Całka z x sin x jest równa -x cos x + sin x + C, gdzie C jest stałą całkowania. Możemy obliczyć tę całkę przy użyciu metody całkowania przez części. Całka funkcji daje pole powierzchni pod krzywą tej funkcji. sin x jest jedną z ważnych funkcji trygonometrycznych w trygonometrii. Całkowanie x sin x to proces znalezienia całki z x sin x, którą nazywa się również antypochodną x sin x, ponieważ całkowanie jest procesem odwrotnym do różniczkowania.

Co to jest całka z x sin x?

Całka z x sin x daje funkcję do wyznaczenia pola powierzchni pod krzywą funkcji f(x) = x sin x. Całkowanie x sin x jest równe -x cos x + sin x + C i może być obliczone przy użyciu metody całkowania przez części (nazywanej również regułą ILATE lub regułą mnożenia całkowania). Matematycznie można zapisać całkę z x sin x jako ∫xsinx dx = −x cos x + sin x + C, gdzie:

x sin x – funkcja, której całkę szukamy
C – stała całkowania

Wzór na całkę z x sin x

Wzór na całkę z x sin x jest dany przez ∫xsinx dx = −x cos x + sin x + C, gdzie C jest stałą całkowania. Możemy obliczyć tę całkę przy użyciu reguły mnożenia całkowania, gdzie x jest pierwszą funkcją, a sin x jest drugą funkcją, a x sin x jest iloczynem tych dwóch funkcji. Poniższy obrazek przedstawia wzór na całkę z x sin x:

Dowód całki z x sin x

Teraz, gdy wiemy, że całka z x sin x jest równa −x cos x + sin x + C, wykażemy tę formułę, korzystając z metody całkowania przez części. Ta metoda jest używana do znajdowania całki funkcji podanej jako iloczyn dwóch funkcji. Dlatego też, całkowanie przez części nazywane jest również regułą mnożenia całkowania. Wzór na całkowanie przez części jest dany przez ∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫[f'(x) × ∫g(x) dx] dx. Tutaj, funkcje f(x) i g(x) wybieramy, korzystając z reguły ILATE, gdzie:

I – funkcja odwrotna do funkcji trygonometrycznej
L – funkcja logarytmiczna
A – funkcja algebraiczna
T – funkcja trygonometryczna
E – funkcja wykładnicza

CZYTAĆ: Rozkład na Ułamki Proste - Dekompozycja, Formuły, Metoda

Korzystając z tej sekwencji preferencji funkcji, mamy f(x) = x (ponieważ x jest funkcją algebraiczną) i g(x) = sin x (sin x jest funkcją trygonometryczną). Będziemy również korzystać z poniższego wzoru do wyznaczenia całki z x sin x:

∫sin x dx = -cos x + C

Korzystając z wzoru na całkowanie przez części i powyższych wzorów, otrzymujemy:

∫x sinx dx = x ∫sin x dx – ∫[dx/dx × ∫sin x dx] dx

= x (-cosx) – ∫(1 × -cos x) dx

= – x cosx + ∫(1 × cos x) dx

= -x cosx + ∫cosx dx

= -x cosx + sin x + C

Stąd otrzymujemy wzór na całkę z x sin x równy -x cos x + sin x + C.

Całka oznaczona z x sin x

W następnej sekcji obliczymy całkę oznaczoną z x sin x od 0 do π, korzystając z wzoru na całkę z x sin x. Aby obliczyć całkę oznaczoną, podstawimy granice dolną i górną do wzoru na całkę z x sin x i od siebie je odliczymy. Mamy:

0π ∫x sin x dx = [-x cosx + sin x + C]0π

= (-π cosπ + sin π + C) – (-0 cos0 + sin 0 + C)

= -π (-1) + 0 + C – 0 – 0 – C

= π

Stąd wynika, że całka oznaczona

Co to jest całka z x sin x w analizie matematycznej?

Całka z x sin x jest równa −x cos x + sin x + C, gdzie C jest stałą całkowania. Całkowanie x sin x to proces znajdowania całki z x sin x, która jest również nazywana antypochodną x sin x, ponieważ całkowanie jest procesem odwrotnym do różniczkowania.

Jak obliczyć całkę z x sin x?

Możemy obliczyć całkę z x sin x przy użyciu metody całkowania przez części. Całka z x sin x daje funkcję do wyznaczenia pola powierzchni pod krzywą funkcji f(x) = x sin x.