\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \\ \sin x & \cos x\end{array}\right]\). Obliczymy iloczyn tych dwóch macierzy.
\(\begin{align} &A A^{T}\\ &=\left[\begin{array}{cc}\cos x & \sin x \\ \\ -\sin x & \cos x\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \\ \sin x & \cos x\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}\cos ^{2}+\sin ^{2} x & -\cos x \sin x+\sin x \cos x \\ \\ -\sin x \cos x+\cos x \sin x & \sin ^{2} x+\cos ^{2} x\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ &=I \end{align}\)
Podobnie, można udowodnić, że ATA = I. Stąd wynika, że 'A’ jest przykładem macierzy ortogonalnej rzędu 2×2.
Wyznacznik macierzy ortogonalnej
Wyznacznik macierzy ortogonalnej wynosi +1 lub -1. Udowodnijmy to. Rozważmy macierz ortogonalną A. Wtedy z definicji mamy:
AAT = I
Przyjmując wyznaczniki na obu stronach, mamy:
det(AAT) = det(I)
Wiemy, że wyznacznik macierzy jednostkowej to 1. Ponadto, dla dowolnych dwóch macierzy A i B, det(AB) = det A · det B. Stąd wynika, że:
det(A) · det(AT) = 1
Wiemy, że det(A) = det(AT). Zatem:
det(A) · det(A) = 1
Z tego wynika, że:
[det(A)]2 = 1
Stąd wynika, że det(A) = ±1.
Odwrotność macierzy ortogonalnej
Z definicji macierzy ortogonalnej wynika, że dla dowolnej macierzy ortogonalnej 'A’, A-1 = AT. Możemy to udowodnić, korzystając także z innej definicji, która brzmi:
AAT = ATA = I … (1)
Wiemy, że dwie macierze 'A’ i 'B’ są wzajemnie odwrotne, jeśli i tylko jeśli:
AB = BA = I … (2)
Z (1) i (2) wynika, że B = AT. Ponieważ 'B’ jest odwrotnością macierzy 'A’, B = AT jest równoważne z A-1 = AT.
Zatem odwrotność macierzy ortogonalnej to po prostu jej transpozycja.
Macierz ortogonalna w algebrze liniowej
Dlaczego nazywa się ją „macierzą ortogonalną”? Przypomnijmy sobie znaczenie „ortogonalnego” w algebrze liniowej. „Ortogonalne” oznacza „prostopadłe”. Dwa wektory są wzajemnie prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. W macierzy ortogonalnej każde dwa wiersze i każde dwie kolumny są prostopadłe, a długość każdego wiersza (wektora) lub każdej kolumny (wektora) wynosi 1. Przyjrzyjmy się temu na przykładzie. Rozważmy macierz ortogonalną A = \(\left(\begin{array}{ccc}1 / 3 & 2 / 3 & -2 / 3 \\ -2 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \\ 2 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3\end{array}\right)\) (sprawdź, czy AAT = ATA = I). Wiemy, że dwa wektory są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi 0. Znajdźmy iloczyn skalarny pierwszych dwóch wierszy.
(1/3, 2/3, -2/3) · (-2/3, 2/3, 1/3) = -2/9 + 4/9 – 2/9 = 0
Stąd wynika, że pierwsze dwa wiersze są prostopadłe. Podobnie można sprawdzić iloczyn skalarny każdych dwóch wierszy i każdych dwóch kolumn. Otrzymasz wynik 0 dla każdego iloczynu skalarnego.
Znajdźmy także długość (wielkość) pierwszego wiersza.
√[(1/3)2+(2/3)2+(-2/3)2] = √1 = 1
Podobnie można obliczyć długość każdego wiersza/kolumny, która wynosi 1. Zatem łatwo można udowodnić, że macierz jest ortogonalna, jeśli:
- iloczyn skalarny każdych dwóch wierszy i każdych dwóch kolumn wynosi 0
- długość każdego wiersza i każdej kolumny wynosi 1
Właściwości macierzy ortogonalnych
Oto właściwości macierzy ortogonalnych (A) wynikające z jej definicji.
Transpozycja i odwrotność są równe
To znaczy, A-1 = AT.
Iloczyn macierzy A i jej transpozycji daje macierz jednostkową
To znaczy, AAT = ATA = I.
Wyznacznik wynosi det(A) = ±1
Zatem macierz ortogonalna zawsze jest nieosobliwa (jej wyznacznik NIE wynosi 0).
Macierz diagonalna z elementami wynoszącymi 1 lub -1 zawsze jest ortogonalna
Przykład: \(\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\) jest ortogonalna.
Transpozycja AT też jest ortogonalna
Ponieważ A-1 = AT, A-1 jest również ortogonalna.
Wartości własne macierzy A to ±1, a wektory własne są prostopadłe
Macierz jednostkowa (I) jest również ortogonalna, ponieważ I · I = I · I = I.
Zastosowania macierzy ortogonalnych
Oto zastosowania macierzy ortogonalnych:
Macierze ortogonalne stosowane są w przetwarzaniu sygnałów wielokanałowych
Macierze ortogonalne są stosowane w analizie szeregów czasowych wielowymiarowych.
Są stosowane w wielu algorytmach w algebrze liniowej
Są stosowane w dekompozycji QR.
Ważne uwagi dotyczące macierzy ortogonalnych:
- Jeśli macierz kwadratowa ma odwrotność równą swojej transpozycji, to jest to macierz ortogonalna.
- Jeśli A jest ortogonalna, to A i AT są odwrotnością siebie.
- Wyznacznik macierzy ortogonalnej wynosi ±1.
- Iloczyn skalarny każdych dwóch wierszy/kolumn macierzy ortogonalnej wynosi zawsze 0.
- Każdy wiersz/kolumna macierzy ortogonalnej to wektor jednostkowy.
Rozwinięcie Laplace’a – metoda na obliczenie wyznacznika
Źródło odniesienia: https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
