Oś symetrii – Równanie, wzór, definicja, przykłady, parabola Oś symetrii to wyimaginowana prosta linia, która dzieli kształt na dwie identyczne części, tworząc jedną z nich jako odbicie lustrzane drugiej. Gdy złożymy obie części wzdłuż osi symetrii, zostaną one nałożone na siebie. Prosta linia ta nazywana jest linią symetrii/linią odbicia. Może ona być pionowa, pozioma lub ukośna.
Możemy zaobserwować tę oś symetrii nawet w przyrodzie, takiej jak kwiaty, brzegi rzek, budynki, liście, itp. Możemy to zobaczyć w słynnej marmurowej budowli w Indiach, jaką jest Tadź Mahal.
Czym jest Oś Symetrii?
Oś symetrii to prosta linia, która nadaje kształtowi obiektu symetrię. Oś symetrii tworzy dokładne odbicia po obu stronach. Może być pozioma, pionowa lub ukośna. Jeśli złożymy i rozłożymy obiekt wzdłuż osi symetrii, obie strony są identyczne. Różne kształty posiadają różne osie symetrii. Kwadrat ma cztery osie symetrii, prostokąt ma 2 osie symetrii, koło ma nieskończenie wiele osi symetrii, a równoległobok nie posiada osi symetrii. Wielokąt foremny o 'n’ bokach ma 'n’ osi symetrii.
Definicja Osie Symetrii
Oś symetrii to wyimaginowana linia, która dzieli figurę na dwie identyczne części, tak że każda część jest odbiciem lustrzanym jednej drugiej. Gdy figura jest składana wzdłuż osi symetrii, dwie identyczne części na siebie nachodzą.
Oś Symetrii Paraboli
Parabola posiada jedną oś symetrii. Oś symetrii to prosta linia, która dzieli parabolę na dwie symetryczne części. Parabola może przyjąć cztery formy. Może być pozioma lub pionowa, skierowana w lewo lub w prawo. Oś symetrii określa formę paraboli.
Jeśli oś symetrii jest pionowa, to parabola jest pionowa (otwiera się w górę/dół).
Jeśli oś symetrii jest pozioma, to parabola jest pozioma (otwiera się w lewo/prawo).
Oś symetrii, która jest pozioma, ma nachylenie równo zero, a oś symetrii, która jest pionowa, ma nachylenie niezdefiniowane.
Równanie Osie Symetrii
Wierzchołek to punkt, w którym oś symetrii przecina parabolę. To kluczowy punkt do określenia jej równania. Jeśli parabola otwiera się w górę lub w dół, oś symetrii jest pionowa, a w tym przypadku jej równanie to pionowa linia przechodząca przez jej wierzchołek. Jeśli parabola otwiera się w prawo lub lewo, oś symetrii jest pozioma, a jej równanie to pozioma linia przechodząca przez jej wierzchołek. Innymi słowy,
Równanie osi symetrii paraboli, której wierzchołek to (h, k) i otwiera się w górę/dół, to x = h.
Równanie osi symetrii paraboli, której wierzchołek to (h, k) i otwiera się w lewo/prawo, to y = k.
Formula Osi Symetrii
Formula osi symetrii jest stosowana do równań kwadratowych, gdzie używany jest standardowy formularz równania oraz linii symetrii. Linia, która dzieli lub rozdwaja dowolny obiekt na dwie równe połowy, z których obie połowy są odwzorowaniem lustrzanym jednej drugiej, nazywana jest osią symetrii. Linia osi dzieląca obiekty może być jednym z trzech rodzajów: pozioma (oś x), pionowa (oś y) lub nachylona.
Formula osi symetrii może być reprezentowana, gdy parabola jest w dwóch formach:
- Standardowy formularz
- Wierzchołkowa forma
Standardowy formularz
Równanie kwadratowe w standardowym formularzu to y = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi. W tym przypadku formula osi symetrii to: x = – b/2a.
Wierzchołkowa forma
Równanie kwadratowe w wierzchołkowej formie to y = a (x – h)2 + k, gdzie (h, k) to wierzchołek paraboli. W tym przypadku formula osi symetrii to x = h.
Wyprowadzenie Równania Osi Symetrii dla Paraboli
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli. Dlatego identyfikacja wierzchołka pomaga nam obliczyć położenie osi symetrii. Formula osi symetrii dla paraboli to x = -b/2a. Przyjrzyjmy się wyprowadzeniu równania osi symetrii.
Kwadratowe równanie paraboli to y = ax2 + bx + c (parabola otwierająca się w górę/dół). Stały wyraz 'c’ nie wpływa na parabolę. Dlatego niech y = ax2 + bx.
Oś symetrii jest środkiem ciężkości między dwoma punktami przecięcia z osią x. Aby znaleźć punkt przecięcia z osią x, podstawiamy y = 0.
x(ax+b) = 0
x = 0 i (ax+b) = 0
x = 0 i x = -b/a
Formula środka ciężkości to x = (x1 + x2) / 2
x = [0 + (-b/a)] / 2
Zatem x = -b/2a
Uwaga: Jeśli parabola jest otwarta w lewo/prawo, należy znaleźć środek ciężkości punktów przecięcia z osią y.
Znajdowanie Osi Symetrii
Przykład 1: Znajdź oś symetrii równania kwadratowego y = x2 – 4x + 3.
Rozwiązanie:
Dane: y = x2 – 4x + 3
Korzystając z formuły osi symetrii,
x = -b/2a
x = -(-4)/2(1)
x = 4/2
= 2
Zatem oś symetrii równania y = x2 – 4x + 3 wynosi x = 2.
Przykład 2: Znajdź oś symetrii paraboli y = 4×2.
Rozwiązanie:
Korzystając z formuły osi symetrii,
x = -b/2a
x = -(0)/2(4)
x = 0
Zatem oś symetrii paraboli y = 4×2 wynosi x = 0.
Identyfikacja Osi Symetrii
Zidentyfikujmy oś symetrii dla danej paraboli, korzystając z formuły, którą poznaliśmy w poprzedniej sekcji.
1) Rozważmy równanie y = x2 – 3x + 4. Porównując to z równaniem standardowym paraboli (y = ax2 + bx + c), otrzymujemy:
a = 1, b = -3 i c = 4
Jest to pionowa parabola. Ma zatem pionową oś symetrii.
Wiemy, że x = -b/2a jest równaniem osi symetrii.
x = -(-3)/2(1) = 1,5
x = 1,5 jest osią symetrii paraboli y = x2 – 3x + 4.
2) Rozważmy inne równanie x = 4y2 + 5y + 3. Porównując z równaniem standardowym równania kwadratowego, otrzymujemy a = 4, b = 5 i c = 3. Ta parabola jest pozioma, a osią symetrii jest również linia pozioma.
Wiemy, że y = -b/2a jest równaniem osi symetrii.
y = -b/2a
y = -5/2(4)
y = -0,625
3) Jeśli dane są dwa punkty, które są oddalone od wierzchołka paraboli o tę samą odległość, to równanie osi symetrii znajdujemy, znajdując środek tych punktów. Załóżmy, że punkty (3, 4) i (9, 4) są punktami na paraboli. Wierzchołek przechodzi przez punkt, który jest środkiem ciężkości tych punktów. Zatem x = (3+9)/2 = 12/2 = 6. Równanie osi symetrii wynosi zatem x = 6.
Przykład:
Jeśli oś symetrii równania y = qx2 – 32x – 10 wynosi 8, to znajdź wartość q.
Rozwiązanie:
Dane:
y = qx2 – 32x – 10
Oś symetrii to x = 8.
Korzystając z formuły:
x = -b/2a
gdzie a = q, b = -32 i x = 8
8 = -(-32) / (2 × q)
8 = 32/2q
16q = 32
q = 2
Zatem wartość q wynosi 2.
Ważne uwagi dotyczące osi symetrii:
- Oś symetrii to linia, która dzieli figurę na dwie identyczne części, które są wzajemnymi odbiciami.
- Dla paraboli y = ax2 + bx + c, oś symetrii wynosi x = -b/2a.
- Regularny wielokąt o 'n’ bokach ma 'n’ osi symetrii.
Axis of Symmetry of a Parabola
Źródło: Parabola
